DEL 1

Oppgave 1

$f (x) = e^{x} + l n x$

$f^{'} (x) = e^{x} + \frac{1}{x}$

$lim_{x \to 2} \frac{x^{3} - 8}{x^{2} - 4} = \frac{2^{3} - 8}{2^{2} - 4} = \frac{0}{0}$

Bruker l'Hôpitals regel og deriverer teller og nevner hver for seg.

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2}}{2 x} = \frac{3 \cdot 2^{2}}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3$

Vi har $A = (1, 3), B = (4, 0)$ og $C = (9, 4)$

$\vec{B A} = [1 - 4, 3 - 0] = [- 3, 3]$

$\vec{B C} = [9 - 4, 4 - 0] = [5, 4]$

Vi har $\vec{B A} \cdot \vec{B C} = | \vec{B A} | \cdot | \vec{B C} | \cdot c o s α$ , hvor $α$ er vinkelen mellom vektorene.

Regner ut skalarproduktet av vektorene:

$\vec{B A} \cdot \vec{B C} = - 3 \cdot 5 + 3 \cdot 4 = - 15 + 12 = - 3$

Siden skalarproduktet av de to vektorene er negativt, er $c o s α$ negativ, og vinkelen mellom vektorene er større enn 90 grader.

Vi ønsker å finne et punkt P på linjen som går gjennom punktene B og C, slik at $\vec{A B} \cdot \vec{A P} = 0$

$\vec{A B} = [4 - 1, 0 - 3] = [3, - 3]$

Linjen som går gjennom $B = (4, 0)$ og $C = (9, 4)$ kan uttrykkes ved:

$l : {\begin{cases} x = 4 + 5 t \\ y = 4 t \end{cases}$

$\vec{A P} = [4 + 5 t - 1, 4 t - 3] = [5 t + 3, 4 t - 3]$