1T 2018 vår LØSNING

Oppgaven som pdf

Diskusjon av oppgaven på matteprat

Løsning laget av LektorNilsen

DEL EN

Oppgave 1

$\left[\begin{array}{r}5x+2y=4\\ 3x+4y=-6\end{array}\right]$

Ganger første likning med -2 for å bruke addisjon, slik at y forsvinner.

$\left[\begin{array}{r}-10x-4y=-8\\ 3x+4y=-6\end{array}\right]$

Legger likningen sammen og får

$$\begin{gathered} -7x=-14 \\ x=2 \end{gathered}$$

Setter x = 2 inn i første likning og får at y er:

$$\begin{gathered} 5x+2y=4 \\ 10+2y=4 \\ 2y=-6 \\ y=-3 \end{gathered}$$

Løsning: $x=2\wedge y=-3$

Oppgave 2

$$\begin{gathered} 3\cdot {10}^x=3000 \\ {10}^x=1000 \\ xlg10=lg1000 \\ x\cdot 1=lg1000 \\ x=3 \end{gathered}$$

Oppgave 3

$\frac{(0,5\cdot {10}^6{)}^2}{0,2\cdot {10}^{-4}+3\cdot {10}^{-5}}=\frac{0,25\cdot {10}^{12}}{2\cdot {10}^{-5}+3\cdot {10}^{-5}}=\frac{25\cdot {10}^{10}}{5\cdot {10}^{-5}}=5\cdot {10}^{15}$

Oppgave 4

$\sqrt{15}\cdot \sqrt{5}-\sqrt{48}=\sqrt{3\cdot 5\cdot 5}-\sqrt{4\cdot 4\cdot 3}=5\sqrt{3}-4\sqrt{3}=\sqrt{3}$

Oppgave 5

$$\begin{gathered} lg1000\cdot lg\sqrt[3]{10}\cdot lg\sqrt[5]{{10}^2}\cdot lg0,00001 \\ =lg{10}^3\cdot lg{10}^{\frac{1}{3}}\cdot lg{10}^{\frac{2}{5}}\cdot lg{10}^{-5} \\ =3\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{2}{5}\cdot (-5)=-2 \end{gathered}$$

a)

$x(x+2)(x-4)=x(x^2-4x+2x-8)=x(x^2-2x-8)=x^3-2x^2-8x$

b)

$$\begin{gathered} x^3-2x^2-8x=0 \\ x(x+2)(x-4)=0 \\ x=-2\wedge x=0\wedge x=4 \end{gathered}$$

Oppgave 7

$$\begin{gathered} x^2-2x-8=0 \\ (x+2)(x-4)=0 \\ x=-2\wedge x=4 \end{gathered}$$

$x^2-2x-8\ge 0$ for $x<-2$ og $x>4$

Oppgave 8

Bruker abc-formelen $x=\frac{-b\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ for å finne funksjonens nullpunkter, a=1, b=k, c=4.

$$\begin{gathered} x^2+kx+4=0 \\ x=\frac{-k\sqrt{k^2-4\cdot 1\cdot 4}}{2\cdot 1} \\ x=\frac{-k\sqrt{k^2-16}}{2} \end{gathered}$$

Dersom likningen er uløselig, har grafen til f ingen skjæringspunkter med x-aksen (dvs. ingen nullpunkter). Dette skjer dersom verdien under kvadratroten er negativ, siden kvadratroten av et negativt tall ikke gir noen reelle løsninger.

Dersom verdien under kvadratroten er 0, får likningen bare én løsning, og grafen til f bare ett skjæringspunkt med x-aksen (dvs. ett nullpunkt).

Dersom verdien under kvadratroten er positiv, får likningen to løsninger, og grafen til f to skjæringspunkter med x-aksen (dvs. to nullpunkt).

Vi løser likningen $k^2-16=0$ for å finne hvilke verdier av k oppfyller de ulike mulighetene.

$$\begin{gathered} k^2=16 \\ k=\pm \sqrt{16} \\ k=-4\wedge k=4 \end{gathered}$$

Vi ser at grafen til f har

$\bullet$ ingen skjæringspunkter med x-aksen for $-4<k<4$

$\bullet$ ett skjæringspunkt med x-aksen for $k=-4$ og $k=4$

$\bullet$ to skjæringspunkter med x-aksen for $k<-4$ og $k>4$

a)

$\frac{x+2+\frac{1}{x}}{\frac{x}{3}-\frac{1}{3x}}=\frac{3x(x+2+\frac{1}{x})}{3x(\frac{x}{3}-\frac{1}{3x})}=\frac{3x^2+6x+3}{x^2-1}$

b)

$\frac{x+2+\frac{1}{x}}{\frac{x}{3}-\frac{1}{3x}}=\frac{3x^2+6x+3}{x^2-1}=\frac{3(x^2+2x+1)}{(x+1)(x-1)}=\frac{3(x+1)(x+1)}{(x+1)(x-1)}=\frac{3x+3}{x-1}$

a)

$f(x)=x^3+2x^2+1$

Gjennomsnittlig vekstfart $a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

$x_1=-2$

$x_2=2$

$y_1=f(-2)=(-2{)}^3+2\cdot (-2{)}^2+1=-8+8+1=1$

$y_2=f(2)=2^3+2\cdot 2^2+1=8+8+1=17$

$a=\frac{17-1}{2-(-2)}=\frac{16}{4}=4$

Den gjennomsnittlige vekstfarten til f i intervallet [-2,2] er 4.

b)

$f(x)=x^3+2x^2+1$

$f^{\prime }(x)=3x^2+4x$

Likning for tangenten i et punkt $(x_1,y_1):(y-y_1)=a(x-x_1)$

$x_1=1$

$y_1=f(1)=1^3+2\cdot 1^2+1=1+2+1=4$

$a=f^{\prime }(1)=3\cdot 1^2+4\cdot 1=3+4=7$

Likning for tangenten til grafen til f i punktet $(1,f(1))$:

$$\begin{gathered} (y-4)=7(x-1) \\ y=7x-7+4 \\ y=7x-3 \end{gathered}$$

Oppgave 11

Når man kaster to terninger er det $6\cdot 6=36$ mulige utfall totalt.

Utfallsrom for at terningene viser samme antall øyne:

$U_1=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)\}$. Det gir oss 6 gunstige utfall.

Sannsyngliheten for at terningne viser samme antall øyne er $\frac{6}{36}$

Utfallsrom for at summen av antall øyne er 5 eller mindre:

$U_2=\{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(1,3),(3,1),(2,3),(3,2),(1,4),(4,1)\}$. Det gir oss 10 gunstige utfall.

Sannsyngliheten for at summen av antall øyne er 5 eller mindre er $\frac{10}{36}$.

Det er altså alternativ 2, "summen av antall øyne er 5 eller mindre", som er mest sannsynlig.

a)

Bruker Pytagorassetningen til å finne lengden av DC.

$$\begin{gathered} (DC{)}^2=(AC{)}^2-(AD{)}^2 \\ (DC{)}^2=s^2-(\frac{s}{2}{)}^2 \\ (DC{)}^2=\frac{4s^2}{4}-\frac{s^2}{4} \\ DC=\sqrt{\frac{3s^2}{4}} \\ DC=\frac{s\sqrt{3}}{2} \end{gathered}$$

b)

I en rettvinklet trekant er $sinv=\frac{motståendekatet}{hypotenus}$

$$\begin{gathered} sin60°=\frac{DC}{AC} \\ sin60°=\frac{\frac{s\sqrt{3}}{2}}{s} \\ sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2} \end{gathered}$$

c)

Vi finner høyden SR til $\mathrm{\Delta }PQR$. Vi vet fra forrige deloppgave at $sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$ og vi vet fra oppgaveteksten at $PR=2\sqrt{3}$

$$\begin{gathered} sin(v)=\frac{motståendekatet}{hypotenus} \\ sin60°=\frac{SR}{PR} \\ \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{SR}{2\sqrt{3}} \\ SR=\frac{\sqrt{3}\sqrt{3}\cdot 2}{2} \\ SR=3 \end{gathered}$$

Vi kan nå bestemme arealet til $\mathrm{\Delta }PQR$.

$$\begin{gathered} A=\frac{grunnlinje\cdot høyde}{2} \\ A=\frac{PQ\cdot SR}{2} \\ A=\frac{8\cdot 3}{2} \\ A=12 \end{gathered}$$

Du kan også bestemme arealet til $\mathrm{\Delta }PQR$ ved å bruke arealsetningen.

d)

Vi begynner med å finne lengden av PS. Siden $\mathrm{\Delta }PSR$ er en 30°-60°-90° trekant, er den korteste kateten halvparten så lang som hypotenusen. Det vil si at $PS=\frac{PR}{2}=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$. Du kan også finne lengen av PS ved hjelp av Pytagorassetningen.

Vi kan nå finne $tanQ$. Vi vet at i en rettvinklet trekant er $tan(v)=\frac{motståendekatet}{hosliggendekatet}$. Fra oppgave c) vet vi at SR = 3, og fra oppgaveteksten vet vi at PQ=8.

$$\begin{gathered} tanQ=\frac{SR}{SQ} \\ tanQ=\frac{3}{PQ-PS} \\ tanQ=\frac{3}{8-\sqrt{3}} \end{gathered}$$

Oppgave 13

Graf E er grafen til funksjonen p, fordi p er den eneste funksjonen hvor konstantleddet er 0. Dersom konstantleddet til en funksjon er null, vil grafen skjære y-aksen i origo, og graf E er derfor den eneste som passer.

Graf F er grafen til funksjonen r, fordi r er den eneste funksjonen med negativ koeffisient i andregradsleddet. Grafen til en andregradsfunksjon med negativt andregradsledd vil alltid bue nedover ("surt fjes"), og graf F er derfor den eneste som passer.

Funksjonene q og s har begge konstantleddet -2, dvs. at skjæringspunktet med y-aksen er i y=-2. Graf A og B passer ikke til det, og vi sitter igjen med graf C og D. Disse er ganske like, men har bunnpunktet på forskjellig sted. Vi kan finne x-verdien til bunnpunktet for begge funksjonene.

$q^{\prime }(x)=2x+2$

Setter $$\begin{gathered} q^{\prime }(x)=0 \\ 2x+2=0 \\ 2x=-2 \\ x=-1 \end{gathered}$$

$s^{\prime }(x)=2x-2$

Setter $$\begin{gathered} s^{\prime }(x)=0 \\ 2x-2=0 \\ 2x=2 \\ x=1 \end{gathered}$$

Vi ser at graf D er grafen til funksjonen s, fordi den har bunnpunktet i x=1.

Graf C er grafen til funksjonen q, fordi den har bunnpunktet i x=-1.

Du kan også finne de riktige grafene til funksjonene q og s ved å finne symmetrilinja x til funksjonene, ved hjelp av formelen $x=\frac{-b}{2a}$.

DEL 2

a)

b)