R2 2025 vår LØSNING: Forskjell mellom sideversjoner

Fra Matematikk.net
Hopp til: navigasjon, søk
Quiz (diskusjon | bidrag)
Quiz (diskusjon | bidrag)
Linje 25: Linje 25:
$\int\frac{2x-1}{x^2-x-6}dx$
$\int\frac{2x-1}{x^2-x-6}dx$


Bruker delbrøkoppspalting:
Bruker integrasjon ved variabelskifte:


$\frac{2x-1}{x^2-x-6}=\frac{A}{x-3}+\frac{B}{x+2}$
$u=x^2-x-6$


$2x-1=A(x+2)+B(x-3)$
$u'=2x-1$


$2x-1=Ax+2A+Bx-3B$
$u'=\frac{du}{dx} \Rightarrow dx = \frac{du}{u'}$


$-1=(A+B-2)x+2A-3B$
$\int\frac{2x-1}{x^2-x-6}dx = \int\frac{u'}{u}dx=\int\frac{u'}{u}\frac{du}{u'} = \int \frac{1}{u}du = ln |u|+C = ln |x^2-x-6|+C$
 
Vi får to likninger:
 
$A+B-2=0 \quad \wedge \quad 2A-3B=-1$
 
$A=-B+2 \quad \wedge \quad 2(-B+2)-3B=-1$
 
$A=-B+2 \quad \wedge \quad -5B=-5$
 
$A=1 \quad \wedge \quad B=1$
 
Setter verdiene for A og B inn i det opprinnelige integralet:
 
$\int\frac{2x-1}{x^2-x-6}dx=\int\frac{A}{x-3}+\frac{B}{x+2}dx$
 
$=\int\frac{1}{x-3}dx+\int\frac{1}{x+2}dx$
 
$=ln(x-3)+ln(x+2)+C$


=DEL 2=
=DEL 2=

Sideversjonen fra 5. jul. 2025 kl. 08:37

Oppgaven som pdf

Diskusjon av oppgaven på matteprat

Løsningsforslag laget av Lektor Seland

Løsningsforslag som video laget av UDL.no

DEL 1

Oppgave 1

a)

$\int_0^1 (2e^x +2x^2)dx $

$=[2e^x+\frac{2}{3}x^3]_0^1$

$=(2e+\frac{2}{3})-2$

$=2e-\frac{4}{3}$

b)

$\int\frac{2x-1}{x^2-x-6}dx$

Bruker integrasjon ved variabelskifte:

$u=x^2-x-6$

$u'=2x-1$

$u'=\frac{du}{dx} \Rightarrow dx = \frac{du}{u'}$

$\int\frac{2x-1}{x^2-x-6}dx = \int\frac{u'}{u}dx=\int\frac{u'}{u}\frac{du}{u'} = \int \frac{1}{u}du = ln |u|+C = ln |x^2-x-6|+C$

DEL 2