R1 2015 høst LØSNING

Oppgaven som pdf

Løsningsforslag laget av LektorH

Løsningsforslag (pdf) fra bruker joes. Send gjerne en melding hvis du har kommentarer til løsningsforslaget. På forhånd, takk.

Diskusjon av denne oppgaven

Oppgave 1

a)

$$\begin{gathered} f(x)=3x^2+5x-2 \\ f´(x)=6x+5 \end{gathered}$$

b)

$$\begin{gathered} g(x)=3(x^2-2{)}^4 \\ g´(x)=3\cdot 4\cdot 2x(x^2-3{)}^3=24x(x^2-3{)}^3 \end{gathered}$$

c)

$h(x)=xln(x^2+3)$

Setter $u=x^2+3$ som gir u´= 2x, og får:

$$\begin{gathered} h´(x)=ln(x^2+3)+\frac{x\cdot 2x}{x^2+3} \\ h´(x)=ln(x^2+3)+\frac{2x^2}{x^2+3} \end{gathered}$$

Oppgave 2

$$\begin{gathered} f(x)=x{e}^{-x} \\ f´x)=e^{-x}+x(-1)e^{-x}=e^{-x}(1-x) \end{gathered}$$

$e^{-x}$ er positiv for alle x. (1-x) er null for x=1, negativ for x > 1 og positiv for x < 1. x = 1 gir et maksimum for funksjonen.

Oppgave 3

a)

$f(x)=x^3-2x^2-kx+6,D_F=\text{R}$

k slik at $f(x):(x-1)$ går opp:

$$\begin{gathered} 1-2-k+6=0 \\ k=5 \end{gathered}$$

b)

$$\begin{gathered} x^3-2x^2-5x+6:(x-1)=x^2-x-6 \\ -(x^3-x^2) \\ -x^2-5x \\ -(-x^2+x) \\ -6x+6 \\ -(-6x+6) \end{gathered}$$

Vi løser andregradspolynomet (abc - formel el.) og får totalt disse tre lineære faktorer: (x - 1)(x + 2)(x - 3).

c)

Tegner fortegnsskjema for hver av de tre lineære faktorene i b, og får fortegnslinjen for f(x):

Oppgave 4

$$\begin{gathered} lg(a^2{b}^3)+lg(\frac{1}{b^2})-lg(\frac{b}{a})= \\ 2lga+3lgb-2lgb-lgb+lga= \\ 3lga \end{gathered}$$

Oppgave 5

a)

$f(x)=-x^4+4x^3=x^3(-x+4)x\in <-2,4>$

Siden funksjonen ikke er definert for x = 4 har den bare ett nullpunkt, i Origo (0, 0).

b)

$f´(x)=-4x^3+12x^2=-4x^2(x-3)$

Grafen har et terassepunkt for x = 0, dvs. i (0, 0) og et maksimum i (3, f(3)) som gir (3, 27).

c)

Vendepunkt:

$$\begin{gathered} f´´(x)=-12x^2+24x \\ f´´(x)=0 \\ -12x(x+12)=0 \\ x=0\vee x-12 \end{gathered}$$

Bare x = 0 ligger i definisjonsområdet.

d)

Oppgave 6

Vinkel u spenner over samme bue som vinkel D. Begge ligger på sirkelperiferien og er derfor like. Vinkel u er 50 grader.

Vinkel C er 90 grader fordi den ligger på pereferien og spenner over diameteren. Da blir vikel v 40 grader.