Innhold

Innledning

Fra siden om potenser uten brøkeksponent vet vi at $x \cdot x = x^2$ . Sagt med ord sier vi at "x multiplisert med seg selv er lik x i andre". Andregradsligninger inneholder alltid et ledd hvor $x^2$ er en faktor.

En annengradslikning er en likning på formen $ax^2 + bx + c = 0$ , der a, b og c er konstanter og $a \neq 0$ . Konstantene til en annengradslikning kalles koeffisienter.


En fullstendig andregradslikning skrives på formen $ax^2 + bx + c = 0$

  • $ax^2$

kalles andregradsleddet

  • $bx$

kalles førstegradsleddet

  • $c$

kalles konstantleddet

Ufullstendig likning

Dersom a = 0 har vi en vanlig ligning som løses med metoden beskrevet i likninger av første grad.





Dersom b = 0 ser likningen slik ut:

$ax^2 + c = 0$

Denne løses med "bytt og flytt", for så å ta kvadratrot.
$x = \pm \sqrt {- \frac {c}{a}}$
Legg merke til at $a$ eller $c$ (men ikke begge!) må være negativ for at denne likningen skal ha en løsning. Vi kan ikke ta kvadratroten av et negativt tall.





Eksempel

$ 4x^2 - 8 = 0 \\4x^2=8\\x^2 = \frac84$


$x = \pm \sqrt { \frac {8}{4}}$

$x = \sqrt {2}\qquad \vee \qquad x = - \sqrt {2}$




Dersom c = 0 har vi følgende formel:

$ax^2 + bx = 0$

$x (ax + b) = 0$

$x = 0 \qquad \vee \qquad ax + b = 0$

$x = 0 \qquad \vee \qquad x = - \frac ba$




Eksempel:

$-3x^2 + 6x = 0$

$x (-3x + 6) = 0$

$x = 0 \qquad \vee \qquad -3x + 6 = 0$

$x = 0 \qquad \vee \qquad x = 2$

Dette er spesialtilfeller av andregradslikninger fordi én av koeffisientene er lik null, slik at de mangler et ledd.

ABC formelen

En andregradslikning på formen $ax^2 + bx + c =0$ kan alltid løses ved hjelp av ABC - formelen, som ser slik ut:


$x= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

når
$ax^2 + bx + c =0$

Dersom $b^2-4ac$ er positiv vil likningen alltid ha to løsninger.

a, b og c er koefisienten i andregradsuttrykket. Legg merke til at dersom $b^2 - 4ac$ er mindre enn null får man et negativt tall under rottegnet. Man sier da at ligningen ikke har noen løsning. (I høyere kurs har den det, komplekse løsninger).

Eksempel 1
Vi har likningen:

$3x^2 + 2x - 1 =0$
a = 3 , b = 2 og c = -1
Ved å bruke abc-formelen får man:

$x= \frac{-2 \pm \sqrt{2^2-4 \cdot 3 \cdot (-1)}}{2 \cdot 3}$

$x= \frac{-2 \pm \sqrt{4+12}}{6}$

$x= \frac{-2 \pm 4}{6}$

$x= \frac{-2 + 4}{6} \qquad \vee \qquad x= \frac{-2 - 4}{6}$

$x= \frac{1}{3} \qquad \vee \qquad x = - 1$


Eksempel 2
Vi har likningen:

$-x^2 + 4x - 4 =0$
a = -1 , b = 4 og c = -4
Ved å bruke abc-formelen får man:

$x= \frac{-4 \pm \sqrt{4^2-4 \cdot (-1) \cdot (-4)}}{2 \cdot (-1)}$

$x= \frac{-4 \pm \sqrt{16-16}}{-2}$

$x = 2$
Med null under rottegnet får man kun en løsning.


Eksempel 3
Vi har likningen:

$3x^2 + 2x + 2 =0$
a = 1 , b = -2 og c = 2
Ved å bruke abc-formelen får man:

$x= \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2-4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

$x= \frac{2 \pm \sqrt{4-8}}{2}$

$x= \frac{2 \pm \sqrt{-4}}{2}$

Her ser man et man får et negativt tall under rottegnet. Da er det på tide å stoppe opp og konkludere med at ligningen ikke har løsning (enda).

Hvorfor har noen likninger to løsninger, noen en og andre ingen?

2likn.PNG

Dersom grafen til andregradspolynomet krysser x aksen har likningen to løsninger. g(x) = 0 har to løsninger fordi $b^2-4ac>0$, grafen skjærer x aksen to steder.

Dersom grafen tangerer x-aksen har likningen en løsning, f(x) = 0 har en løsning fordi $b^2-4ac=0$. Grafen tangerer x aksen i ett punkt, i $x= \frac{-b}{2a}$.

Dersom grafen til polynomet ikke krysser eller tangerer x-aksen, h(x), har likningen ingen løsning. h(x) =0 har ingen løsning fordi $b^2-4ac<0$. Man kan ikke ta kvadratroten av et negativt tall.


Eksempel 4
Vi har likningen:

$4x^2 - 1 =0$
a = 4 , b = 0 og c = -1
Ved å bruke abc-formelen får man:

$x= \frac{ \pm \sqrt{-4 \cdot 4 \cdot (-1)}}{2 \cdot 4}$

$x= \frac{ \pm \sqrt{16}}{8}$

$x=\pm \frac{ 4}{8}$

$x= \frac{1}{2} \qquad \vee \qquad x= - \frac{1}{2}$

Her mangler b leddet og det er ikke nødvendig å bruke abc formelen slik vi har gjort her, men den virker. Det enkleste i dette eksempelet er å bruke "bytt og flytt" og så ta kvadratroten, som vist over.




Eksempel 5
Vi har likningen:

$-3x^2 + 6x = 0$
a = -3 , b = 6 og c = 0
Ved å bruke abc-formelen får man:

$x= \frac{-6 \pm \sqrt{6^2}}{-6}$

$x= \frac{-6 \pm 6}{-6}$

$x= 2 \qquad \vee \qquad x= 0$

Man ser at abc-formelen virker her også, men siden c leddet mangler ville det være mer fornuftig å faktorisere ut x og løse likningene som vist over.


For de som lurer på hvor abc-formelen kommer fra har man følgende bevis:

Bevis for ABC formelen:

$ax^2 + bx + c = 0$

$x^2 + \frac bax + \frac ca = 0$

$x^2 + \frac bax = - \frac ca$

$x^2 + 2\frac {b}{2a}x = - \frac ca$

$x^2 + 2\frac {b}{2a}x + (\frac {b}{2a})^2 = - \frac ca + (\frac {b}{2a})^2$

$(x +\frac {b}{2a})^2 = - \frac ca + \frac {b^2}{4a^2}$

$(x +\frac {b}{2a})^2 = - \frac {4ac}{4a a} + \frac {b^2}{4a^2}$

$(x +\frac {b}{2a})^2 = \frac {-4ac+b^2}{4a^2}$

$(x +\frac {b}{2a}) = \sqrt{\frac {b^2 -4ac}{4a^2}} \qquad \vee \qquad (x +\frac {b}{2a}) = - \sqrt{\frac {b^2 -4ac}{4a^2}}$

$x = -\frac {b}{2a} + {\frac {\sqrt {b^2 -4ac}}{2a}} \qquad \vee \qquad x = - \frac {b}{2a} -{\frac {\sqrt{b^2 -4ac}}{2a}}$

$x = \frac {-b + \sqrt {b^2 -4ac}{2a}} \qquad \qquad \vee \qquad x = \frac {-b - \sqrt {b^2 -4ac}}{2a}$

$x= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$


Fullstendig kvadrat

Man kan bygge opp et fullstendig kvadrat ved å halvere, kvadrere, addere.....
For å kunne bruke teknikken må du kunne kvadratsetningene godt.
Her er hvordan det gjøres:



Eksempel
Vi har likningen:


$2x^2 - 3x +1 =0$

$x^2 - \frac 32 x + \frac 12 =0$

$x^2 - \frac 32 x = - \frac 12$

$x^2 - \frac 32 x = - \frac 12$

$x^2 - \frac 32 x + ( \frac 34)^2 = - \frac 12 + ( \frac 34)^2$

$(x - \frac 34)^2 = \frac {1}{16}$

$x - \frac 34 = \sqrt{ \frac {1}{16}}\qquad \vee \qquad x - \frac 34 = -\sqrt{ \frac {1}{16}}$

$x = 1\qquad \vee \qquad x = \frac {1}{2}$

Dersom du sliter med algebra bør du kanskje holde deg til abc-formelen, men dersom du har oversikt og har ambisjoner om høy måloppnåelse (5,6) er metoden med fullstendig kvadrat noe du bør beherske.

Andregradsligninger på produktform

Man kan ha andregradsligninger på formen:

$(x + 1)(x – 2) = 0$

Du ser at dette er en andregradsligning om du multiplisere ut parentesene:

$(x + 1)(x – 2) = x^2 -2x +x – 2 = x^2 – x – 2 $

Man kan multiplisere ut faktorene som vist over og bruke abc – formelen, men det finnes en mye enklere måte å løse ligningen på:

Dersom produktet av to faktorer skal bli null, må en av faktorene være null.

$mn = 0$ medfører at $m$ eller $n$ må være lik null, om utsagnet skal være riktig.

I eksemplet

$(x + 1)(x – 2) = 0$

betyr det at $x+1 = 0$ , eller at $x – 2 = 0$

Det gir løsningene $x = -1$ V $x = 2$

Problemet er redusert til løsninger av to enkle førstegradsligninger.

Faktorisering av andregradsuttrykk

$ax^2 + bx + c$ er et generelt andregradsuttrykk. Ofte har man behov for å faktorisere uttrykket for å kunne forkorte og forenkle.

Man har følgende formel for faktorisering av andregradsuttrykk:

$ax^2 + bx + c = a( x-x_1)(x-x_2)$

Der $x_1$ og $x_2$ er løsninger av $ax^2 + bx + c = 0$



Eksempel :
Faktoriser $6x^2-4x-2$

Løser først $6x^2-4x-2=0$ og får (abc – formelen)

$x_1 = 1 \qquad \vee \qquad x_2 = - \frac13$


Bruker så formelen over og får:

$6x^2-4x-2= a( x-x_1)(x-x_2) = 6(x-1)(x + \frac 13)$


Dette er spesielt nyttig (helt nødvendig) når man skal forkorte brøker som inneholder andregradspolynomer.


Eksempel :

Sriv enklest mulig:


$\frac{6x^2-4x-2}{x + \frac13}$

Faktorisere og får:

$\frac{6(x-1)(x + \frac 13)}{x + \frac13} = 6(x-1)$

Sum og produkt av røtter

Man har følgende sammenhenger mellom sum og produkt av røtter (løsninger):



En fullstendig andregradslikning skrives på formen $ax^2 + bx + c = 0$

$x_1 +x_2 =- \frac ba$ og $x_1 \cdot x_2 = \frac ca$

der $x_1$ og $x_2$ er røtter (løsninger) i ligningen.


Eksempel

Vi ønsker å finne et andregradsutryk som har røttene x = -2 og x = 1.Utover det har vi ingen andre krav.



Vi får:
$x_1 +x_2 =- \frac ba$
$-2 + 1 =- \frac ba$
$a = b$
Siden vi ikke har krav til koefisientene kan vi jo velge a = 1. Da får vi:
$a = 1$
$b = 1$

og $-2 \cdot 1 = \frac ca$
$c = - 2$

Vi får da likningen

$x^2 + x - 2 = 0$

Ved å bruke abc-formelen ser man at dette er en (av mange) likninger som har løsning for x =1 og for x = -2.
Dersom man anvender disse formlene og finner en ligning må man sjekke at den virkelig har løsninger.


Tilbake til 1T Hovedside

Hovedside