R2 2018 vår LØSNING: Forskjell mellom sideversjoner

Fra Matematikk.net
Hopp til: navigasjon, søk
← Forrige endring
Ingen redigeringsforklaring
LektorRaustøl (diskusjon | bidrag)
31 redigeringer
Ingen redigeringsforklaring
 
(11 mellomliggende versjoner av 3 brukere er ikke vist)
Linje 1: Linje 1:
[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=2155 Løsning 1 laget av mattepratbruker claves]
[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=2155 Løsningsforslag laget av mattepratbruker claves]


[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=2159 Løsning laget av Jacob og Henrik (pdf)]  [https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=2158 (docx)]  
[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=2172 Løsningsforslag laget av Ole Henrik Morgenstierne]


[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=2151 Oppgaven som pdf]
[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=2173 Løsningsforslag laget av E. Smenes]


  <nowiki>Løsning R2 Vår 18
[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=2170 Løsning laget av Jacob og Henrik (pdf)] [https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=2171 (docx)]
Løsningsforslag Eksamen vår 2018


Del 1 – Uten hjelpemidler + forslag poengfordeling
[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=2390 Løsningsforslag laget av LektorNilsen]
 
Oppgave 1 (1+2poeng )
Deriver funksjonene
f(x)=cos⁡〖(πx-2)〗
f^' (x)=〖-πsin〗⁡〖(πx-2)〗
 
g(x)=x⋅sin⁡x    u=sin⁡x,u^'=cos⁡x v=x,v^'=1
g^' (x)=u^'⋅v+u⋅v^'=x⋅cos⁡x+sin⁡x⋅1=
=x⋅cos⁡x+sin⁡x
 
Oppgave 2 (1+1+2 poeng)
Bestem integralene
∫4x^2+3x dx
=4/3 x^3+3/2 x^2+C
 
 
∫4x^2  ln⁡x dx
Bruker delvis integrasjon
u=ln⁡x⇒u^'=1/x
v^'=4x^2⇒v=4/3 x^3
∫▒〖u⋅v^' 〗  dx=u⋅v-∫▒〖u^'⋅v〗  dx
∫4x^2  ln⁡x dx=ln⁡x⋅4/3 x^3-∫▒〖4/3 x^3⋅1/x dx〗=ln⁡x⋅4/3 x^3-∫▒〖4/3 x^2 dx〗=ln⁡x⋅4/3 x^3-1/3 x^4+C
 
c) ∫_0^(√12)▒〖  2x/(x^2+4)〗  dx                    Bruker variabelskifte :u=x^2+4,du/dx=2x ,dx=du/2x 
 
∫_0^(√12)▒〖  2x/(x^2+4)〗  dx=∫_0^(√12)▒〖  2x/u〗  du/2x=[ln⁡〖|u|〗 ]_0^√12=[ln⁡〖|x^2+4|〗 ]_0^√12=ln⁡〖|〖√12〗^2+4|  〗-ln⁡|0-4|=ln⁡〖16-ln⁡4 〗=ln⁡〖16/4〗=ln⁡4=2 ln⁡2
Oppgave 3
I en aritmetisk rekk3 a_1+a_2+a_3+a_4+⋯a_n  er a_2=4 og a_5=13
Bestem en eksplisitt formel for summen av rekka
I: a_2=a_1+d=4
II: a_5=a_1+4⋅d=13
II-I gir (a_1+4⋅d)-a_1+d=13-4
3d=9⇔d=3
d=3 i I gir  a_1+3=4⇔a_1=1
S_n=(2a_1+d(n-1))n/2=(2+3(n-1))n/2=(3n-1)n/2=(3n^2-n)/2
Oppgave 4( 2+1 poeng)
Løs differensiallikningene
y^'=(sin⁡x ) y^2  , y(π)=1.
y^'/y^2 =(sin⁡x )
∫dy/y^2 =∫(sin⁡x )dx
-1/y=-cos⁡x+C
y=1/(cos⁡x+C)
b)
1=1/(cos⁡π+C) 
 
C=1-cos⁡π=2
y=1/(cos⁡x+2)
Oppgave 5 (2+2 poeng)
En funksjon er gitt ved
f(x)=1-x^2 
Bestem arealet av flatestykket F som er begrenset av grafen til f, (x-aksen) 
f(x) vil være positiv i hele definisjonsmengden.
Finner skjæring først    f(x)=0 ,  x=±1
A=∫_(-1)^1▒1-x^2  dx=[x-1/3 x^3 ]_(-1)^1=(1-1/3)-(-1-1/3 (-1)^3 )=1-1/3-(-1+1/3)=4/3
 
Finn volumet av figuren som framkommer ved å rotere flatestykket F 360° om x-aksen.
Omdreiningslegemet vil ha volumet gitt ved
V=π∫_a^b▒〖f(x)^2 〗 dx=π∫_(-1)^1▒(1-x^2 )^2  dx=π∫_(-1)^1▒〖1-〖2x〗^2+x^4 〗  dx=π[x-〖2/3 x〗^3+1/5 x^5 ]_(-1)^1=π(1-2/3+1/5)-π(-1+2/3-1/5)=16/15 π
V=16/15 π
 
Oppgave 6
f(x)=2 sin⁡(π/2 (x-1))      ,x∈〈1,9〉
Topppunkt f(x)=2  når sin⁡(π/2 (x-1))=1
sin⁡(π/2 (x-1))=1 
π/2 (x-1)=π/2+n⋅2π
π/2 x=π/2+π/2+n⋅2π
x=π⋅2/π+n⋅2π⋅2/π
x=2+n⋅4
x∈〈1,9〉  gir Topppunkt  (2,2)  og (6,2) 
Bunnpunkt f(x)= -2  når sin⁡(π/2 (x-1))=-1
sin⁡(π/2 (x-1))=-1 
π/2 (x-1)=-π/2+n⋅2π
π/2 x=-π/2+π/2+n⋅2π
x=n⋅2π⋅2/π
x=n⋅4
Bunnpunkt  (4,-2),(8,-2)
 
 
2 sin⁡(π/2 (x-1))=0   
sin⁡(π/2 (x-1))=0
π/2 (x-1)=n⋅π        (snarvei=))
π/2 x=π/2+n⋅π
x=1+n⋅2
Null punkt for  x=3 ,x=5 ,x=7  (x=1 og x=9 er utenfor)
L={3,5,7}
2 sin⁡(π/2 (x-1))=√3   
sin⁡(π/2 (x-1))=√3/2     
π/2 (x-1)=π/3+n⋅2π      ∨        π/2 (x-1)=2π/3+n⋅2π
π/2 x=π/3+π/2+n⋅2π  ∨      π/2 x=2π/3+π/2+n⋅2π
x=5π/6⋅2/π+n⋅2π⋅2/π    ∨      x=7π/6⋅2/π+n⋅2π⋅2/π
x=5/3+4n  ∨      x=7/3+4n
L={5/3,7/3,17/3,19/3}
 
 
 
Oppgave 5
En kuleflate er gitt ved x^2-6x+y^2+4y+z^2-8z-20=0
Vis at kuleflaten har sentrum S(3,-2,4) og bestem radius
Likningen for en kuleflate kan skrives som (x-x_0 )^2+(y-y_o )^2+(z-z_0 )^2=r^2
der (x_0,y_0,z_0) er sentrum i kula og r er radius.
Skriver likninga x^2-6x+y^2+4y+z^2-8z-20=0 ved hjelp av kvadrater:
(x-3)^2+(y+2)^2+(z-4)^2=20+9+4+16
(x-3)^2+(y+2)^2+(z-4)^2=7^2
 
Denne likningsformen viser at kula har sentrum i S=(3,-2,4) og radius lik 7.
 
 
Et plan er gitt ved 6x-3y+2z-4=0
Bestem avstanden fra S til planet
h=|6⋅3-3⋅(-2)+2⋅4-4|/√(6^2+(-3)^2+2^2 )=(|18+6+8-4|)/√49=28/7=4
Skjæringen mellom planet og kula lager en sirkelen
 
Bestem arealet av sirkelen 
Vi kjenner radius i kula =7 og avstans fra S til plan =4
Bruker pytagoras for å finne radiusi sirkelen
7^2-4^2=r^2=33
Arealet av sirkelen blir A=πr^2=33π
 
 
Oppgave 8
En uendelig geometrisk rekke er gitt ved S(x)=1-2x+4x^2-8x^3+⋯..
Avgjør når rekka konvergerer Rekka konvergerere når :
-1<k<1 der k era_(n+1)/a_n =-2x.
-1<-2x<1 gir -2<x<2
S(x)=1/(1-k)=1/(1+2x) 
For hvilke verdier av a har S(x)=a  løsning ?
S(x)=a gir    1/(1+2x)=a  ,tar x<2 først ,S(2)=1/5  S Øker⁡〖mot uendelig når x→-1/2  〗  det⁡〖betyr at 〗
a∈〈1/5,∞〉     
-2<x gir  ,S(-2)=-1/3  S avtar⁡〖mot- uendelig når x→-1/2  〗  det⁡〖betyr at 〗
a∈〈-1/3,-∞〉
Det betyr at a kan ha alle verdier bortsett fra intervallet [-1/3,1/5]
a∈R\[-1/3,1/5]
 
 
 
Del 2 – Med hjelpemidler
Oppgave 1 (6 poeng)
Funksjonene til f og g er gitt ved
f(x)=-x^2+3x+3
g(x)=x^2+1
 
Bruk graftegner til å tegne grafene til f og g i samme koordinatsystem
Grafene avgrenser et flatestykke A
Bestem A med CAS
Arealet er 125/24 linje 4 cas
 
Tyngdepunktet er gitt ved (M/A,N/A)  der M og N er gitt ved
M=∫_a^b▒〖x(f(x)-g(x))dx〗
M=1/2 ∫_a^b▒〖(f(x))^2-(g(x))^2 dx〗
Der a og b er x- koordinatene til skjæringspunktene mellom f og g og a<b
Bestem Koordinaten til T ved hjelp av CAS
 
 
Hva er perioden til f? Gi en praktisk tolkning av svaret.
Perioden er tiden mellom to bunnpunkter. Bruker kommandoen Ekstremalpunkt. Punktene B og D er bunnpunkter.
periode=19,716-6,389=13,327
Perioden til f er 13,33. Det betyr at tiden fra et lavvann til neste lavvann er 13 timer og 20 minutter.
 
 
 
Hvor raskt stiger vannet klokka 11.00, ifølge modellen?
Klokken 11.00 stiger vannet med 9,1 cm/time
 
Når endrer vannstanden seg raskest?
Vannet stiger raskest kl 9.44 synker raskest kl 03.04
 
 
 
Oppgave 2 (6 poeng)
Gitt  punktene A(0,0,0) og B(1,t+2,3t),C(0,4,t+1)og D(t-3,8,1)
Besten arealet av trekanten ABC
Bruk CAS til å bestemme t slik at arealet til ABC blir 6
 
Arealet blir 6 for 4 ulike verdier av t Linje 8 CAS
Bestem t slik at volumet  av Pyramiden ABCD blir størst mulig 
Største volum er 18 .Cas linje 12 . cas 11 (7,18) er maks
 
Oppgave 3 (8 poeng)
I en by med 12000 innbyggere sprer det seg en smittsom sykdom. Det viser seg at vekstfarten i antall smittede personer til enhver tid er proporsjonal med antall personer som ennå ikke er smittet. Vi lar k være proporsjonaliteteskonstanten
Sett opp en differensiallikning som beskriver anatll smittede personer y(t), der t er antall uker atter at sykdommen ble oppdaget.
y^'=k(12000-y)
Vis at y(t)=12000-11900e^kt
Etter 10 uker var 4000 personer smittet
Bruk dette til å bestemme k.
 
På hvilket tidspunkt var halvparten av innbyggerene smittet?
Halvparten av innbyggerene er smittet etter 17.24  uker  (17 uker og 1,7 døgn )
 
 
Oppgave 4 
Femkanttallene er gitt ved
P_(n+1)=P_n+3n+1 ,P_1=1
Vis ved induksjon at P_n=(3n^2-n)/2
P_1=(3〖⋅1〗^2-1)/2=2/2=1  OK
Skal få HS: P_(n+1)=(3(n+1)^2-(n+1))/2=(3n^2+6n+3-n-1)/2=(3n^2+5n+2)/2
VS:P_(n+1)= P_n+3n+1=(3n^2-n)/2+3n+1
=(3n^2-n)/2+(6n+2)/2
=(3n^2-n+6n+2)/2
=(3n^2+5n+2)/2
VS=HS        QED


[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=2151 Oppgaven som pdf]


Figuren viser at P_n=to summer til n-1 og en til n
[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=2160 Sensorveiledning til oppgaven]


P_n=(n(n-1))/2+(n(n-1))/2+n(n+1)/2
[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=47618 Diskusjon av oppgaven på matteprat]
P_n=(n^2-n)/2+(n^2-n)/2+(n^2+n)/2


P_n=n^2-n+(n^2+n)/2
[https://www.youtube.com/playlist?list=PLplkS_rtcCHXY8sx7U6F5fViI-cEjrFt9 Løsning del 1 som videoer av Lektor Håkon Raustøl]
P_n=(〖2n^2-2n+n〗^2+n)/2
P_n=(3n^2-n)/2


</nowiki>
[https://www.youtube.com/playlist?list=PLplkS_rtcCHWD6ZRsBqQ-HWd7x3j853K5 Løsning del 2 som videoer av Lektor Håkon Raustøl]

Siste sideversjon per 14. mai 2020 kl. 11:27

Løsningsforslag laget av mattepratbruker claves

Løsningsforslag laget av Ole Henrik Morgenstierne

Løsningsforslag laget av E. Smenes

Løsning laget av Jacob og Henrik (pdf) (docx)

Løsningsforslag laget av LektorNilsen

Oppgaven som pdf

Sensorveiledning til oppgaven

Diskusjon av oppgaven på matteprat

Løsning del 1 som videoer av Lektor Håkon Raustøl

Løsning del 2 som videoer av Lektor Håkon Raustøl

Hentet fra «https://matematikk.net/w/index.php?title=R2_2018_vår_LØSNING&oldid=24340»