R1 2012 høst LØSNING

Diskusjon av denne oppgaven

Del 1

Oppgave 1

a)

$f(x)=(2x-1{)}^2=4x^2-4x+1$

Da er

$f^{\prime }(x)=8x-4$

Alternativt kan vi benytte kjerneregelen med $2x-1$ som kjerne. Vi får da

$f^{\prime }(x)=2(2x-1)\cdot (2x-1{)}^{\prime }=2\cdot (2x-1)\cdot 2=8x-4$.

b)

$g(x)=\sqrt{x^2-2x}$

Vi bruker kjerneregelen med $x^2-2x$ som kjerne. Da har vi

$\begin{array}{rcl}g(x)& =& \frac{1}{2\sqrt{x^2-2x}}\cdot (x^2-2x{)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x^2-2x}}\cdot (2x-2)\\ & =& \frac{x-1}{\sqrt{x^2-2x}}\end{array}$

c)

Her har vi et produkt av flere faktorer som avhenger av $x$. Da benytter vi produktregelen. For å derivere $e^{3x}$ bruker vi også kjerneregelen. Vi får

$h^{\prime }(x)=(x^3{)}^{\prime }\cdot e^{2x}+x^3\cdot (e^{2x}{)}^{\prime }=3x^2{e}^{2x}+x^3\cdot 2e^{2x}=x^2{e}^{2x}(3x+2).$

Oppgave 2

a)

En polynomdivisjon $p(x):(x-a)$ går opp kun dersom $p(a)=0$. Her får vi da at $f(3)$ må være 0. Det gir oss ligningen

$f(3)=0\iff 3^3-3\cdot 3^2+k\cdot 3+3=0\iff 3k+3=0\iff k=-1.$

b)

Svaret på polynomdivisjon = $x^2-1$

Dette gir oss førstegradsfaktorer i (x-1)(x+1)(x-3)

Oppgave 3

a)

Vendepunkt har vi der den dobbeltderiverte er 0 og skifter fortegn. Vi har her

$f(x)=x^3-3x^2-x+3$

$f^{\prime }(x)=3x^2-6x-1$

$f^{\prime \prime }(x)=6x-6=6(x-1)$

Den dobbeltderiverte er null for x = 1. Vendepunkt: (1, f(1)) = (1, 0)

b)

Likning for vendetangent: f ' (1) = - 4

y = ax + b

Har punktet (1, 0) og setter inn:

$$\begin{gathered} 0=-4\cdot 1+b \\ b=4 \end{gathered}$$

Dvs: y = -4x + 4

Oppgave 4

a)

x = 1 er en løsning av likningen. Elven mister en løsning ved ikke å sjekke faktoren (x-1) lik null.

b)

For å finne skjæringspunktet må man sette $f(x)=g(x)$

$(x-1)(x-3)=x-1$

$x^2-4x+3=x-1$ => $x^2-5x+4=0$, deretter bruker man ABC-formelen for å finne nullpunktene.

Nullpunktene er; $x=4$ og $x=1$

For å finne skjæringspunktene setter man $f(4)$ og $g(1)$. Da finner man en y-verdi. $f(4)=(4-1)(4-3)$ $f(4)=3$, noe som betyr at $y=3$

$g(1)=1-1=0$, noe som betyr at $y=0$.

Skjæringspunktene ligger i punktene $(4,3)$ og $(1,0)$

Oppgave 6

a)

$$\begin{gathered} 3^{4x}+7=34 \\ {3}^{4x}=27 \\ {3}^{4x}=3^3 \\ lg{3}^{4x}=lg{3}^3 \\ 4x=3 \\ x=\frac{3}{4} \end{gathered}$$

b)

$$\begin{gathered} lg(x)+lg(x-1)=lg2x>1 \\ lg(x^2-x)=lg2 \\ {x}^2-x=2 \\ {x}^2-x-2=0 \\ x=\frac{-1\pm \sqrt{1+8}}{2} \\ x=-1\text{we}x=2 \end{gathered}$$