Løsning del 2 10kl Vår 25
Oppgaven som pdf del 1 og del 2 samlet
Diskusjon av oppgaven på Matteprat
Løsningsforslag del 1 og del 2 laget av Fahan Omar
Oppgave 1
a)
For å finne figur nr. 5 må vi se litt på hvordan figurene endrer seg når vi går opp en størrelse. Figuren er et kvadrat som består av mindre kvadrater. Vi ser at sidekantene i det store kvadratet alltid består av to mer enn plassnummer. Figur nr. 3 er $5 \cdot 5$ og figur 4 består av $6 \cdot 6 =36$ små kvadrater. Figur nr. 5 vil da se slik ut:
b)
c)
Blå ramme med kvadrater: Topp og bunn har to små kvadrater mer enn figur nummer altså n+2. Siden det er to (topp og bunn) får vi
\[2(n+2) = 2n+4\]
I tillegg har vi høyre og venstre side. Når vi fjerne det lille topp og bunn kvadratet får vi at antall småkvadrater er det samme som figurtallet på hver side, altså \[2n\] tilsammen, der n er figurtallet.
Formel for små blå kvadrater blir da \[f(n) = 2n+4+2n = 4n+4\]
Figur fire: \[f(4)= 4 \cdot 4 +4 = 20\]
Det er 20 blå kvadrater i figur 4. Vi ser at geometri og algebra stemmer.
Alternativt: Ta utrykket for hele kvadratet $(n+2)^2$ og trekk fra arealet av det gule kvadratet $n^2$. Du får samme svar.
Oppgave 2
Et par sokker koster 80 kroner.
Tilbud 1
6 par for 299kr. Det blir $\frac {299kr}{6par} \approx 50 kr/par$
Tilbud 2
25% rabatt. Det blir $80kr/par \cdot 0,75 = 60kr/par$
Tilbud 3
3 par til prisen for 2 par. Betaler 160kr for tre par, altså ca 53 kr per par.
Tilbud 4
50% på par nr. 3. Det betyr at man betaler 200kr for tre par, altså ca. 67 kr per par.
Dersom man kun tenker pris per par er tilbud nr. 1 best. Trenger man 6 par? Dersom nei er tilbud 3 ok.
Oppgave 3
a)
Eksponentiell vekst er vekst der størrelsen øker med en fast prosent hver tidsperiode.
\[f(x) = 20000 \cdot 1,04^x \]
- 20000 er startverdien
- 1,04 er vekstfaktoren når noe øker med 4%
- x er tidsperioden, i dette tilfelle år.
b)
Bruker Geogebra og finner at han har 36018,87 kr etter 15 år.
Oppgave 4
a)
Det er tre oddetall på en terning (1,3,5), og det er tre partall (2,4,6). Siden antall gunstige for begge er 3, av 6, altså 50% sjanse for det ene eller det andre, er dette rettferdig.
b)
To like:
g = gul
r = rosa
\[P(to \quad like) = P(g) \cdot P(g) + P(r) \cdot P(r) = \frac 12 \cdot \frac 13 + \frac 12 \cdot \frac 13 = \frac 13\]
To ulike:
\[P(to \quad ulike) = P(g) \cdot P(r) + P(r) \cdot P(g) = \frac 12 \cdot \frac 23 + \frac 12 \cdot \frac 23 = \frac 23\]
Vi ser at sannsynlighetene er forskjellige, altså ikke et rettferdig forsøk.
Oppgave 5
Gjennomsnittlig mobilbruk blant jentene er noe høyere (3,4 timer) enn blant guttens (2,9 timer). Men, det er større variasjon / spredning i guttenes mobilbruk. Et høyt tall for standardavvik betyr stor spredning i datasettet.
Formler brukt:
Vi grupperer datasettet i forhold til antall elever med en time, antall med to timer, osv.
Ut fra tabellen lager vi dette søylediagrammet. Det stemmer godt med de tre sentralmålene vi fant.
Oppgave 6
a)
Tilbud 1 : f
Tilbud 2: g
Tilbud 3: h
b)
Tilbud 1 er billigst opp til 40 elever. Mellom 41-53 elever er tilbud 2 billigst. Tilbud 3 er billigst for mer enn 53 elever.
Oppgave 7
a)
Fra åttende klasse til vg. 3 er frafallet fra 60 - 25%. Egentreningen er ganske jevn gjennom denne perioden. Mange ungdommer starte på helsestudio i løpet av ungdomstrinnet, og fortsetter med det gjennom videregående. Annen organisert trening blir mer enn halvert i denne perioden. Det ser ut som individuell trening er økende / stabil i aldersgruppen, mens organisert trening gjennom lag / foreninger har et stort frafall.
b)
Vi støtter Per. Mira har ikke helt skjønt grafikken.
Oppgave 8
a, b og c)
Påstand 1
7 + 5 = 12
1 + 3 = 4
n er et tilfeldig heltall og m er et annet tilfeldig heltall. Da vil 2n og 2m være partall. (2n-1) og (2m-1) vil alltid være oddetall.
sum: (2n-1)+ (2m -1) = 2n + 2m - 2 = 2(n + m + 1)
Summen er alltid et partall og derved delelig på to.
Påstanden stemmer, alltid.
Påstand 2
3 + 4 = 7
11 + 12 = 23
Summen av to påfølgende heltall vil alltid være summen av et partall og et oddetall:
2n + 2n-1 = 4n-1
4n er et partall, (4n-1) er derfor et oddetall, alltid.
Påstanden er feil.
Påstand 3
3 + 4 + 5 = 12
4 + 5 + 6 = 15
Summen av tre påfølgende heltall vil være summen av (partall + oddetall + partall) eller (oddetall + partall + oddetall).
Dersom summen er to oddetall og ett partall:
(2n-1) + 2n + (2n + 1) = 6n = 2(3n), dvs. alltid partall
Dersom summen er to partall og ett oddetall:
2n + (2n + 1) + (2n + 2) = 6n +3 = 3(2n+1), som alltid er et oddetall.
Påstanden er riktig dersom man starter med et partall og feil dersom man starter med et oddetall.