R1 2015 høst LØSNING

Oppgaven som pdf

Løsningsforslag laget av LektorH

Løsningsforslag (pdf) fra joes

Diskusjon av denne oppgaven

Oppgave 1

a)

$$\begin{gathered} f(x)=3x^2+5x-2 \\ f´(x)=6x+5 \end{gathered}$$

b)

$$\begin{gathered} g(x)=3(x^2-2{)}^4 \\ g´(x)=3\cdot 4\cdot 2x(x^2-2{)}^3=24x(x^2-2{)}^3 \end{gathered}$$

c)

$h(x)=xln(x^2+3)$

Setter $u=x^2+3$ som gir $u^{\prime }=2x$, og får:

$$\begin{gathered} h^{\prime }(x)=ln(x^2+3)+\frac{x\cdot 2x}{x^2+3} \\ {h}^{\prime }(x)=ln(x^2+3)+\frac{2x^2}{x^2+3} \end{gathered}$$

Oppgave 2

$$\begin{gathered} f(x)=x{e}^{-x} \\ f´x)=e^{-x}+x(-1)e^{-x}=e^{-x}(1-x) \end{gathered}$$

$e^{-x}$ er positiv for alle x. (1-x) er null for x=1, negativ for x > 1 og positiv for x < 1. x = 1 gir et maksimum for funksjonen.

Oppgave 3

a)

$f(x)=x^3-2x^2-kx+6,D_F=\text{R}$

k slik at $f(x):(x-1)$ går opp:

$$\begin{gathered} 1-2-k+6=0 \\ k=5 \end{gathered}$$

b)

$$\begin{gathered} x^3-2x^2-5x+6:(x-1)=x^2-x-6 \\ -(x^3-x^2) \\ -x^2-5x \\ -(-x^2+x) \\ -6x+6 \\ -(-6x+6) \end{gathered}$$

Vi løser andregradspolynomet (abc - formel el.) og får totalt disse tre lineære faktorer: (x - 1)(x + 2)(x - 3).

c)

Tegner fortegnsskjema for hver av de tre lineære faktorene i b, og får fortegnslinjen for f(x):

$$\begin{gathered} f(x)\ge 0 \\ x\in [-2,1]\cup [3,\to > \end{gathered}$$

Oppgave 4

$$\begin{gathered} lg(a^2{b}^3)+lg(\frac{1}{b^2})-lg(\frac{b}{a})= \\ 2lga+3lgb-2lgb-lgb+lga= \\ 3lga \end{gathered}$$

Oppgave 5

a)

$f(x)=-x^4+4x^3=x^3(-x+4)x\in <-2,4>$

Siden funksjonen ikke er definert for x = 4 har den bare ett nullpunkt, i Origo (0, 0).

b)

$f´(x)=-4x^3+12x^2=-4x^2(x-3)$

Grafen har et terrassepunkt for x = 0, dvs. i (0, 0) og et maksimum i (3, f(3)) som gir (3, 27).

c)

Vendepunkt:

$$\begin{gathered} f´´(x)=-12x^2+24x \\ f´´(x)=0 \\ -12x(x-2)=0 \\ x=0\vee x=2 \end{gathered}$$

x= 0 er sammenfallende med nullpunkt og terrassepunkt, vendepunktene er (0, 0) og (2, 16) ( f(2) = 16).

d)

Oppgave 6

Vinkel u spenner over samme bue som vinkel D. Begge ligger på sirkelperiferien og er derfor like. Vinkel u er 50 grader.

Vinkel C er 90 grader fordi den ligger på pereferien og spenner over diameteren. Da blir vikel v 40 grader.

Oppgave 7

a)

Siden det er 60% jenter og 70% av disse har blå øyner, betyr det at 42% av elevmassen er jenter med blå øyner. Tilsvarende tall for gutter er 22%.

	Blå	ikke blå	Total
Jente	42%	18%	60%
Gutt	22%	18%	40%
Total	64%	36%	100%

Fra tabellen ser man at sannsynligheten for å trekke en elev med blå øyner er 64%.

b)

Det er 36% som ikke har blå øyner. 18% av disse er gutter. Sannsynligheten er 0,5 for gutt.

Oppgave 8

a)

b)

Halveringslinjene er blå i figuren over. En vinkelhalveringslinje er et geometrisk sted, like langt fra de to sidene som danner vinkelen. Dersom man befinne seg på den blå linjen som halverer vinkel A betyr det at man er like langt fra linjestykkene AB og AC. Den samme tanken følger vi fra den blå linjen som halverer vinkel B. Punktet S der linjene møtes blir da et punkt som ligger like langt fra alle linjene. Denne avstanden er SD = SE = SF. En sirkel mens sentrum i S og radius SD vil følgelig bli en innskrevet sirkel.

c)

Se over.

d)

Se over.

Oppgave 9

$$\begin{gathered} lg(x+2{)}^2=lg{x}^4 \\ 2lg(x+2)=lg(x^2{)}^2 \\ 2lg(x+2)=2lg(x^2) \\ lg(x+2)=lg(x^2) \\ x+2=x^2 \\ -x^2+x+2=0 \end{gathered}$$

Bruke abc formelen (el.) og får at x = - 1 eller x = 2. Vi kan ikke ta logaritmen til et negativt tall, så vi må sjekke ut svarene. I denne oppgaven er begge svar gyldige.

Oppgave 1

a)

C = 3 og k = 0,01625

(brukte regresjon)

b)

I følge modellen vil dette skje i år 74 etter 1960, dvs. i år 2034, se figur i a.

c)

$f(x)=3e^{0,01625x}=3(e^{0,01625}{)}^x=3\cdot 1,{01638}^x$ Det betyr at økningen per år er på ca 1,64%

Oppgave 2

a)

b)

Bruker Geogebra og finner at arealet er 35.

c)

Punktet der normalen fra C på AB skjærer x- aksen har koordinatene (x,0).

$\overrightarrow{AB}=[8,-1]$

$$\begin{gathered} [8,-1]\cdot [5-x,8]=0 \\ 40-8x-8=0 \\ 8x=32 \\ x=4 \end{gathered}$$

Oppgave 3

a)

Arealet til rektangelet er lengde gange bredde:

$G(x)=x\cdot f(x)=x(4-0,125x^3)=4x-0,125x^4$

b)

De x verdiene som gir rektangelet et areal på 5,0 er x= 1,36 og x= 2,53.

c)

Fra figuren i b ser man at det største arealet får man når x = 2. Arealet av rektangelet er da 6.

Oppgave 4

a)

b)

Fra figuren i a ser man at det tredje skjæringspunktet er (5,8).

Summen av x-koordinatene er 4.

c)

1. Vi definerer g(x) i CAS.

2. Stignigstallet til en rett linje a, er $\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}$ som gir $a=\frac{g(t)-g(s)}{t-s}$. Stigningstallet blir da det du ser i linje to på CAS klippet.

3. Likningen for en rett linje er y= ax + b. b leddet finner man på linje 3.

d)

Fra linje 4 i c:

x = s, x = t og x = -a -s - t

SUM: x + x + x = s + t + (-a - s - t ) = -a