S2 2014 høst LØSNING: Forskjell mellom sideversjoner

Fra Matematikk.net
Hopp til: navigasjon, søk
Maavan (diskusjon | bidrag)
Maavan (diskusjon | bidrag)
 
(7 mellomliggende sideversjoner av samme bruker vises ikke)
Linje 367: Linje 367:


===b)===
===b)===
Dersom Katrine ikke hadde tatt ut 8000 kr hvert år, hadde hun 31. desember 2014 hatt:
872491,034=98200 kr på kontoen.
Nå kan vi finne ut hva de 4 uttakene på 8000 kr hvert år hadde forrentet seg til dersom hun hadde spart de.
Summen av sluttverdiene blir:
80001,03+80001,032+80001,033+80001,034
Dette er en geometriske rekke. a1=80001,03 og k=1,03.
Jeg bruker sumformelen og regner ut summen vha. CAS:
[[File:S2-H14-Del2-Oppg3b.png]]
31. desember 2014 har Katrine 63726 kr på sparekontoen.


== Oppgave 4 ==
== Oppgave 4 ==
=== a) ===
[[File:S2-H14-Del2-Oppg4a.png]]
=== b) ===
Jeg lager en linje for y=10. Deretter bruker jeg "skjæring mellom to objekt" til å finne skjæringspunkta mellom den rette linja og grafen til V.
Jeg finner skjæringspunkta (52.7,10) og (105.2,10). (Sjå figuren i oppg. a))
I følge modellen vi produksjonen være 10 milliarder fat per år 52,7 år etter 1930 og 105,2 år etter 1930.
Det vil si i løpet av år 1982 og i løpet av år 2035.
=== c) ===
Jeg skriver inn i GeoGebra: "Ekstremalpunkt[V, 0, 140]" og finner toppunktet i (78.9,15.2). (Sjå figuren i oppg. a))
Produksjonen vil være størst på slutten av år 2008.
=== d) ===
Jeg bruker CAS i GeoGebra til å regne ut det bestemte integralet av V(t) mellom t=0 og t=85.
[[File:S2-H14-Del2-Oppg4d.png]]
Den totale produksjonen av olje fra om med 1930 til og med 2014 vil være 665,78 milliarder fat.


== Oppgave 5 ==
== Oppgave 5 ==
=== a)===
B4=35
=== b)===
$$B_n =T_n + T_{n+3} -3 \
B_5 = T_5 +T_8 -3 $$
Tn=1+2+3+n=1nn
Jeg bruker CAS til å regne ut dette:
[[File:S2-H14-Del2-Oppg5b.png]]
B5=48
=== c)===
Vi kan se at Tn=1+2+3++n er summen av en aritmetisk rekke, med a1=1, an=n og d=1.
Da kan vi bruke formel for sum av en aritmetisk rekke til å skrive Tn på en annen måte:
Tn=a1+an2n=1+n2n=(1+n)n2=n2+n2
Vi bruker uttrykket for Tn til å finne et uttrykk for Tn+3:
Tn+3=1+(n+3)2(n+3)=(n+4)(n+3)2=n2+7n+122
Da får vi:
$$B_n = T_n + T_{n+3} -3
= \frac{n^2+n}{2} + \frac{n^2+7n+12}{2} -3
= \frac{n^2+n+n^2+7n+12-6}{2}
= \frac{2n^2 +8n +6 }{2}
= n^2 +4n +3$$


== Oppgave 6 ==
== Oppgave 6 ==
=== a) ===
Jeg bruker sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra.
Jeg velger "Normalfordeling", og skriver inn "μ=0.33" og "σ=0.03".
[[File:S2-H14-Del2-Oppg6a.png]]
Jeg finner at P(X>0,36)=0,1587.
Sannsynligheten for at en tilfeldig valgt kartong inneholder mer enn 0,36 liter er 15,9 %.
=== b) ===
Jeg fortsetter med sannsynlighetskalkulatoren:
[[File:S2-H14-Del2-Oppg6b.png]]
Jeg finner nå at P(0,32<X<0,34)=0,2611.
26,1 % av kartongene vil inneholde mellom 0,32 og 0,34 liter.
=== c) ===
Jeg setter opp hypoteser:
H0:μ=0,33 (Innholdet er riktig)
H1:μ<0,33 (Innholdet er for lite)
Vi har testet 25 tilfeldige kartonger, med x¯=0,292 liter.
Da er samla innhold for de 25 kartongene: 250,292 liter =7,3 liter.
Vi går ut fra at H0 gjelder.
Vi lar XΣ være summen av innholdet til 25 tilfeldige kartonger.
Da er XΣ normalfordelt, med
μXΣ=nμ=250,33=8,25    og
σXΣ=nσ=250,03=0,15
Vi ønsker nå å finne sannsynligheten for at samla innhold til 25 kartonger er mindre enn 7,3 liter, P(XΣ<7,3).
Jeg bruker sannsynlighetskalkulator i GeoGebra:
[[File:S2-H14-Del2-Oppg6c.png]]
P-verdien blir P(XΣ7,3)=0
P-verdien er 0%<5%. Da kan vi forkaste nullhypotesen.
Vi har grunnlag for å si at bedriften i snitt tapper for lite juice på kartongene.
=== d) ===
Vi må finne z slik at P(Z>z)=0,90. Så kan vi bruke omregningsformelen til få finne μ.
P(Z>z)=0,90 er det samme som at P(Z<z)=0,10.
Vi finner denne verdien i tabellen for standard normalfordeling.
z=1,28 gir den verdien som er nærmest 0,10.
$$ z = \frac{x-\mu}{\sigma} \
-1,28 = \frac{0,32-\mu}{0,03}$$
Løser likningen vha. CAS:
[[File:S2-H14-Del2-Oppg6d.png]]
Forventningsverdien må være 0,36 liter for at ca. 90 % av kartongene skal inneholde mer enn 0,32 liter juice.

Siste sideversjon per 17. mai 2015 kl. 21:30

oppgave på bokmål
fullstendig eksamensoppgave
Diskusjon av denne oppgaven (med delvis løsning)

Del 1

Oppgave 1

a)

f(x)=3ln(x+2)

Deriverer ved å bruke kjerneregelen med u=x+2u=1

f(x)=31uu=31x+21=3x+2

b)

g(x)=xln(3x)

Deriverer ved å bruke produktregelen og kjerneregelen:

g(x)=1ln(3x)+x13x3=ln(3x)+1

Oppgave 2

Brøken kan forkortes, dersom (x3) er en faktor i telleren f(x)=(x32x23x).

Fra nullpunktsetningen vet vi at dersom (x3) er en faktor i polynomet f(x), må x=3 være et nullpunkt for f(x).

Vi sjekker dette: f(3)=3323233=27189=0

Brøken kan forkortes.

Vi kan forkorte brøken ved å utføre polynomdivisjon:

(x32x23x):(x3)=x2+x

x32x23xx3=(x2+x)(x3)x3=x2+x,x3

Oppgave 3

a)

Jeg skriver først rekken på en annen måte:

a+a12+a122++a12n1

Da ser vi at dette er en geometrisk rekke, med

a1=a og k=12

Bruker formel for sum av de n første ledda i en geometrisk rekke:

Sn=a1kn1k1 Sn=a(12)n1121=a12n112=2a(12n1)=2a(112n)

b)

Rekka konvergerer fordi k=12 og dermed er 1<k<1. Da vet vi at en uendelig geometrisk rekke konvergerer.

Vi kan også begrunne det ut fra formelen for summen vi fant i oppg. a):

Når n vil 12n0.

Da vil vi få:

Sn=2a(112n)2a(10)=2a

c)

S=2aS=102a=10a=102=5

Oppgave 4

f(x)=x36x2+9x,Df=R

a)

Nullpunktene til f:

f(x)=0x36x2+9x=0x(x26x+9)=0faktoriserer utxx(x3)2=0faktoriserer vha. 2. kvadratsetningx=0x=3

b)

Topp-/bunnpunkter på grafen til f:

f(x)=3x212x+9

f(x)=0

3x212x+9=03(x24x+3)=0x24x+3=0

x=(4)±(4)2432=4±16122=4±42=4±22x=3x=1

3(x24x+3)=3(x3)(x1)

Lager fortegnslinje:

f(1)=4f(3)=0

Grafen til f har et toppunkt i (1,4) og et bunnpunkt i (3,0).

c)

Vendepunktet på grafen til f:

f(x)=6x12f(x)=06x12=0x=2

Lager fortegnslinje:

f(2)=2

Grafen til f har et vendepunkt i (2,2).

d)

Oppgave 5

a)

I punktet A er x=400.

To av de rette linjene går også gjennom punktet A.

Den ene er linja y=4,46x (denne har størst stigningstall, og stiger raskest av de tre rette linjene).

Den andre er linja y=2,06x+960 (dette er linja som tangerer grafen til y=K(x) i punktet A).

Vi kan dermed bruke en av disse linjene, til å regne ut funksjonsverdien til K(x) for x=400.

Vi får da:

E(x)=K(x)xE(400)=K(400)400=4,46400400=4,46

b)

Grensekostnaden er K(x)

Den deriverte til K(x) når x=400, er det samme som stigningstallet til tangenten til grafen når x=400.

Linja y=2,06x+960 tangerer grafen til K(x) i punktet A, der x=400.

Vi ser at denne tangenten har stigningstallet 2,06.

K(400)=2,06

c)

Den minste verdien for enhetskostnaden finner vi der enhetskostnaden er lik grensekostnaden

K(x)=E(x)

Nå skal vi se på punket B. Her er x=1000.

Den rette linja y=3,43x tangerer grafen til K(x) i punktet B.

Vi ser at tangenten har stigningstallet 3,43 og derfor er K(1000)=3,43.

Vi kan regne ut enhetskostnaden for x=1000 på samme måte som vi gjorde i oppg. a). Vi bruker den rette linja til å regne ut funksjonsverdien til K(x) for x=1000.

E(1000)=K(1000)1000=3,4310001000=3,43

Vi har nå vist at K(x)=E(x) for x=1000.

Den minste enhetskostnaden har vi ved produksjon av 1000 enheter, og da er enhetskostnaden 3,43 kroner per enhet.

Oppgave 6

a)

Summen av alle sannsynlighetsverdiene i en sannsynlighetsfordeling skal være lik 1.

Det gir oss første likning: a+b+c=1

Forventningsverdien regner vi ut slik: μ=E(X)=xiP(X=xi) som gir:

μ=E(X)=(1)a+0b+1c=a+c

Det gir oss andre likning: a+c=12

Variansen regner vi ut slik: Var(X)=(xiμ)2P(X=xi) som gir:

Var(X)=(112)2a+(012)2b+(112)2c=94a+14b+14c

Det gir oss tredje likning: 94a+14b+14c=71227a+3b+3c=7

b)

Jeg starter med andre likning: a+c=12c=12+a

Setter dette inn i første likning: a+b+12+a=12a+b=12b=122a

Setter inn i siste likning: 27a+3(122a)+3(12+a)=727a+326a+32+3a=724a=4a=16

b=12216=16c=12+16=46=23

Oppgave 7

f(x)=x33x2+2x2

Den deriverte i et punkt er stigningstallet til tangenten til grafen i dette punktet.

Når vi vet at stigningtallet til tangenten er lik 2, vet vi dermed også at f(x)=2.

f(x)=3x26x+2f(x)=23x26x+2=23x26x=03x(x2)=03x=0x2=0x=0x=2

f(0)=03302+202=2f(2)=23322+222=2

Punktene (0,2) og (2,2) på grafen til f har tangent med stigningstall lik 2.

Del 2

Oppgave 1

a)

p(x)=5000,1x

I(x)=mengdepris=xp(x)=x(5000,1x)=500x0,1x2

b)

Jeg legger tabellen inn i regnearket i GeoGebra. Deretter merker jeg tallene, høyreklikker og velger "Lag liste med punkt". Når punktene blir plottet i koordinatsystemet, ser det ut som at en andregradsfunksjon kan passe bra.

Jeg bruker kommandoen "RegPoly[Liste1, 2]" og får følgende modell for kostnadsfunksjonen K:

K(x)=0,05x2+109,31x+26140

(Det står en kommentar til denne oppgaven i sensorveiledningen: "Her må det vises romslighet med hensyn til kandidatens valg av modell." F.eks. vil en lineær modell også kunne passe.)

c)

Jeg løser denne oppgaven i CAS:

Uttrykk for overskuddet blir: O(x)=0,15x2+390,69x26140

Det største overskuddet har vi når O(x)=0 Da er x=1302,3.

Produksjonsmengden som gir størst overskudd er 1302 enheter.

d)

Overskudd er inntekter minus kostnader.

O(x)=I(x)K(x)

Overskuddet er størst når O(x)=0

Vi deriverer og får: O(x)=I(x)K(x)

O(x)=0I(x)K(x)=0I(x)=K(x)

Oppgave 2

a)

Jeg starter med arealet, og finner et uttrykk for y gitt ved x:

xy=625y=625x

Lengden av gjerdet består av to sider med lengde y, en side med lengde x og et stykke med lengde x15. (Steinmuren erstatter 15 m av gjerdet på den ene siden.)

Dette gir: G(x)=x+(x15)+2yG(x)=2x+2y15

Setter inn for y: G(x)=2x+2(625x)15G(x)=2x+1250x15

Setter på felles brøkstrek: G(x)=2x215x+1250x

b)

Gjerdet har kortest mulig lengde, når funksjonen G(x) har et bunnpunkt.

Jeg løser likningen G(x)=0 i CAS:

Bare den positive løsningen kan brukes (et gjerde kan ikke ha negativ lengde).

Gjerdet har kortest mulig lengde når x=25. Da er er gjerdet 85 meter langt.

Fra oppg. a) vet vi at y=625x. Det gir y=25.

Vi ser at x=y. Da er området kvadratisk.

Oppgave 3

a)

Summen av sluttverdiane blir:

200001,035+200001,0352+200001,0353+200001,0354

Dette er en geometrisk rekke med 4 ledd.

a1=200001,035 og k=1,035.

Jeg bruker sumformelen og regner ut vha. CAS

S4=a1k41k1

31. desember 2010 hadde Katrine 87249 kr på sparekontoen.


b)

Dersom Katrine ikke hadde tatt ut 8000 kr hvert år, hadde hun 31. desember 2014 hatt:

872491,034=98200 kr på kontoen.

Nå kan vi finne ut hva de 4 uttakene på 8000 kr hvert år hadde forrentet seg til dersom hun hadde spart de.

Summen av sluttverdiene blir:

80001,03+80001,032+80001,033+80001,034

Dette er en geometriske rekke. a1=80001,03 og k=1,03.

Jeg bruker sumformelen og regner ut summen vha. CAS:

31. desember 2014 har Katrine 63726 kr på sparekontoen.

Oppgave 4

a)

b)

Jeg lager en linje for y=10. Deretter bruker jeg "skjæring mellom to objekt" til å finne skjæringspunkta mellom den rette linja og grafen til V.

Jeg finner skjæringspunkta (52.7,10) og (105.2,10). (Sjå figuren i oppg. a))

I følge modellen vi produksjonen være 10 milliarder fat per år 52,7 år etter 1930 og 105,2 år etter 1930. Det vil si i løpet av år 1982 og i løpet av år 2035.

c)

Jeg skriver inn i GeoGebra: "Ekstremalpunkt[V, 0, 140]" og finner toppunktet i (78.9,15.2). (Sjå figuren i oppg. a))

Produksjonen vil være størst på slutten av år 2008.

d)

Jeg bruker CAS i GeoGebra til å regne ut det bestemte integralet av V(t) mellom t=0 og t=85.

Den totale produksjonen av olje fra om med 1930 til og med 2014 vil være 665,78 milliarder fat.

Oppgave 5

a)

B4=35

b)

Bn=Tn+Tn+33B5=T5+T83

Tn=1+2+3+n=1nn

Jeg bruker CAS til å regne ut dette:

B5=48


c)

Vi kan se at Tn=1+2+3++n er summen av en aritmetisk rekke, med a1=1, an=n og d=1.

Da kan vi bruke formel for sum av en aritmetisk rekke til å skrive Tn på en annen måte:

Tn=a1+an2n=1+n2n=(1+n)n2=n2+n2

Vi bruker uttrykket for Tn til å finne et uttrykk for Tn+3:

Tn+3=1+(n+3)2(n+3)=(n+4)(n+3)2=n2+7n+122

Da får vi:

Bn=Tn+Tn+33=n2+n2+n2+7n+1223=n2+n+n2+7n+1262=2n2+8n+62=n2+4n+3

Oppgave 6

a)

Jeg bruker sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra. Jeg velger "Normalfordeling", og skriver inn "μ=0.33" og "σ=0.03".

Jeg finner at P(X>0,36)=0,1587.

Sannsynligheten for at en tilfeldig valgt kartong inneholder mer enn 0,36 liter er 15,9 %.

b)

Jeg fortsetter med sannsynlighetskalkulatoren:

Jeg finner nå at P(0,32<X<0,34)=0,2611.

26,1 % av kartongene vil inneholde mellom 0,32 og 0,34 liter.

c)

Jeg setter opp hypoteser:

H0:μ=0,33 (Innholdet er riktig)

H1:μ<0,33 (Innholdet er for lite)

Vi har testet 25 tilfeldige kartonger, med x¯=0,292 liter.

Da er samla innhold for de 25 kartongene: 250,292 liter =7,3 liter.

Vi går ut fra at H0 gjelder. Vi lar XΣ være summen av innholdet til 25 tilfeldige kartonger.

Da er XΣ normalfordelt, med μXΣ=nμ=250,33=8,25 og σXΣ=nσ=250,03=0,15

Vi ønsker nå å finne sannsynligheten for at samla innhold til 25 kartonger er mindre enn 7,3 liter, P(XΣ<7,3). Jeg bruker sannsynlighetskalkulator i GeoGebra:

P-verdien blir P(XΣ7,3)=0

P-verdien er 0%<5%. Da kan vi forkaste nullhypotesen. Vi har grunnlag for å si at bedriften i snitt tapper for lite juice på kartongene.

d)

Vi må finne z slik at P(Z>z)=0,90. Så kan vi bruke omregningsformelen til få finne μ.

P(Z>z)=0,90 er det samme som at P(Z<z)=0,10.

Vi finner denne verdien i tabellen for standard normalfordeling.

z=1,28 gir den verdien som er nærmest 0,10.

z=xμσ1,28=0,32μ0,03

Løser likningen vha. CAS:

Forventningsverdien må være 0,36 liter for at ca. 90 % av kartongene skal inneholde mer enn 0,32 liter juice.