R2 2025 vår LØSNING

Oppgaven som pdf

Diskusjon av oppgaven på matteprat

Løsningsforslag laget av Lektor Seland

Løsningsforslag som video laget av UDL.no

DEL 1

Oppgave 1

a)

$\int_0^1 (2e^x +2x^2)dx $

$=[2e^x+\frac{2}{3}x^3]_0^1$

$=(2e+\frac{2}{3})-2$

$=2e-\frac{4}{3}$

b)

$\int\frac{2x-1}{x^2-x-6}dx$

Bruker integrasjon ved variabelskifte:

$u=x^2-x-6$

$u'=2x-1$

$u'=\frac{du}{dx} \Rightarrow dx = \frac{du}{u'}$

$\int\frac{2x-1}{x^2-x-6}dx = \int\frac{u'}{u}dx=\int\frac{u'}{u}\frac{du}{u'} = \int \frac{1}{u}du = ln |u|+C = ln |x^2-x-6|+C$

Det er også mulig å bruke integrasjon ved delbrøkoppspalting.

Oppgave 2

Vi har at

• $f'(x)=-\frac{2}{x^3}$

• $\int_{1}^{2}f(x)dx=\frac{11}{14}$

Integrerer f'(x) for å få et uttrykk for f(x):

$f(x)=\int -\frac{2}{x^3} dx = -2\int x^{-3}dx=\frac{-2}{-2}x^{-2} +C=\frac{1}{x^2}+C$

Bruker det bestemte integralet som likning for å finne C:

$\int_{1}^{2}(\frac{1}{x^2}+C )\, dx=\frac{11}{14}$

$[-\frac{1}{x}+Cx]_{1}^{2}=\frac{11}{14}$

$-\frac{1}{2}+2C-(-1+C)=\frac{11}{14}$

$C+\frac{1}{2}=\frac{11}{14}$

$C=\frac{11}{14}-\frac{7}{14}$

$C=\frac{4}{14}=\frac{2}{7}$

Vi har:

$f(x)=\frac{1}{x^2}+\frac{2}{7}$

Oppgave 3

a)

Rekken starter med tallet 2. For å finne neste tall, tar man forrige tall pluss forrige tall sitt figurnummer pluss 2.

Når koden kjøres, skrives de 5 første tallene i rekken ut, nemlig 2, 5, 9, 14, 20.

b)

Eleven ønsker å finne summen av de 5 første tallene i rekken. Resultatet som skrives ut blir 50.

DEL 2

Oppgave 2

a)

Summen av sparingen er en geometrisk rekke hvor ledd nr. n er gitt ved $a_n=a_1\cdot k^n$

Summen av de n første leddene i denne geometriske rekka er gitt ved:

$S_n=a_1\cdot k\cdot\frac{k^n-1}{k-1}$

Her skal summen bli 3 750 000 kr, og k = 1,025.

Her er to forskjellige måter å beregne $a_1$ i CAS:

Nora må sette inn ca. 83 333 kr i banken hvert år for å nå målet.

b)

Bruker at summen av nåverdiene til terminbeløpet, skal bli lik lånebeløpet:

Nora har regnet med at den årlige rentesatsen på lånet er ca. 3,27 %.

Oppgave 4

For en uendelig geometrisk rekke gitt ved $1+x+x^2+x^3+...$

har vi at

$\int 1\,dx + \int x\,dx + \int x^2\,dx + \int x^3\,dx + ... = \int \frac{1}{1-x} dx, \quad x\in \langle -1,1 \rangle$

Integrerer hvert ledd og får:

$x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{4}x^4+...=-ln|x-1|$

Jeg har brukt CAS til å integrere $\frac{1}{1-x}$, og ignorerer integrasjonskonstanten, slik det står i oppgaven at vi kan gjøre.

Vi har rekken

$\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2^3}+\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2^4}+...$

som er den samme rekken som over, hvor $x=\frac{1}{2}$

Summen av denne rekken er altså

$-ln|\frac{1}{2}-1|=-ln(\frac{1}{2})=-(ln\,1-ln\,2)=0+ln\,2=ln\,2$