Forskjell mellom versjoner av «Integrasjon ved delbrøkoppspalting»
Linje 1: | Linje 1: | ||
− | Dersom man har en brøkfunksjon med en nevner som har høyere grad enn en og kan faktoriseres kan delbrøkoppspalting være en metode som fører til et resultat. Man ønsker å skrive en brøk med høyere grad enn en i nevner som summen av brøker med førstegradsuttrykk i nevneren. Teknikken | + | Dersom man har en brøkfunksjon med en nevner som har høyere grad enn en og kan faktoriseres kan delbrøkoppspalting være en metode som fører til et resultat. Man ønsker å skrive en brøk med høyere grad enn en i nevner som summen av brøker med førstegradsuttrykk i nevneren. Teknikken illustreres best med et eksempel. |
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"> | <blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"> | ||
Linje 10: | Linje 10: | ||
2x+3 = (x + 2)A + (x - 2)B | 2x+3 = (x + 2)A + (x - 2)B | ||
<p></p> | <p></p> | ||
− | Velger x slik at | + | Velger x slik at parentesen foran A blir null og får x=-2 som gir:<p></p> |
<tex>-1 = -4B</tex><p></p> | <tex>-1 = -4B</tex><p></p> | ||
<tex>B= \frac14</tex><p></p> | <tex>B= \frac14</tex><p></p> | ||
− | Velger så x slik at | + | Velger så x slik at parentesen foran B blir null, x = 2:<p></p> |
<tex>7 = 4A</tex><p></p> | <tex>7 = 4A</tex><p></p> | ||
<tex>A = \frac74</tex><p></p> | <tex>A = \frac74</tex><p></p> | ||
Linje 30: | Linje 30: | ||
Man finner A og B slik at<p></p> | Man finner A og B slik at<p></p> | ||
<tex> ax + b= (x-x_2)A + (x-x_2)B </tex> <p></p> | <tex> ax + b= (x-x_2)A + (x-x_2)B </tex> <p></p> | ||
− | Det lønner seg å velge x slik at | + | Det lønner seg å velge x slik at parentesene blir lik null (en om gangen).<p></p> |
Det kan være lurt å huske at:<p></p> | Det kan være lurt å huske at:<p></p> | ||
<tex> \int \frac{1}{x+a}dx = ln|x+a| +C </tex><p></p> og <p></p><tex> \int \frac{1}{a-x}dx = -ln|a-x| +C </tex><p></p> | <tex> \int \frac{1}{x+a}dx = ln|x+a| +C </tex><p></p> og <p></p><tex> \int \frac{1}{a-x}dx = -ln|a-x| +C </tex><p></p> |
Revisjonen fra 5. feb. 2011 kl. 12:43
Dersom man har en brøkfunksjon med en nevner som har høyere grad enn en og kan faktoriseres kan delbrøkoppspalting være en metode som fører til et resultat. Man ønsker å skrive en brøk med høyere grad enn en i nevner som summen av brøker med førstegradsuttrykk i nevneren. Teknikken illustreres best med et eksempel.
Eksempel 1:
<tex> \int \frac{2x+3}{x^2-4}dx = \int \frac{2x+3}{(x-2)(x+2)}dx =\int (\frac{A}{(x-2)}+ \frac {B}{(x+2)})dx
</tex>
Man må så bestemme A og B. Det gjøres ved å løse likningen:
2x+3 = (x + 2)A + (x - 2)B
Velger x slik at parentesen foran A blir null og får x=-2 som gir:
<tex>-1 = -4B</tex>
<tex>B= \frac14</tex>
Velger så x slik at parentesen foran B blir null, x = 2:
<tex>7 = 4A</tex>
<tex>A = \frac74</tex>
Integralet blir da:
<tex> \int \frac{2x+3}{x^2-4}dx = \int \frac{2x+3}{(x-2)(x+2)}dx =\int (\frac{7}{4(x-2)}+ \frac {1}{4(x+2)})dx = \frac 74 ln|x-2| + \frac14 ln|x+2| + C </tex>
Generelt kan man si at:
<tex> \int \frac{ax+b}{(x-x_1)(x-x_2)}dx = \int (\frac{A}{(x-x_1)}+ \frac {B}{(x-x_2)})dx
</tex>
Man finner A og B slik at
<tex> ax + b= (x-x_2)A + (x-x_2)B </tex>
Det lønner seg å velge x slik at parentesene blir lik null (en om gangen).
Det kan være lurt å huske at:
<tex> \int \frac{1}{x+a}dx = ln|x+a| +C </tex>
og
<tex> \int \frac{1}{a-x}dx = -ln|a-x| +C </tex>
Eksempel 2:
<tex> \int \frac{6x^2-17x+6}{x^3-5x^2+6x}dx = \int \frac{6x^2-17x+6}{x(x-2)(x-3)}dx =\int (\frac{(x-2)(x-3)A}{x}+ \frac {x(x-3)B}{x-2}+ \frac {x(x-2)C}{x-3} dx
</tex>
Man må nå finne ut hva A, B og C er. Det gjør man på følgende måte
<tex>6x^2-17x+6 = (x-2)(x-3)A +x(x-3)B + x(x-2)C </tex>
Setter først x = 0
6 = 6 A dvs. A = 1
Setter så x = 2 og får:
-4 = -2B dvs. B = 2
Setter så x = 3 og finner at C = 3. Da får man:
<tex> \int \frac{6x^2-17x+6}{x^3-5x^2+6x}dx = \int \frac{6x^2-17x+6}{x(x-2)(x-3)}dx =\int (\frac{1}{x}+ \frac {2}{x-2}+ \frac {3}{x-3} dx = ln|x| + 2ln|x-2| +3ln|x-3| + C
</tex>
Dersom man får et intgral der teller er større enn nevner kan man prøve polynomdivisjon før integrasjon.
Polynomdivisjon før integrasjon
Dersom en polynomdivisjon ikke går opp får man en rest i form av en brøkfunksjon som er enklere enn den man startet med. Hvilke metode man bruker for å integrere denne resten er ofte delbrøkoppspalting eller variabelskifte.
Eksempel 3:
<tex> \int \frac{x^3+2x^2+x+1}{x^2 +x +2}dx </tex>
man utfører divisjonen og får
<tex> \int \frac{x^3+2x^2+x+1}{x^2 +x +2}dx = \int (x + 1 - \frac{2x+1}{x^2+x+2})dx</tex>
Man observere at brøken har den deriverte av nevner, i teller. Da bruker man substitusjon (variabelskifte) og får
<tex> \frac12x^2 + x - ln(x^2+x+2) +C</tex>
Eksempel 4:
<tex> \int \frac{2t^3+t^2-2t-3}{t^2 -1}dt </tex>
Utfører polynomdivisjonen og får
<tex> \int \frac{2t^3+t^2-2t-3}{t^2 -1}dt = \int (2t + 1 - \frac{2}{(t+1)(t-1)})dt</tex>
2= (t - 1)A + (t + 1)B
Velger t = 1 som gir B = 1
Velger så t = -1 og får A = - 1, som gir:
<tex> \int \frac{2t^3+t^2-2t-3}{t^2 -1}dt = \int (2t + 1 - \frac{2}{(t+1)(t-1)})dt = \int (2t + 1 - ( \frac{-1}{t+1} + \frac {1}{t-1}) )dt \\ = \int (2t + 1 +\frac{1}{t+1} - \frac {1}{t-1} )dt = t^2 + t +ln|t+1| - ln|t-1| + C </tex>