Forskjell mellom versjoner av «Gruppeteori»
Linje 17: | Linje 17: | ||
− | En gruppe <tex>G</tex> med operasjon <tex>*</tex> som tilfredsstiller 1.-4. kalles en gruppe. Hvis den i tillegg tilfredsstiller 5., kalles den en kommutativ eller abelsk gruppe. | + | En gruppe <tex>G</tex> med operasjon <tex>*</tex> som tilfredsstiller 1.-4. kalles en gruppe. Hvis den i tillegg tilfredsstiller 5., kalles den en kommutativ eller abelsk gruppe. Gruppen og operasjonen kan skrives kompakt med notasjonen <tex>(G,*)</tex>. |
==Elementære resultater== | ==Elementære resultater== |
Revisjonen fra 21. sep. 2011 kl. 15:42
Gruppeteori er en gren av Algebra og omhandler den enkleste algebraiske strukturen hvis operasjon oppviser assisiasjon og tillater inverser.
Definisjon
La <tex>G</tex> være en ikketom mengde med <tex>a,b,c\in G</tex> og med en definert operasjon <tex>*</tex>, kalt multiplikasjon, og se på følgende egenskaper:
1. <tex>a*b\in G</tex> (Lukkethet under multiplikasjon=
2. <tex>(a*b)*c=a*(b*c)</tex> (Assosiativitet)
3. <tex>\exists e \in G</tex> slik at <tex>e*a=a*e=a</tex> (Eksistens av identitetselement)
4. <tex>\exists a^{-1} \forall a</tex> slik at <tex>a^{-1}*a=a*a^{-1}=e</tex> (Eksistens av inverser)
5. <tex>a*b=b*a</tex>
En gruppe <tex>G</tex> med operasjon <tex>*</tex> som tilfredsstiller 1.-4. kalles en gruppe. Hvis den i tillegg tilfredsstiller 5., kalles den en kommutativ eller abelsk gruppe. Gruppen og operasjonen kan skrives kompakt med notasjonen <tex>(G,*)</tex>.
Elementære resultater
Forkortningslov
Anta at <tex>a*b=a*c</tex>. Da er <tex>b=c</tex>
Bevis: <tex>b=a^{-1}*a*b=a^{-1}*a*c=c</tex>
Identitetselementet er unikt
Anta at <tex>e_1</tex> og <tex>e_2</tex> er identitetselementer. Da har vi <tex>e_1=e_1*e_2=e_2</tex> .
Ved forkortningsloven har vi faktisk at hvis det finnes et element <tex>b</tex> slik at <tex>a*b=a</tex> for en <tex>a</tex>, så er <tex>b=e</tex>.
Inverser er unike
Anta at <tex>a*b=e</tex>. Da er <tex>b=a^{-1}</tex>. Anta at <tex>c*a=e</tex>. Da er <tex>c=a^{-1}</tex> og dermed er inverser unike.
Bevis: Dette er et spesialtilfelle av forkortningsloven.
Produkter med flere enn 2 elementer er veldefinerte
For elementer <tex>a_1, a_2,..., a_n</tex> er verdien av produktet <tex>a_1*a_2*...*a_n</tex> veldefinert.
Bevis: Dette kan gjøres ved induksjon på <tex>n</tex>.