S1 2018 høst LØSNING

Fra Matematikk.net
Hopp til: navigasjon, søk

Diskusjon av denne oppgaven på matteprat

Oppgaven som pdf

Løsning laget av Marius Nilsen ved Bergen Private Gymnas

DEL 1

Oppgave 1

a)

x23x+1=3x+8x26x7=0x=6±(6)24(7)2x=6±82x1=1x2=7

b)

lg(x4)lg(x3)+lg(x2)lgx=64lgx3lgx+2lgxlgx=62lgx=6lgx=3x=103x=1000

c)

104x=52x22x2x=51022xx=122x=21x=1

Oppgave 2

a)

(a+2b)2(2ba)2=(a2+4ab+4b2)(4b24ab+a2)=a2+4ab+4b24b2+4aba2=8ab

b)

3330+31+32+33=271+13+132+133=27+927+327+127=27+1327

Jeg synes dette svaret er penest, men man kan også skrive svaret slik:

27+1327=72927+1327=74227

Oppgave 3

x26x7

Løser likningen x26x7=0. Kjenner igjen denne likningen fra oppgave 1a). Løsningen er x1=1x2=7

Et andregradsuttrykk ax2+bx+c med nullpunkter x1 og x2 kan faktoriseres slik: ax2+bx+c=a(xx1)(xx2)

Faktoriserer andregradsfunksjonen: x26x7=(x+1)(x7)

Lager fortegnsskjema:

Svar:

x26x7 når x1x7

Alternativt kan svaret skrives slik:

x,1][7,

Velg din favoritt!

Oppgave 4

a)

b)

Bruker hypergeometrisk sannynlighet, og leser av binomialkoeffisientene i Pascals trekant. (Eksempel: (74) finner du i rad nr.7 og tall nr.4 i raden. Husk å begynne å telle på rad nr.0 og tall nr.0. Hvis du har talt riktig finner du at (74)=35).

P(2J2G)=(42)(32)(74)=6335=1835

Sannsynligheten for at det blir trukket ut to jenter og to gutter er 1835

c)

P(minst en gutt) = 1 - P(ingen gutter) = 1(44)(30)(74)=11135=3535135=3435

Sannsynligheten for at minst én gutt fra elevrådet blir med på turen er 3435

Oppgave 5

a)

[x+y=12x+y=5]

Trekker likning II fra likning I og får:

x(2x)+(yy)=1(5)3x=6x=2

Setter inn x=2 i likning I og får:

2+y=1y=1

Løsning: x=2y=1

b)

Uttrykker de to første ulikhetene med hensyn på y:

Ulikhet nr. 1:

x2y8yx82yx2+4

NB: husk å snu ulikhetstegnet når du ganger eller deler en ulikhet med et negativt tall.

Ulikhet nr. 2:

x+y1yx+1

Vi har nå de tre ulikhetene:

yx2+4yx+1y2x5

Tegn de tre linjene y=x2+4,y=x+1,y=2x5 (for hånd siden det er del 1). Legg godt merke til hvilken vei ulikhetstegnet er i de fire ulikhetene, og skraver området som avgrenses av disse.

c)

Sjekker verdien til 3xy i punkt A,B og C.

Punkt A: 367=11

Punkt B: 32(1)=7

Punkt C: 3(2)3=9

Størrelsen 3xy har størst verdi i punktet (6,7). Da er verdien 11.

Oppgave 6

a)

O(x)=0,25x2+10x75O(x)=0,5x+10

Setter O(x)=0foråfinnetoppunktet

0,5x+10=00,5x=10x=20

Siden O er en andregradsfunksjon med negativt andregradsledd, vet jeg at funksjonen har et toppunkt, og ikke et bunnpunkt. Den produksjonsmengden som gir størst overskudd er 20 enheter per dag. Finner overskuddet O(20)

O(20)=0,25202+102075=0,25400+20075=100+20075=25

Overskuddet blir 25 000 kr.

b)

Setter O(x)=0 for å finne nullpunktene. Bruker abc-formelen for å løse likningen.

0,25x2+10x75=0x=10±1024(0,25)(75)2(0,25)x=10±100750,5x1=10+50,5x2=1050,5x1=10x2=30

Det vil bli overskudd for en daglig produksjon mellom 10 og 30 enheter. Siden O er en andregradsfunksjon med toppunkt på x=20, vet jeg at funksjonen har en positiv verdi fra x=10 til x=30.

Oppgave 7

a)

Leser av de aktuelle punktene grafisk: (-1,5) og (2,8).

Gjennomsnittlig vekstfart i intervallet [-1,2]:

a=(y2y1x2x1=852(1)=33=1

Gjennomsnittlig vekstfart i intervallet [-1,2] er 1.

b)

f(1)=4 fordi den momentane vekstfarten i punktet (1,f(1)) tilsvarer vekstfarten til tangenten. Jeg ser at tangenten går fra punktet (-1,5) til (0,9). Det vil si at vekstfarten til tangenten er 4.

f(1)=0 fordi jeg ser at x=1 er toppunktet til funksjonen. Den momentane vekstfarten i toppunktet er alltid 0.

c)

Oppgave 8

f(x)=x2+2x+8

Setter f(x)=0 for å finne nullpunktene (Punkt A og B). Bruker abc-formelen for å løse likningen.

x2+2x+8=0x=2±224(1)82(1)x=2±362x1=2+62x2=262x1=2x2=4

Lengden AB=4(2)=6

Arealet av trekant ABC: A=6f(t)2

Ønsker en trekant med areal lik 24. Setter A=24 og finner f(t):

6f(t)2=24f(t)=2426=8

Ønsker å finne en t-verdi som gir f(t)=8.

t2+2t+8=8t2+2t=0t(t2)=0t=0t=2

For at arealet til trekanten ABC skal bli lik 24, må vi ha t=0 eller t=2. Punkt C blir enten (0,8) eller (2,8).

DEL 2

Oppgave 1

Den ordinære prisen for en voksenbillett er 90 kroner, og den ordinære prisen for en barnebillett er 45 kroner.

Oppgave 2

a)

Bruker binomisk sannsynlighetsfordeling, fordi hendelsene er uavhengige, har to utfall, og har fast sannsynlighet.

Sannsynligheten for at halvparten av plantene til Astrid får gule blomster, altså at 5 av de 10 plantene har gule blomster, er ca. 20%.

b)

Sannsynligheten for at flere enn fem av plantene til Astrid får gule blomster er ca. 16,6%.

c)

Dette blir et uordnet utvalg uten tilbakelegging. Jeg finner antall kombinasjoner av de fire plantene med gul blomst, på de 10 plassene.

Stian kan plassere plantene med de gule blomstene på 210 ulike måter.

Oppgave 3

a)