Sideversjonen fra 5. jul. 2025 kl. 08:37

DEL 1

$\int_0^1 (2e^x +2x^2)dx $

$=[2e^x+\frac{2}{3}x^3]_0^1$

$=(2e+\frac{2}{3})-2$

$=2e-\frac{4}{3}$

$\int\frac{2x-1}{x^2-x-6}dx$

Bruker integrasjon ved variabelskifte:

$u=x^2-x-6$

$u'=2x-1$

$u'=\frac{du}{dx} \Rightarrow dx = \frac{du}{u'}$

$\int\frac{2x-1}{x^2-x-6}dx = \int\frac{u'}{u}dx=\int\frac{u'}{u}\frac{du}{u'} = \int \frac{1}{u}du = ln |u|+C = ln |x^2-x-6|+C$

@@ Linje 25: / Linje 25: @@
 $\int\frac{2x-1}{x^2-x-6}dx$
-Bruker delbrøkoppspalting:
+Bruker integrasjon ved variabelskifte:
-$\frac{2x-1}{x^2-x-6}=\frac{A}{x-3}+\frac{B}{x+2}$
+$u=x^2-x-6$
-$2x-1=A(x+2)+B(x-3)$
+$u'=2x-1$
-$2x-1=Ax+2A+Bx-3B$
+$u'=\frac{du}{dx} \Rightarrow dx = \frac{du}{u'}$
-$-1=(A+B-2)x+2A-3B$
+$\int\frac{2x-1}{x^2-x-6}dx = \int\frac{u'}{u}dx=\int\frac{u'}{u}\frac{du}{u'} = \int \frac{1}{u}du = ln |u|+C = ln |x^2-x-6|+C$
-Vi får to likninger:
-$A+B-2=0 \quad \wedge \quad 2A-3B=-1$
-$A=-B+2 \quad \wedge \quad 2(-B+2)-3B=-1$
-$A=-B+2 \quad \wedge \quad -5B=-5$
-$A=1 \quad \wedge \quad B=1$
-Setter verdiene for A og B inn i det opprinnelige integralet:
-$\int\frac{2x-1}{x^2-x-6}dx=\int\frac{A}{x-3}+\frac{B}{x+2}dx$
-$=\int\frac{1}{x-3}dx+\int\frac{1}{x+2}dx$
-$=ln(x-3)+ln(x+2)+C$
 =DEL 2=