S2 2014 høst LØSNING

oppgave på bokmål

fullstendig eksamensoppgave

Diskusjon av denne oppgaven (med delvis løsning)

Oppgave 1

a)

$f(x)=3\ln (x+2)$

Deriverer ved å bruke kjerneregelen med $u=x+2\Rightarrow u^{\prime }=1$

$$f^{\prime }(x)=3\cdot \frac{1}{u}\cdot u^{\prime }=3\cdot \frac{1}{x+2}\cdot 1=\frac{3}{x+2}$$

b)

$g(x)=x\cdot \ln (3x)$

Deriverer ved å bruke produktregelen og kjerneregelen:

$$g^{\prime }(x)=1\cdot \ln (3x)+x\cdot \frac{1}{3x}\cdot 3=\ln (3x)+1$$

Oppgave 2

Brøken kan forkortes, dersom $(x-3)$ er en faktor i telleren $f(x)=(x^3-2x^2-3x)$.

Fra nullpunktsetningen vet vi at dersom $(x-3)$ er en faktor i polynomet $f(x)$, må $x=3$ være et nullpunkt for $f(x)$.

Vi sjekker dette: $f(3)=3^3-2\cdot 3^2-3\cdot 3=27-18-9=0$

Brøken kan forkortes.

Vi kan forkorte brøken ved å utføre polynomdivisjon:

$(x^3-2x^2-3x):(x-3)=x^2+x$

$$\frac{x^3-2x^2-3x}{x-3}=\frac{(x^2+x)(x-3)}{x-3}=x^2+x,x\ne 3$$

Oppgave 3

a)

Jeg skriver først rekken på en annen måte:

$a+a\cdot \frac{1}{2}+a\cdot \frac{1}{2^2}+\cdots +a\cdot \frac{1}{2^{n-1}}$

Da ser vi at dette er en geometrisk rekke, med

$a_1=a$ og $k=\frac{1}{2}$

Bruker formel for sum av de $n$ første ledda i en geometrisk rekke:

$$S_n=a_1\cdot \frac{k^n-1}{k-1}$$ $$S_n=a\cdot \frac{(\frac{1}{2}{)}^n-1}{\frac{1}{2}-1}=a\cdot \frac{\frac{1}{2^n}-1}{-\frac{1}{2}}=-2a\cdot (\frac{1}{2^n}-1)=2a\cdot (1-\frac{1}{2^n})$$

b)

Rekka konvergerer fordi $k=\frac{1}{2}$ og dermed er $-1<k<1$. Da vet vi at en uendelig geometrisk rekke konvergerer.

Vi kan også begrunne det ut fra formelen for summen vi fant i oppg. a):

Når $n\to \mathrm{\infty }$ vil $\frac{1}{2^n}\to 0$.

Da vil vi få:

$$S_n=2a\cdot (1-\frac{1}{2^n})\to 2a\cdot (1-0)=2a$$

c)

$$\begin{gathered} S=2a \\ S=10\Rightarrow 2a=10 \\ a=\frac{10}{2}=5 \end{gathered}$$

Oppgave 4

$f(x)=x^3-6x^2+9x,D_f=\mathbb{R}$

a)

Nullpunktene til $f$:

$$\begin{gathered} f(x)=0 \\ {x}^3-6x^2+9x=0 \\ x(x^2-6x+9)=0\text{faktoriserer ut}x \\ x(x-3{)}^2=0\text{faktoriserer vha. 2. kvadratsetning} \\ x=0\vee x=3 \end{gathered}$$

b)

Topp-/bunnpunkter på grafen til $f$:

$f^{\prime }(x)=3x^2-12x+9$

$f^{\prime }(x)=0$

$$\begin{gathered} 3x^2-12x+9=0 \\ 3(x^2-4x+3)=0 \\ {x}^2-4x+3=0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} x=\frac{-(-4)\pm \sqrt{(-4{)}^2-4\cdot 3}}{2}=\frac{4\pm \sqrt{16-12}}{2}=\frac{4\pm \sqrt{4}}{2}=\frac{4\pm 2}{2} \\ x=3\vee x=1 \end{gathered}$$

$3(x^2-4x+3)=3(x-3)(x-1)$

Lager fortegnslinje:

$$\begin{gathered} f(1)=4 \\ f(3)=0 \end{gathered}$$

Grafen til $f$ har et toppunkt i $(1,4)$ og et bunnpunkt i $(3,0)$.

c)

Vendepunktet på grafen til $f$:

$$\begin{gathered} f^{″}(x)=6x-12 \\ {f}^{″}(x)=0 \\ 6x-12=0x=2 \end{gathered}$$

Lager fortegnslinje:

$f(2)=2$

Grafen til $f$ har et vendepunkt i $(2,2)$.

d)

Oppgave 5

a)

I punktet $A$ er $x=400$.

To av de rette linjene går også gjennom punktet $A$.

Den ene er linja $y=4,46x$ (denne har størst stigningstall, og stiger raskest av de tre rette linjene).

Den andre er linja $y=2,06x+960$ (dette er linja som tangerer grafen til $y=K(x)$ i punktet $A$).

Vi kan dermed bruke en av disse linjene, til å regne ut funksjonsverdien til $K(x)$ for $x=400$.

Vi får da:

$$\begin{gathered} E(x)=\frac{K(x)}{x} \\ E(400)=\frac{K(400)}{400}=\frac{4,46\cdot 400}{400}=4,46 \end{gathered}$$

b)

Grensekostnaden er $K^{\prime }(x)$

Den deriverte til $K(x)$ når $x=400$, er det samme som stigningstallet til tangenten til grafen når $x=400$.

Linja $y=2,06x+960$ tangerer grafen til $K(x)$ i punktet $A$, der $x=400$.

Vi ser at denne tangenten har stigningstallet $2,06$.

$K^{\prime }(400)=2,06$

c)

Den minste verdien for enhetskostnaden finner vi der enhetskostnaden er lik grensekostnaden

$$K^{\prime }(x)=E(x)$$

Nå skal vi se på punket $B$. Her er $x=1000$.

Den rette linja $y=3,43x$ tangerer grafen til $K(x)$ i punktet $B$.

Vi ser at tangenten har stigningstallet $3,43$ og derfor er $K^{\prime }(1000)=3,43$.

Vi kan regne ut enhetskostnaden for $x=1000$ på samme måte som vi gjorde i oppg. a). Vi bruker den rette linja til å regne ut funksjonsverdien til $K(x)$ for $x=1000$.

$$E(1000)=\frac{K(1000)}{1000}=\frac{3,43\cdot 1000}{1000}=3,43$$

Vi har nå vist at $K^{\prime }(x)=E(x)$ for $x=1000$.

Den minste enhetskostnaden har vi ved produksjon av 1000 enheter, og da er enhetskostnaden 3,43 kroner per enhet.

Oppgave 6

a)

Summen av alle sannsynlighetsverdiene i en sannsynlighetsfordeling skal være lik 1.

Det gir oss første likning: $a+b+c=1$

Forventningsverdien regner vi ut slik: $\mu =E(X)=\sum x_i\cdot P(X=x_i)$ som gir:

$\mu =E(X)=(-1)\cdot a+0\cdot b+1\cdot c=-a+c$

Det gir oss andre likning: $-a+c=\frac{1}{2}$

Variansen regner vi ut slik: $Var(X)=\sum (x_i-\mu {)}^2\cdot P(X=x_i)$ som gir:

$$\begin{gathered} Var(X)=(-1-\frac{1}{2}{)}^2\cdot a+(0-\frac{1}{2}{)}^2\cdot b+(1-\frac{1}{2}{)}^2\cdot c \\ =\frac{9}{4}a+\frac{1}{4}b+\frac{1}{4}c \end{gathered}$$

Det gir oss tredje likning: $$\begin{gathered} \frac{9}{4}a+\frac{1}{4}b+\frac{1}{4}c=\frac{7}{12} \\ 27a+3b+3c=7 \end{gathered}$$

b)

Jeg starter med andre likning: $-a+c=\frac{1}{2}\Rightarrow c=\frac{1}{2}+a$

Setter dette inn i første likning: $$\begin{gathered} a+b+\frac{1}{2}+a=1 \\ 2a+b=\frac{1}{2} \\ b=\frac{1}{2}-2a \end{gathered}$$

Setter inn i siste likning: $$\begin{gathered} 27a+3(\frac{1}{2}-2a)+3(\frac{1}{2}+a)=7 \\ 27a+\frac{3}{2}-6a+\frac{3}{2}+3a=7 \\ 24a=4 \\ a=\frac{1}{6} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} b=\frac{1}{2}-2\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{6} \\ c=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3} \end{gathered}$$

Oppgave 7

$f(x)=x^3-3x^2+2x-2$

Den deriverte i et punkt er stigningstallet til tangenten til grafen i dette punktet.

Når vi vet at stigningtallet til tangenten er lik 2, vet vi dermed også at $f^{\prime }(x)=2$.

$$\begin{gathered} f^{\prime }(x)=3x^2-6x+2 \\ {f}^{\prime }(x)=2 \\ 3x^2-6x+2=2 \\ 3x^2-6x=0 \\ 3x(x-2)=0 \\ 3x=0\vee x-2=0 \\ x=0\vee x=2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} f(0)=0^3-3\cdot 0^2+2\cdot 0-2=-2 \\ f(2)=2^3-3\cdot 2^2+2\cdot 2-2=-2 \end{gathered}$$

Punktene $(0,-2)$ og $(2,-2)$ på grafen til $f$ har tangent med stigningstall lik 2.

Oppgave 1

a)

$p(x)=500-0,1x$

$$\begin{gathered} I(x)=\mathrm{mengde}\cdot \mathrm{pris} \\ =x\cdot p(x) \\ =x\cdot (500-0,1x) \\ =500x-0,1x^2 \end{gathered}$$

b)

Jeg legger tabellen inn i regnearket i GeoGebra. Deretter merker jeg tallene, høyreklikker og velger "Lag liste med punkt". Når punktene blir plottet i koordinatsystemet, ser det ut som at en andregradsfunksjon kan passe bra.

Jeg bruker kommandoen "RegPoly[Liste1, 2]" og får følgende modell for kostnadsfunksjonen $K$:

$K(x)=0,05x^2+109,31x+26140$

(Det står en kommentar til denne oppgaven i sensorveiledningen: "Her må det vises romslighet med hensyn til kandidatens valg av modell." F.eks. vil en lineær modell også kunne passe.)

c)

Jeg løser denne oppgaven i CAS:

Uttrykk for overskuddet blir: $O(x)=-0,15x^2+390,69x-26140$

Det største overskuddet har vi når $O^{\prime }(x)=0$ Da er $x=1302,3$.

Produksjonsmengden som gir størst overskudd er 1302 enheter.

d)

Overskudd er inntekter minus kostnader.

$O(x)=I(x)-K(x)$

Overskuddet er størst når $O^{\prime }(x)=0$

Vi deriverer og får: $O^{\prime }(x)=I^{\prime }(x)-K^{\prime }(x)$

$$\begin{gathered} O^{\prime }(x)=0 \\ \Updownarrow \\ {I}^{\prime }(x)-K^{\prime }(x)=0 \\ {I}^{\prime }(x)=K^{\prime }(x) \end{gathered}$$

Oppgave 2

a)

Jeg starter med arealet, og finner et uttrykk for $y$ gitt ved $x$:

$$\begin{gathered} x\cdot y=625 \\ \Rightarrow y=\frac{625}{x} \end{gathered}$$

Lengden av gjerdet består av to sider med lengde $y$, en side med lengde $x$ og et stykke med lengde $x-15$. (Steinmuren erstatter 15 m av gjerdet på den ene siden.)

Dette gir: $$\begin{gathered} G(x)=x+(x-15)+2y \\ G(x)=2x+2y-15 \end{gathered}$$

Setter inn for $y$: $$\begin{gathered} G(x)=2x+2\cdot (\frac{625}{x})-15 \\ G(x)=2x+\frac{1250}{x}-15 \end{gathered}$$

Setter på felles brøkstrek: $$G(x)=\frac{2x^2-15x+1250}{x}$$

b)

Gjerdet har kortest mulig lengde, når funksjonen $G(x)$ har et bunnpunkt.

Jeg løser likningen $G^{\prime }(x)=0$ i CAS:

Bare den positive løsningen kan brukes (et gjerde kan ikke ha negativ lengde).

Gjerdet har kortest mulig lengde når $x=25$. Da er er gjerdet 85 meter langt.

Fra oppg. a) vet vi at $y=\frac{625}{x}$. Det gir $y=25$.

Vi ser at $x=y$. Da er området kvadratisk.

Oppgave 3

a)

Summen av sluttverdiane blir:

$20000\cdot 1,035+20000\cdot 1,{035}^2+20000\cdot 1,{035}^3+20000\cdot 1,{035}^4$

Dette er en geometrisk rekke med 4 ledd.

$a_1=20000\cdot 1,035$ og $k=1,035$.

Jeg bruker sumformelen og regner ut vha. CAS

$S_4=a_1\cdot \frac{k^4-1}{k-1}$

31. desember 2010 hadde Katrine 87249 kr på sparekontoen.

b)

Dersom Katrine ikke hadde tatt ut 8000 kr hvert år, hadde hun 31. desember 2014 hatt:

$87249\cdot 1,{03}^4=98200$ kr på kontoen.

Nå kan vi finne ut hva de 4 uttakene på 8000 kr hvert år hadde forrentet seg til dersom hun hadde spart de.

Summen av sluttverdiene blir:

$8000\cdot 1,03+8000\cdot 1,{03}^2+8000\cdot 1,{03}^3+8000\cdot 1,{03}^4$

Dette er en geometriske rekke. $a_1=8000\cdot 1,03$ og $k=1,03$.

Jeg bruker sumformelen og regner ut summen vha. CAS:

31. desember 2014 har Katrine 63726 kr på sparekontoen.

Oppgave 4

a)

b)

Jeg lager en linje for $y=10$. Deretter bruker jeg "skjæring mellom to objekt" til å finne skjæringspunkta mellom den rette linja og grafen til $V$.

Jeg finner skjæringspunkta $(52.7,10)$ og $(105.2,10)$. (Sjå figuren i oppg. a))

I følge modellen vi produksjonen være 10 milliarder fat per år 52,7 år etter 1930 og 105,2 år etter 1930. Det vil si i løpet av år 1982 og i løpet av år 2035.

c)

Jeg skriver inn i GeoGebra: "Ekstremalpunkt[V, 0, 140]" og finner toppunktet i $(78.9,15.2)$. (Sjå figuren i oppg. a))

Produksjonen vil være størst på slutten av år 2008.

d)

Jeg bruker CAS i GeoGebra til å regne ut det bestemte integralet av $V(t)$ mellom $t=0$ og $t=85$.

Den totale produksjonen av olje fra om med 1930 til og med 2014 vil være 665,78 milliarder fat.

Oppgave 5

a)

$B_4=35$

b)

$$\begin{gathered} B_n=T_n+T_{n+3}-3 \\ {B}_5=T_5+T_8-3 \end{gathered}$$

$$T_n=1+2+3+\cdots n=\sum _1^{n}n$$

Jeg bruker CAS til å regne ut dette:

$B_5=48$

c)

Vi kan se at $T_n=1+2+3+\cdots +n$ er summen av en aritmetisk rekke, med $a_1=1$, $a_n=n$ og $d=1$.

Da kan vi bruke formel for sum av en aritmetisk rekke til å skrive $T_n$ på en annen måte:

$$T_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n=\frac{1+n}{2}\cdot n=\frac{(1+n)n}{2}=\frac{n^2+n}{2}$$

Vi bruker uttrykket for $T_n$ til å finne et uttrykk for $T_{n+3}$:

$$T_{n+3}=\frac{1+(n+3)}{2}\cdot (n+3)=\frac{(n+4)(n+3)}{2}=\frac{n^2+7n+12}{2}$$

Da får vi:

$$B_n=T_n+T_{n+3}-3=\frac{n^2+n}{2}+\frac{n^2+7n+12}{2}-3=\frac{n^2+n+n^2+7n+12-6}{2}=\frac{2n^2+8n+6}{2}=n^2+4n+3$$

Oppgave 6

a)

Jeg bruker sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra. Jeg velger "Normalfordeling", og skriver inn "$\mu =0.33$" og "$\sigma =0.03$".

Jeg finner at $P(X>0,36)=0,1587$.

Sannsynligheten for at en tilfeldig valgt kartong inneholder mer enn 0,36 liter er 15,9 %.

b)

Jeg fortsetter med sannsynlighetskalkulatoren:

Jeg finner nå at $P(0,32<X<0,34)=0,2611$.

26,1 % av kartongene vil inneholde mellom 0,32 og 0,34 liter.

c)

Jeg setter opp hypoteser:

$H_0:\mu =0,33$ (Innholdet er riktig)

$H_1:\mu <0,33$ (Innholdet er for lite)

Vi har testet 25 tilfeldige kartonger, med $\overline{x}=0,292$ liter.

Da er samla innhold for de 25 kartongene: $25\cdot 0,292$ liter $=7,3$ liter.

Vi går ut fra at $H_0$ gjelder. Vi lar $X_{\mathrm{\Sigma }}$ være summen av innholdet til 25 tilfeldige kartonger.

Da er $X_{\mathrm{\Sigma }}$ normalfordelt, med ${\mu }_{X_{\mathrm{\Sigma }}}=n\cdot \mu =25\cdot 0,33=8,25$ og ${\sigma }_{X_{\mathrm{\Sigma }}}=\sqrt{n}\cdot \sigma =\sqrt{25}\cdot 0,03=0,15$

Vi ønsker nå å finne sannsynligheten for at samla innhold til 25 kartonger er mindre enn 7,3 liter, $P(X_{\mathrm{\Sigma }}<7,3)$. Jeg bruker sannsynlighetskalkulator i GeoGebra:

P-verdien blir $P(X_{\mathrm{\Sigma }}\le 7,3)=0$

P-verdien er $0\mathrm{\%}<5\mathrm{\%}$. Da kan vi forkaste nullhypotesen. Vi har grunnlag for å si at bedriften i snitt tapper for lite juice på kartongene.

d)

Vi må finne $z$ slik at $P(Z>z)=0,90$. Så kan vi bruke omregningsformelen til få finne $\mu$.

$P(Z>z)=0,90$ er det samme som at $P(Z<z)=0,10$.

Vi finner denne verdien i tabellen for standard normalfordeling.

$z=-1,28$ gir den verdien som er nærmest 0,10.

$$\begin{gathered} z=\frac{x-\mu }{\sigma } \\ -1,28=\frac{0,32-\mu }{0,03} \end{gathered}$$

Løser likningen vha. CAS:

Forventningsverdien må være 0,36 liter for at ca. 90 % av kartongene skal inneholde mer enn 0,32 liter juice.