Forskjell mellom versjoner av «Integrasjon ved delbrøkoppspalting»
(46 mellomliggende revisjoner av 2 brukere er ikke vist) | |||
Linje 1: | Linje 1: | ||
− | Dersom man har en brøkfunksjon med en nevner som har høyere grad enn en og kan faktoriseres kan delbrøkoppspalting være en metode som fører til et resultat. Man ønsker å skrive en brøk med høyere grad enn en i nevner som summen av brøker med førstegradsuttrykk i nevneren. Teknikken | + | Dersom man har en brøkfunksjon med en nevner som har høyere grad enn en og kan faktoriseres kan delbrøkoppspalting være en metode som fører til et resultat. Man ønsker å skrive en brøk med høyere grad enn en i nevner som summen av brøker med førstegradsuttrykk i nevneren. Teknikken illustreres best med et eksempel. |
+ | <div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;"> | ||
− | < | + | '''Eksempel 1:'''<p></p> |
+ | |||
+ | |||
+ | <math> \int \frac{2x+3}{x^2-4}dx = \int \frac{2x+3}{(x-2)(x+2)}dx =\int (\frac{A}{(x-2)}+ \frac | ||
{B}{(x+2)})dx | {B}{(x+2)})dx | ||
− | </ | + | </math><p></p> |
+ | |||
+ | |||
Man må så bestemme A og B. Det gjøres ved å løse likningen: | Man må så bestemme A og B. Det gjøres ved å løse likningen: | ||
+ | |||
<p></p> | <p></p> | ||
2x+3 = (x + 2)A + (x - 2)B | 2x+3 = (x + 2)A + (x - 2)B | ||
<p></p> | <p></p> | ||
− | Velger x slik at | + | |
− | < | + | |
− | < | + | Velger x slik at parentesen foran A blir null og får x=-2 som gir:<p></p> |
− | Velger så x slik at | + | <math>-1 = -4B</math><p></p> |
+ | <math>B= \frac14</math><p></p> | ||
+ | |||
+ | Velger så x slik at parentesen foran B blir null, x = 2:<p></p> | ||
+ | <math>7 = 4A</math><p></p> | ||
+ | |||
+ | <math>A = \frac74</math><p></p> | ||
+ | Integralet blir da:<p></p> | ||
+ | |||
+ | <math> \int \frac{2x+3}{x^2-4}dx = \int \frac{2x+3}{(x-2)(x+2)}dx =\int (\frac{7}{4(x-2)}+ \frac | ||
+ | {1}{4(x+2)})dx = \frac 74 ln|x-2| + \frac14 ln|x+2| + C </math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | </div> | ||
+ | |||
+ | Generelt kan man si at: | ||
+ | |||
+ | <div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;"> | ||
+ | |||
+ | <math> \int \frac{ax+b}{(x-x_1)(x-x_2)}dx = \int (\frac{A}{(x-x_1)}+ \frac | ||
+ | {B}{(x-x_2)})dx | ||
+ | </math><p></p> | ||
+ | |||
+ | Man finner A og B slik at<p></p> | ||
+ | <math> ax + b= (x-x_2)A + (x-x_2)B </math> <p></p> | ||
+ | |||
+ | Det lønner seg å velge x slik at parentesene blir lik null (en om gangen).<p></p> | ||
+ | Det kan være lurt å huske at:<p></p> | ||
+ | |||
+ | <math> \int \frac{1}{x+a}dx = ln|x+a| +C </math><p></p> og <p></p><math> \int \frac{1}{a-x}dx = -ln|a-x| +C </math><p></p> | ||
+ | </div> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | <div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;"> | ||
+ | |||
+ | '''Eksempel 2:'''<p></p> | ||
+ | <math> \int \frac{6x^2-17x+6}{x^3-5x^2+6x}dx = \int \frac{6x^2-17x+6}{x(x-2)(x-3)}dx =\int (\frac{(x-2)(x-3)A}{x}+ \frac | ||
+ | {x(x-3)B}{x-2}+ \frac | ||
+ | {x(x-2)C}{x-3} dx | ||
+ | </math><p></p> | ||
+ | Man må nå finne ut hva A, B og C er. Det gjør man på følgende måte<p></p> | ||
+ | <math>6x^2-17x+6 = (x-2)(x-3)A +x(x-3)B + x(x-2)C </math><p></p> | ||
+ | Setter først x = 0<p></p> | ||
+ | 6 = 6 A dvs. A = 1<p></p> | ||
+ | Setter så x = 2 og får:<p></p> | ||
+ | -4 = -2B dvs. B = 2<p></p> | ||
+ | Setter så x = 3 og finner at C = 3. Da får man:<p></p> | ||
+ | <math> \int \frac{6x^2-17x+6}{x^3-5x^2+6x}dx = \int \frac{6x^2-17x+6}{x(x-2)(x-3)}dx =\int (\frac{1}{x}+ \frac | ||
+ | {2}{x-2}+ \frac | ||
+ | {3}{x-3} dx = ln|x| + 2ln|x-2| +3ln|x-3| + C | ||
+ | </math><p></p> | ||
+ | |||
+ | </div> | ||
+ | |||
+ | [http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=92B%2B92A%2B92C%2B92D%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv] | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | Dersom man får et intgral der teller er større enn nevner kan man prøve [[polynomdivisjon]] før integrasjon. | ||
+ | |||
+ | == Polynomdivisjon før integrasjon == | ||
+ | |||
+ | Dersom en [[polynomdivisjon]] ikke går opp får man en rest i form av en brøkfunksjon som er enklere enn den man startet med. Hvilke metode man bruker for å integrere denne resten er ofte delbrøkoppspalting eller variabelskifte. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | <div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;"> | ||
+ | |||
+ | '''Eksempel 3:'''<p></p> | ||
+ | <math> \int \frac{x^3+2x^2+x+1}{x^2 +x +2}dx </math> <p></p>man utfører divisjonen og får<p></p> | ||
+ | <math> \int \frac{x^3+2x^2+x+1}{x^2 +x +2}dx = \int (x + 1 - \frac{2x+1}{x^2+x+2})dx</math><p></p> | ||
+ | Man observere at brøken har den deriverte av nevner, i teller. Da bruker man substitusjon (variabelskifte) og får<p></p> | ||
+ | <math> \frac12x^2 + x - ln(x^2+x+2) +C</math> | ||
+ | </div> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | <div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;"> | ||
+ | '''Eksempel 4:'''<p></p> | ||
+ | <math> \int \frac{2t^3+t^2-2t-3}{t^2 -1}dt </math><p></p> | ||
+ | Utfører polynomdivisjonen og får<p></p> | ||
+ | <math> \int \frac{2t^3+t^2-2t-3}{t^2 -1}dt = \int (2t + 1 - \frac{2}{(t+1)(t-1)})dt</math><p></p> | ||
+ | 2= (t - 1)A + (t + 1)B<p></p> | ||
+ | Velger t = 1 som gir B = 1 <p></p> | ||
+ | Velger så t = -1 og får A = - 1, som gir:<p></p> | ||
+ | <math> \int \frac{2t^3+t^2-2t-3}{t^2 -1}dt = \int (2t + 1 - \frac{2}{(t+1)(t-1)})dt = \int (2t + 1 - ( \frac{-1}{t+1} | ||
+ | + \frac {1}{t-1}) )dt \\ = \int (2t + 1 +\frac{1}{t+1} | ||
+ | - \frac {1}{t-1} )dt = t^2 + t +ln|t+1| - ln|t-1| + C </math> | ||
+ | |||
+ | </div> | ||
+ | |||
+ | ---- | ||
+ | |||
+ | [[R2 Hovedside|Tilbake til R2 Hovedside]] | ||
+ | |||
+ | [[Category:Analyse]] | ||
+ | [[Category:R2]] | ||
+ | [[Category:Ped]] |
Nåværende revisjon fra 14. jul. 2024 kl. 11:40
Dersom man har en brøkfunksjon med en nevner som har høyere grad enn en og kan faktoriseres kan delbrøkoppspalting være en metode som fører til et resultat. Man ønsker å skrive en brøk med høyere grad enn en i nevner som summen av brøker med førstegradsuttrykk i nevneren. Teknikken illustreres best med et eksempel.
<math> \int \frac{2x+3}{x^2-4}dx = \int \frac{2x+3}{(x-2)(x+2)}dx =\int (\frac{A}{(x-2)}+ \frac
{B}{(x+2)})dx
Man må så bestemme A og B. Det gjøres ved å løse likningen:
2x+3 = (x + 2)A + (x - 2)B
<math> \int \frac{2x+3}{x^2-4}dx = \int \frac{2x+3}{(x-2)(x+2)}dx =\int (\frac{7}{4(x-2)}+ \frac {1}{4(x+2)})dx = \frac 74 ln|x-2| + \frac14 ln|x+2| + C </math>
Generelt kan man si at:
<math> \int \frac{ax+b}{(x-x_1)(x-x_2)}dx = \int (\frac{A}{(x-x_1)}+ \frac {B}{(x-x_2)})dx
</math> Man finner A og B slik at <math> ax + b= (x-x_2)A + (x-x_2)B </math> Det lønner seg å velge x slik at parentesene blir lik null (en om gangen). Det kan være lurt å huske at: <math> \int \frac{1}{x+a}dx = ln|x+a| +C </math> og <math> \int \frac{1}{a-x}dx = -ln|a-x| +C </math>
<math> \int \frac{6x^2-17x+6}{x^3-5x^2+6x}dx = \int \frac{6x^2-17x+6}{x(x-2)(x-3)}dx =\int (\frac{(x-2)(x-3)A}{x}+ \frac {x(x-3)B}{x-2}+ \frac {x(x-2)C}{x-3} dx
</math> Man må nå finne ut hva A, B og C er. Det gjør man på følgende måte <math>6x^2-17x+6 = (x-2)(x-3)A +x(x-3)B + x(x-2)C </math> Setter først x = 0 6 = 6 A dvs. A = 1 Setter så x = 2 og får: -4 = -2B dvs. B = 2 Setter så x = 3 og finner at C = 3. Da får man:<math> \int \frac{6x^2-17x+6}{x^3-5x^2+6x}dx = \int \frac{6x^2-17x+6}{x(x-2)(x-3)}dx =\int (\frac{1}{x}+ \frac {2}{x-2}+ \frac {3}{x-3} dx = ln|x| + 2ln|x-2| +3ln|x-3| + C
</math>
Dersom man får et intgral der teller er større enn nevner kan man prøve polynomdivisjon før integrasjon.
Polynomdivisjon før integrasjon
Dersom en polynomdivisjon ikke går opp får man en rest i form av en brøkfunksjon som er enklere enn den man startet med. Hvilke metode man bruker for å integrere denne resten er ofte delbrøkoppspalting eller variabelskifte.
<math> \frac12x^2 + x - ln(x^2+x+2) +C</math>
<math> \int \frac{2t^3+t^2-2t-3}{t^2 -1}dt = \int (2t + 1 - \frac{2}{(t+1)(t-1)})dt = \int (2t + 1 - ( \frac{-1}{t+1} + \frac {1}{t-1}) )dt \\ = \int (2t + 1 +\frac{1}{t+1} - \frac {1}{t-1} )dt = t^2 + t +ln|t+1| - ln|t-1| + C </math>