R2 2013 høst LØSNING

DEL EN

Oppgave 1

a) $f(x)=5x\cos x$

$f^{\prime }(x)=5\cos x+5x(-\sin x)=5\cos x-5x\sin x=5(\cos x-x\sin x)$

b) $g(x)=\frac{\sin (2x)}{x}$

$g^{\prime }(x)=\frac{2\cos (2x)\cdot x-\sin (2x)\cdot 1}{x^2}=\frac{2x\cos (2x)-\sin (2x)}{x^2}$

Oppgave 2

a) ${\int }_0^{1}2e^{2x}\mathrm{d}x=2{\int }_0^1{e}^{2x}\mathrm{d}x=2{\left[\frac{1}{2}{e}^{2x}\right]}_0^1=\frac{2}{2}{\left[e^{2x}\right]}_0^1=e^{2\cdot 1}-e^{2\cdot 0}=e^2-e^0=e^2-1$

b) $\int 2x\cdot e^x\mathrm{d}x$

La $u=2x$ og $v^{\prime }=e^x$

$\begin{array}{rl}\int 2x\cdot e^x\mathrm{d}x& =2x\cdot e^x-\int 2e^x\mathrm{d}x+C\\ & =2x{e}^x-2\int e^x\mathrm{d}x+C\\ & =2x{e}^x-2e^x+C\\ & =2e^x(x-1)+C\end{array}$

Oppgave 3

a) $\overrightarrow{AB}=[-2,3,0]$ og $\overrightarrow{AC}=[-2,0,4]$

$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=(-2)\cdot (-2)+3\cdot 0+0\cdot 4=4$

$\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=[3\cdot 4-0\cdot 0,-((-2)\cdot 4-0\cdot (-2)),(-2)\cdot 0-3\cdot (-2)]=[12,8,6]$

b)

$\begin{array}{rl}V& =|\frac{1}{6}(\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC})\cdot \overrightarrow{AO}|\\ {\displaystyle }& =|\frac{1}{6}[12,8,6]\cdot [-2,0,0]|\\ {\displaystyle }& =|\frac{1}{6}(12(-2)+8\cdot 0+6\cdot 0)|\\ {\displaystyle }& =|\frac{1}{6}(-24)\\ {\displaystyle }& =|-\frac{24}{6}|\\ {\displaystyle }& =|-4|\\ {\displaystyle }& =4\end{array}$

Eventuelt kan man regne ut volumet ved hjelp av formelen for volum av pyramide, $V=\frac{G\cdot h}{3}$,

hvor $G=\frac{|\overrightarrow{OA}|\cdot |\overrightarrow{OB|}}{2}=\frac{2\cdot 3}{2}=3$ og $h=|\overrightarrow{OC}|=4$.

Da får man $V=\frac{3\cdot 4}{3}=4$

c) Om man bruker punktet $A(2,0,0)$ og normalvektoren $\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=[12,8,6]$ blir likningen for planet $\alpha$:

$\begin{array}{rl}12(x-2)+8(y-0)+6(z-0)& =0\\ 12x-24+8y+6z& =0\\ 12x+8y+6z& =24\\ \frac{12x}{24}+\frac{8y}{24}+\frac{6z}{24}& =\frac{24}{24}\\ \frac{x}{2}+\frac{y}{3}+\frac{z}{4}& =1\end{array}$

Hvilket skulle vises.

Oppgave 4

a) Rekken er geometrisk fordi neste ledd i rekken genereres ved å multiplisere det forrige leddet med en fast kvotient $k=e^{-1}=\frac{1}{e}$. Ettersom $\frac{1}{e}<1$, er altså $|k|<1$, hvilket gjør rekken konvergent.

$S=\frac{a_1}{1-k}=\frac{1}{1-\frac{1}{e}}=\frac{1}{\frac{e}{e}-\frac{1}{e}}=\frac{1}{\frac{e-1}{e}}=\frac{e}{e-1}$

b) I dette tilfellet er $k=e^{-x}$, og rekken er konvergent dersom $|k|<1$.

$|e^{-x}|<1$

Ettersom $e^{-x}$ alltid vil være positivt, kan man skrive om likningen til

$\begin{array}{rl}{e}^{-x}& <1\\ \ln (e^{-x})& <\ln 1\\ (-x)\cdot \ln (e)& <0\\ -x& <0\\ x& >0\end{array}$

$S=\frac{a_0}{1-k}=\frac{1}{1-e^{-x}}=\frac{1}{1-\frac{1}{e^x}}=\frac{1}{\frac{e^x}{e^x}-\frac{1}{e^x}}=\frac{1}{\frac{e^x-1}{e^x}}=\frac{e^x}{e^x-1}$

Oppgave 5

$N^{\prime }(t)=4t+3$ og $N(0)=800$

$N(t)=\int (4t+3)\mathrm{d}t=2t^2+3t+C$

$\begin{array}{rl}N(0)& =800\\ 2\cdot 0^2+3\cdot 0+C& =800\\ 0+0+C& =800\\ C& =800\end{array}$

$C=800\Rightarrow N(t)=2t^2+3t+800$

$N(10)=2\cdot {10}^2+3\cdot 10+800=200+30+800=1030$

Det var $1030$ individer i populasjonen etter $10$ timer.

Oppgave 6

$f(x)=\frac{1}{2}{x}^4-2x^3+\frac{5}{2}x$

a) $f^{\prime }(x)=2x^3-6x^2+\frac{5}{2}$

$f^{″}(x)=6x^2-12x=6x(x-2)$

Vendepunkter:

$V{p}_1:(0,f(0))=(0,\frac{1}{2}\cdot 0^4-2\cdot 0^3+\frac{5}{2}\cdot 0)=(0,0)$

$V{p}_2:(2,f(2))=(2,\frac{1}{2}\cdot 2^4-2\cdot 2^3+\frac{5}{2}\cdot 2)=(2,-3)$

b) $V{t}_1-0=f^{\prime }(0)\cdot (x-0)\Rightarrow V{t}_1=(2\cdot 0^3-6\cdot 0^2+\frac{5}{2})x\Rightarrow V{t}_1=\frac{5}{2}x$

$$\begin{gathered} V{t}_2-(-3)=f^{\prime }(2)\cdot (x-2) \\ \Rightarrow V{t}_2+3=(2\cdot 2^3-6\cdot 2^2+\frac{5}{2})(x-2) \\ \Rightarrow V{t}_2+3=-\frac{11}{2}(x-2) \\ \Rightarrow V{t}_2+3=-\frac{11}{2}x+11 \\ \Rightarrow V{t}_2=-\frac{11}{2}x+8 \end{gathered}$$

Oppgave 7

La $V(n)=\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+...+\frac{1}{n\cdot (n+1)}$ og $H(n)=\frac{n}{n+1}$

$V(1)=\frac{1}{1\cdot 2}=\frac{1}{2}$ og $H(1)=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$

$V(1)=H(1)\Rightarrow$ Påstanden er bevist for $n=1$

$\begin{array}{rl}V(k+1)& =\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+...+\frac{1}{k\cdot (k+1)}+\frac{1}{(k+1)(k+2)}\\ & =H(k)+\frac{1}{(k+1)(k+2)}\\ & =\frac{k}{k+1}+\frac{1}{(k+1)(k+2)}\\ & =\frac{k(k+2)+1}{(k+1)(k+2)}\\ & =\frac{k^2+2k+1}{(k+1)(k+2)}\\ & =\frac{{(k+1)}^2}{(k+1)(k+2)}\\ & =\frac{k+1}{k+2}\end{array}$

og

$H(k+1)=\frac{k+1}{(k+1)+1}=\frac{k+1}{k+2}$

$V(k+1)=H(k+1)\Rightarrow$ Påstanden er bevist for alle naturlige tall $n$.

Hvilket skulle bevises.

DEL TO

Oppgave 1

a) $F(v)=\frac{2+2\cos v}{2}\cdot \sin v=\frac{2(1+\cos v)}{2}\cdot \sin v=(1+\cos v)\sin v$

Hvilket skulle vises.

Om $v\ge \frac{\pi }{2}$ mister trapeset sin øverste side, og blir derfor til en trekant.

Om $v\le 0$ er vinkelen negativ, og trapeset vil ikke lenger være innskrevet i halvsirkelen.

$v\in <0,\frac{\pi }{2}>$

b) $F(v)=(1+\cos v)\sin v$

Produktregelen for derivasjon gir at

$\begin{array}{rl}{F}^{\prime }(v)& =(-\sin v)\sin v+(1+\cos v)\cos v\\ & ={\cos }^{2}v+\cos v-{\sin }^{2}v\\ & ={\cos }^{2}v+\cos v-(1-{\cos }^{2}v)\\ & =2{\cos }^{2}v+\cos v-1\end{array}$

$\cos v=\frac{-1\pm \sqrt{1^2-4\cdot 2(-1)}}{2\cdot 2}=\frac{-1\pm 3}{4}$

$\cos v_1=\frac{1}{2}$ og $\cos v_2=-1$

$\Rightarrow F^{\prime }(v)=2(\cos v-\frac{1}{2})(\cos v+1)$

$v=\frac{\pi }{3}$ og $F_{maks}(v)=F\left(\frac{\pi }{3}\right)=(1+\cos \frac{\pi }{3})\sin \frac{\pi }{3}=(1+\frac{1}{2})\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$

Oppgave 2

a)

b) Fra tegningen kan man se at grafens utseende i intervallet $x\in [0,2]$ gjentar seg i intervallet $x\in [2,4]$ og $[4,6]$. Altså er det et intervall som gjentas langs $x$-aksen, hvilket betyr at grafen er periodisk.

$p=2$

c)

$\begin{array}{rl}f(x)& =\sin \left(\pi x\right)+\sin \left(2\pi x\right)\\ & =\sin \left(\pi x\right)+\sin (\pi x+\pi x)\\ & =\sin \left(\pi x\right)+(\sin \left(\pi x\right)\cos \left(\pi x\right)+\cos \left(\pi x\right)\sin \left(\pi x\right))\\ & =\sin \left(\pi x\right)+2\sin \left(\pi x\right)\cos \left(\pi x\right)\\ & =\sin \left(\pi x\right)(1+2\cos (\pi x))\end{array}$

Hvilket skulle vises.

d)

$\begin{array}{rl}f(x)& =0\\ \sin \left(\pi x\right)(1+2\cos (\pi x))& =0\end{array}$

$\begin{array}{rl}\sin \left(\pi x\right)=0& \vee 1+2\cos (\pi x)=0\\ \pi x=0+\pi n& \vee \cos \left(\pi x\right)=-\frac{1}{2}\\ x=n& \vee \mathrm{\pi }x=\frac{2\pi }{3}+2\pi n\vee \pi x=2-\frac{2\pi }{3}+2n\\ x=n& \vee x=\frac{2}{3}+2n\vee x=\frac{4}{3}+2n\end{array}$

$x\in [0,2]\Rightarrow \begin{array}{rl}{x}_1& =0\\ x_2& =\frac{2}{3}\\ x_3& =1\\ x_4& =\frac{4}{3}\\ x_5& =2\end{array}$

Nullpunkter: $(0,0)$, $(\frac{2}{3},0)$, $(1,0)$, $(\frac{4}{3},0)$ og $(2,0)$

Oppgave 3

a) For enkelhetens skyld kan likningen $K^{\prime }(t)=0,08\cdot K(t)+20000$ skrives som $y^{\prime }=0,08\cdot y+20000$

METODE 1

Differensiallikningen kan løses med en integrerende faktor.

$\begin{array}{rl}{y}^{\prime }& =0,08\cdot y+20000\\ y^{\prime }-0,08\cdot y& =20000|\cdot e^{-0,08t}\\ y^{\prime }\cdot e^{-0,08t}-0,08\cdot y\cdot e^{-0,08t}& =20000\cdot e^{-0,08t}\\ {(y\cdot e^{-0,08t})}^{\prime }& =20000e^{-0,08t}\\ y\cdot e^{-0,08t}& =\int 20000e^{-0,08t}\mathrm{d}t\\ y\cdot e^{-0,08t}& =20000\int e^{-0,08t}\mathrm{d}t\\ y\cdot e^{-0,08t}& =20000\cdot (-\frac{1}{0,08})\cdot e^{-0,08t}+C\\ y\cdot e^{-0,08t}& =-250000e^{-0,08t}+C|\cdot \frac{1}{e^{-0,08t}}\\ y& =-250000+\frac{C}{e^{-0,08t}}\\ y& =C{e}^{0,08t}-250000\\ \Rightarrow K(t)& =C{e}^{0,08t}-250000\end{array}$

METODE 2

Differensiallikningen er separabel.

$\begin{array}{rl}{y}^{\prime }& =0,08\cdot y+20000\\ y^{\prime }& =0,08(y+250000)|\cdot \frac{1}{y+250000}\\ y^{\prime }\cdot \frac{1}{y+250000}& =0,08\\ \frac{dy}{dt}\cdot \frac{1}{y+250000}& =0,08\\ \frac{1}{y+250000}\mathrm{d}y& =0,08\mathrm{d}t\\ \int \frac{1}{y+250000}\mathrm{d}y& =\int 0,08\mathrm{d}t\\ \ln |y+250000|+C_1& =0,08t+C_2\\ C_2-C_1=C_3\Rightarrow \ln |y+250000|& =0,08t+C_3\\ y+250000& =e^{0,08t+C_3}\\ y+250000& =e^{C_3}\cdot e^{0,08t}\\ e^{C_3}=C\Rightarrow y+250000& =C{e}^{0,08t}\\ y& =C{e}^{0,08t}-250000\\ \Rightarrow K(t)& =C{e}^{0,08t}-250000\end{array}$

$\begin{array}{rl}K(0)=20000& \Rightarrow 20000=C{e}^{0,08\cdot 0}-250000\\ & \Rightarrow 20000=C-250000\\ & \Rightarrow C=270000\\ & \Rightarrow K(t)=270000e^{0,08t}-250000\end{array}$

b) $K(20)=270000e^{0,08\cdot 20}-250000=270000\cdot 4,95-250000=1086500$

Størrelsen på kapitalen etter $20$ år blir $1086500$ kroner.

c)

$\begin{array}{rl}K(t)& =270000e^{0,08t}-250000\\ K^{\prime }(t)& =21600e^{0,08t}\\ K^{\prime }(t)& =35000\\ 21600e^{0,08t}& =35000\\ e^{0,08t}& =\frac{35000}{21600}\\ 0,08t& =\ln \left(\frac{175}{108}\right)\\ t& =\frac{0,48}{0,08}\\ t& =6\end{array}$

Ifølge modellen vil det ta $6$ år før kapitalen vokser med $35000$ kroner hvert år.

Oppgave 4

a) På høyre side av likningen er den generelle regelen for integrasjon av polynomer brukt:

$\int x^a\mathrm{d}x=\frac{1}{a+1}{x}^{a+1}+C$

For ordens skyld kan summen av alle integrasjonskonstantene $C_1+C_2+C_3+C_4+...$ fra venstre side av likningen bli kalt $C_n$

På høyre side er substitusjon brukt for å integrere.

$\int \frac{1}{1-x}\mathrm{d}x$

$u=1-x\Rightarrow du=-dx\Rightarrow \int \frac{1}{1-x}\mathrm{d}x=-\int \frac{1}{u}\mathrm{d}u=-\ln |u|+C_m=\ln |1-x|+C_m$

På grunn av definisjonsmengden kan absoluttverditegnet elimineres.

$\Rightarrow C_n+x+\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{3}{x}^3+\frac{1}{4}{x}^4=-\ln (1-x)+C_m$

$C_m-C_n\Rightarrow x+\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{3}{x}^3+\frac{1}{4}{x}^4+...=-\ln (1-x)+C$

Hvilket skulle vises.

En kan se at den uendelige rekken på venstre side av likningen er formulert slik at graden til $x$ øker for hvert ledd. Derfor vil aldri leddet $a\cdot x^0$ (hvor $a$ er en konstant) dukke opp, hvilket betyr at det ikke eksisterer noe konstantledd på venstre side av likningen. Det er derfor unødvendig å skrive det på høyre side av likningen, hvilket betyr at $C=0$.

b) $x=\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{1}{1}\cdot \frac{1}{2^1}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2^2}+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2^3}+\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{2^4}+...=-\ln (1-\frac{1}{2})=\ln {\left(\frac{1}{2}\right)}^{-1}=\ln 2$

Hvilket skulle vises.

c) $n=19$

Oppgave 5

a)

$\begin{array}{rl}g(x)& =0\\ 1-k^2\cdot x^2& =0\\ (1+kx)(1-kx)& =0\\ kx& =-1\vee kx=1\\ x& =-\frac{1}{k}\vee x=\frac{1}{k}\end{array}$

Nullpunkter:

$N{p}_1:(-\frac{1}{k},f(-\frac{1}{k}))=(-\frac{1}{k},1-k^2\cdot \left(\frac{1}{k^2}\right))=(-\frac{1}{k},1-1)=(-\frac{1}{k},0)$

$N{p}_2:(\frac{1}{k},f(1-k^2\cdot \left(\frac{1}{k^2}\right))=(\frac{1}{k},0)$

b)

$\begin{array}{rl}{A}_f(x)& =A_g(x)\\ {\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\cos x\mathrm{d}x& ={\int }_{-\frac{1}{k}}^{\frac{1}{k}}(1-k^2\cdot x^2)\mathrm{d}x\\ {[\sin x]}_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}& ={[x-\frac{k^2}{3}{x}^3]}_{-\frac{1}{k}}^{\frac{1}{k}}\\ \sin \left(\frac{\pi }{2}\right)-\sin (-\frac{\pi }{2})& =(\frac{1}{k}-\frac{k^2}{3k^3})-(-\frac{1}{k}+\frac{k^2}{3k^3})\\ 1-(-1)& =2\cdot \frac{1}{k}-2\cdot \frac{1}{3k}\\ 1& =\frac{1}{k}-\frac{1}{3k}\\ 1& =\frac{3-1}{3k}\\ 3k& =2\\ k& =\frac{2}{3}\end{array}$

c) $\cos (u+v)=\cos u\cdot \cos v-\sin u\cdot \sin v$

$\begin{array}{rl}u=v=x& \Rightarrow \cos \left(2x\right)={\cos }^2\left(x\right)-{\sin }^2\left(x\right)\\ & \Rightarrow \cos \left(2x\right)={\cos }^2\left(x\right)-(1-{\cos }^2\left(x\right))\\ & \Rightarrow \cos \left(2x\right)={\cos }^2\left(x\right)-1+{\cos }^2\left(x\right)\\ & \Rightarrow \cos \left(2x\right)=2{\cos }^2\left(x\right)-1\\ & \Rightarrow 2{\cos }^2\left(x\right)=1+\cos \left(2x\right)\\ & \Rightarrow {\cos }^2\left(x\right)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot \cos \left(2x\right)\end{array}$

Hvilket skulle vises.

d)

$\begin{array}{rl}{V}_1& =\pi {\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}f{\left(x\right)}^2\mathrm{d}x\\ & =\pi {\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{2}x\mathrm{d}x\\ & =\pi {\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot \cos \left(2x\right))\mathrm{d}x\\ & =\frac{\pi }{2}{[x+\frac{1}{2}\sin \left(2x\right)]}_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\\ & =\frac{\pi }{2}((\frac{\pi }{2}+\frac{1}{2}\cdot \sin (2\cdot \frac{\pi }{2}))-(-\frac{\pi }{2}-\frac{1}{2}\cdot \sin (2\cdot (-\frac{\pi }{2}))))\\ & =\frac{\pi }{2}(\frac{\pi }{2}+0+\frac{\pi }{2}+0)\\ & =2\frac{{\pi }^2}{4}\\ & =\frac{{\pi }^2}{2}\end{array}$

Oppgave 6

a) $y-y_0=\frac{∆x}{∆y}(x-x_0)$

$\begin{array}{rl}& \Rightarrow y-b=\frac{-b}{a}(x-0)\\ & \Rightarrow y-b=-\frac{b}{a}x\\ & \Rightarrow y=-\frac{b}{a}x+b\end{array}$

Hvilket skulle vises.

b) $y=-\frac{b}{a}x+b$

$\begin{array}{rl}& \Rightarrow \frac{y}{b}=-\frac{b}{ab}x+\frac{b}{b}\\ & \Rightarrow \frac{y}{b}=-\frac{x}{a}+1\\ & \Rightarrow \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\end{array}$

Hvilket skulle vises.

c) $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=[-a,b,0]\times [-a,0,c]=[bc-0,-(-ac-0),-0-(-ab)]=[bc,ac,ab]$

Hvilket skulle vises.

d) $\alpha :a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0$

$\alpha :$

$\begin{array}{rl}bc(x-a)+ac(y-0)+ab(z-0)& =0\\ bc\cdot x-abc+ac\cdot y+ab\cdot z& =0\\ bc\cdot x+ac\cdot y+ab\cdot z& =abc|\cdot \frac{1}{abc}\\ \frac{bc\cdot x}{abc}+\frac{ac\cdot y}{abc}+\frac{ab\cdot z}{abc}& =\frac{abc}{abc}\\ \frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}& =1\end{array}$

Hvilket skulle vises.

e) Om planet er parallelt med $z$-aksen, krysser aldri planet $z$-aksen. Det vil si at $c\Rightarrow \infty$. Da vil $\frac{z}{c}\Rightarrow 0$.

$\beta :\frac{x}{5}+\frac{y}{4}=1$

Hvilket skulle vises.