Polynom: Forskjell mellom sideversjoner

Siste sideversjon per 5. feb. 2013 kl. 20:59

Et polymon er en funksjon på formen

$f (x) = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} x^{i} = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + a_{n - 2} x^{n - 2} + . . . + a_{1} x + a_{0}$

der $a_{i}$ kalles koeffisientene til funksjonen og $n$ kalles funksjonens grad.

Eksempel 1:

$f (x) = 3 x^{3} + 4 x^{2} - x + 2$ er et tredjegrads polynom med koffisienter 3, 4, -1 og 2.

Polynomligninger

Et polynomligning er en ligning der et polynom settes likt et annet. Slike ligninger har formen

$\sum_{i = 0}^{n} a_{i} x^{i} = 0$

Enhver n'tegrads polynomlikning har n komplekse løsninger, men generelle løsninger for polynomligninger finnes kun for ligninger av grad 1 til 4.

Et tilfelle av polynomligninger er andregradslikninger.

Faktorisering

Et polynom $P (x) = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} x^{i}$ kan faktoriseres til et produkt

$P (x) = a_{n} \prod_{k = 1}^{n} x - x_{k} = a_{n} (x - x_{n}) (x - x_{n - 1}) (x - x_{n - 2}) . . . (x - x_{2}) (x - x_{1})$

der $x_{k}$ er røttene til polynomet, dvs. løsningene til ligningen

$\sum_{i = 0}^{n} a_{i} x^{i} = 0$

Eksempel 1:

$P (x) = 2 x^{2} + 2 x - 4$
Løsningene til likningen $2 x^{2} + 2 x - 4 = 0$ er $x = 1$ og $x = - 2$
.Dette er røttene til polynomet. Dermed kan vi faktorisere det til
$P (x) = 2 (x - 1) (x - (- 2)) = 2 (x - 1) (x + 2)$

@@ Linje 1: / Linje 1: @@
 Et polymon er en funksjon på formen
-<tex>f(x)=\sum_{i=0}^na_ix^i=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+...+a_1x+a_0</tex>
+<math>f(x)=\sum_{i=0}^na_ix^i=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+...+a_1x+a_0</math>
-der <tex>a_i</tex> kalles koeffisientene til funksjonen og <tex>n</tex> kalles funksjonens grad.
+der <math>a_i</math> kalles koeffisientene til funksjonen og <math>n</math> kalles funksjonens grad.
 <blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
   '''Eksempel 1:'''<br><br>
-<tex>f(x)=3x^3+4x^2-x+2</tex> er et tredjegrads polynom med koffisienter 3, 4, -1 og 2.
+<math>f(x)=3x^3+4x^2-x+2</math> er et tredjegrads polynom med koffisienter 3, 4, -1 og 2.
 </blockquote>
@@ Linje 16: / Linje 16: @@
 Et polynomligning er en ligning der et polynom settes likt et annet. Slike ligninger har formen
-<tex>\sum_{i=0}^na_ix^i=0</tex>
+<math>\sum_{i=0}^na_ix^i=0</math>
-Generelle løsninger for polynomligninger finnes for ligninger av grad 1 til 4.
+Enhver n'tegrads polynomlikning har n komplekse løsninger, men generelle løsninger for polynomligninger finnes kun for ligninger av grad 1 til 4.
 Et tilfelle av polynomligninger er [[andregradslikninger]].
+==Faktorisering==
+Et polynom  $P (x) = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} x^{i}$  kan faktoriseres til et produkt
+ $P (x) = a_{n} \prod_{k = 1}^{n} x - x_{k} = a_{n} (x - x_{n}) (x - x_{n - 1}) (x - x_{n - 2}) . . . (x - x_{2}) (x - x_{1})$
+der  $x_{k}$  er røttene til polynomet, dvs. løsningene til ligningen
+ $\sum_{i = 0}^{n} a_{i} x^{i} = 0$
+<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
+ '''Eksempel 1:'''<br><br>
+ $P (x) = 2 x^{2} + 2 x - 4$
+Løsningene til likningen  $2 x^{2} + 2 x - 4 = 0$  er  $x = 1$  og  $x = - 2$
+.Dette er røttene til polynomet. Dermed kan vi faktorisere det til
+ $P (x) = 2 (x - 1) (x - (- 2)) = 2 (x - 1) (x + 2)$
+</blockquote>