R1 2019 vår LØSNING

Oppgaven som pdf

Løsningsforslag laget av matteprat-bruker SveinR

Løsningsforslag laget av Marius Nilsen ved Bergen Private Gymnas

Diskusjon av denne oppgaven på matteprat

DEL 1

Oppgave 1

a)

$$\begin{gathered} f(x)=x^3+2x^2-\sqrt{x} \\ {f}^{\prime }(x)=3x^2+4x-\frac{1}{2\sqrt{x}} \end{gathered}$$

b)

$$\begin{gathered} g(x)=x^2\cdot ln(2x-1) \\ {g}^{\prime }(x)=2x\cdot ln(2x-1)+\frac{2x^2}{2x-1} \end{gathered}$$

Brukte produktregelen og kjerneregelen. Løsningen kan evt. faktoriseres.

c)

$$\begin{gathered} h(x)=\frac{4x}{e^{2x}} \\ {h}^{\prime }(x)=\frac{4e^{2x}-4x\cdot 2e^{2x}}{(e^{2x}{)}^2} \\ =\frac{e^{2x}(4-8x)}{(e^{2x})(e^{2x})}=\frac{-8x+4}{e^{2x}} \end{gathered}$$

Oppgave 2

a)

$$\begin{gathered} \frac{1}{x^2-x}+\frac{1}{x^2+x}-\frac{1}{x^2-1} \\ =\frac{1}{x(x-1)}+\frac{1}{x(x+1)}-\frac{1}{(x+1)(x-1)} \\ =\frac{x+1}{x(x-1)(x+1)}+\frac{x-1}{x(x+1)(x-1)}-\frac{x}{x(x+1)(x-1)} \\ =\frac{x+1+x-1-x}{x(x+1)(x-1)} \\ =\frac{x}{x(x+1)(x-1)} \\ =\frac{1}{x^2-1} \end{gathered}$$

b)

$\frac{(ln{e}^3+1{)}^2}{(e^{ln3}+1)}=\frac{(3+1{)}^2}{(3+1{)}^3}=\frac{4^2}{4^3}=\frac{1}{4}$

Oppgave 3

a)

$$\begin{gathered} (2x-1)=0 \\ x=\frac{1}{2} \end{gathered}$$

Sjekker om $x=\frac{1}{2}$ er et nullpunkt for $f(x)$:

$$\begin{gathered} f(\frac{1}{2})=2(\frac{1}{2}{)}^3-3(\frac{1}{2}{)}^2-11\cdot \frac{1}{2}+6 \\ =\frac{2}{8}-\frac{3}{4}-\frac{11}{2}+6 \\ =\frac{2}{8}-\frac{6}{8}-\frac{44}{8}+6 \\ =\frac{-48}{8}+6=-6+6=0 \end{gathered}$$

$x=\frac{1}{2}$ er et nullpunkt for $f(x)$, det vil si at divisjonen $f(x):(2x-1)$ går opp.

b)

Utfører polynomdivisjonen $f(x):(2x-1)$

$x^2-x-6=(x-3)(x+2)$

$f(x)=(2x-1)(x-3)(x+2)$

c)

$$\begin{gathered} f(x)\ge (2x-1)(x+2) \\ (x-3)(2x-1)(x+2)\ge (2x-1)(x+2) \\ (x-3)(2x-1)(x+2)-(2x-1)(x+2)\ge 0 \end{gathered}$$

Setter felles faktor $(2x-1)(x+2)$ utenfor parentes.

$$\begin{gathered} (2x-1)(x+2)((x-3)-1)\ge 0 \\ (2x-1)(x+2)(x-4)\ge 0 \end{gathered}$$

$f(x)\ge (2x-1)(x+2)$ når $x\in [-2,\frac{1}{2}]\cup [4,\to ⟩$

Oppgave 4

a)

Vi har punktene $A(1,3)$ og $B(5,-1)$

$\overrightarrow{AB}=[5-1,-1-3]=[4,-4]$

$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{4^2+(-4{)}^2}=\sqrt{32}=\sqrt{2\cdot 16}=4\sqrt{2}$

b)

Likning for en sirkel med sentrum i $(x_0,y_0)$:

$(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2=r^2$

Husk at sirkelens diameter er fra punkt A til punkt B. Sentrum i vår sirkel blir midt mellom punkt A og B, i (3,1).

Radius blir halvparten av $|AB|$ $\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$

Vi setter inn våre verdier og får likningen for sirkelen:

$$\begin{gathered} (x-3{)}^2+(y-1{)}^2=(2\sqrt{2}{)}^2 \\ (x-3{)}^2+(y-1{)}^2=4\cdot 2 \\ (x-3{)}^2+(y-1{)}^2=8 \end{gathered}$$