R2 2025 vår LØSNING: Forskjell mellom sideversjoner

Fra Matematikk.net
Hopp til: navigasjon, søk
Quiz (diskusjon | bidrag)
Quiz (diskusjon | bidrag)
Linje 38: Linje 38:


==Oppgave 2==
==Oppgave 2==
Vi har at
* $f'(x)=-\frac{2}{x^3}$
* $\int_{1}^{2}f(x)dx=\frac{11}{14}$
Integrerer f'(x) for å få et uttrykk for f(x):
$f(x)=\int -\frac{2}{x^3} dx = -2\int x^{-3}dx=\frac{-2}{-2}x^{-2} +C=\frac{1}{x^2}+C$
Bruker det bestemte integralet som likning for å finne C:
$\int_{1}^{2}(\frac{1}{x^2}+C )\, dx=\frac{11}{14}$
$[-\frac{1}{x}+Cx]_{1}^{2}=\frac{11}{14}$
$-\frac{1}{2}+2C-(-1+C)=\frac{11}{14}$
$C+\frac{1}{2}=\frac{11}{14}$
$C=\frac{11}{14}-\frac{7}{14}$
$C=\frac{4}{14}=\frac{2}{7}$
Vi har:
$f(x)=\frac{1}{x^2}+\frac{2}{7}$


=DEL 2=
=DEL 2=

Sideversjonen fra 5. jul. 2025 kl. 08:40

Oppgaven som pdf

Diskusjon av oppgaven på matteprat

Løsningsforslag laget av Lektor Seland

Løsningsforslag som video laget av UDL.no

DEL 1

Oppgave 1

a)

$\int_0^1 (2e^x +2x^2)dx $

$=[2e^x+\frac{2}{3}x^3]_0^1$

$=(2e+\frac{2}{3})-2$

$=2e-\frac{4}{3}$

b)

$\int\frac{2x-1}{x^2-x-6}dx$

Bruker integrasjon ved variabelskifte:

$u=x^2-x-6$

$u'=2x-1$

$u'=\frac{du}{dx} \Rightarrow dx = \frac{du}{u'}$

$\int\frac{2x-1}{x^2-x-6}dx = \int\frac{u'}{u}dx=\int\frac{u'}{u}\frac{du}{u'} = \int \frac{1}{u}du = ln |u|+C = ln |x^2-x-6|+C$

Det er også mulig å bruke integrasjon ved delbrøkoppspalting.

Oppgave 2

Vi har at

  • $f'(x)=-\frac{2}{x^3}$
  • $\int_{1}^{2}f(x)dx=\frac{11}{14}$

Integrerer f'(x) for å få et uttrykk for f(x):

$f(x)=\int -\frac{2}{x^3} dx = -2\int x^{-3}dx=\frac{-2}{-2}x^{-2} +C=\frac{1}{x^2}+C$

Bruker det bestemte integralet som likning for å finne C:

$\int_{1}^{2}(\frac{1}{x^2}+C )\, dx=\frac{11}{14}$

$[-\frac{1}{x}+Cx]_{1}^{2}=\frac{11}{14}$

$-\frac{1}{2}+2C-(-1+C)=\frac{11}{14}$

$C+\frac{1}{2}=\frac{11}{14}$

$C=\frac{11}{14}-\frac{7}{14}$

$C=\frac{4}{14}=\frac{2}{7}$

Vi har:

$f(x)=\frac{1}{x^2}+\frac{2}{7}$

DEL 2