R2 2025 vår LØSNING

Oppgaven som pdf

Diskusjon av oppgaven på matteprat

Løsningsforslag laget av Lektor Seland

Løsningsforslag som video laget av UDL.no

DEL 1

Oppgave 1

a)

$\int_{0}^{1} (2e^x+2x^2)dx$

$=[2e^x+\frac{2}{3}x^3]_{0}^{1}$

$=2e+\frac{2}{3}-2$

$=2e-\frac{4}{3}$

b)

$\int\frac{2x-1}{x^2-x-6}dx$

Bruker delbrøkoppspalting:

$\frac{2x-1}{x^2-x-6}=\frac{A}{x-3}+\frac{B}{x+2}$

$2x-1=A(x+2)+B(x-3)$

$2x-1=Ax+2A+Bx-3B$

$-1=(A+B-2)x+2A-3B$

Vi får to likninger:

$A+B-2=0 \quad \wedge \quad 2A-3B=-1$

$A=-B+2 \quad \wedge \quad 2(-B+2)-3B=-1$

$A=-B+2 \quad \wedge \quad -5B=-5$

$A=1 \quad \wedge \quad B=1$

Setter verdiene for A og B inn i det opprinnelige integralet:

$\int\frac{2x-1}{x^2-x-6}dx=\int\frac{A}{x-3}+\frac{B}{x+2}dx$

$=\int\frac{1}{x-3}dx+\int\frac{1}{x+2}dx$

$=ln(x-3)+ln(x+2)+C$

Oppgave 2

Vi har at

• $f'(x)=-\frac{2}{x^3}$

• $\int_{1}^{2}f(x)dx=\frac{11}{14}$

Integrerer f'(x) for å få et uttrykk for f(x):

$f(x)=\int -\frac{2}{x^3} dx = -2\int x^{-3}dx=\frac{-2}{-2}x^{-2} +C=\frac{1}{x^2}+C$

Bruker det bestemte integralet som likning for å finne C:

$\int_{1}^{2}(\frac{1}{x^2}+C )\, dx=\frac{11}{14}$

$[-\frac{1}{x}+Cx]_{1}^{2}=\frac{11}{14}$

$-\frac{1}{2}+2C-(-1+C)=\frac{11}{14}$

$C+\frac{1}{2}=\frac{11}{14}$

$C=\frac{4}{14}=\frac{2}{7}$

Vi har:

$f(x)=\frac{1}{x^2}+\frac{2}{7}$