Komplekse tall

Fra Matematikk.net
Hopp til: navigasjon, søk

Z=a+ib

  • a kalles for realdelen og skrives ofte a = Re(Z)
  • b kalles for imaginærdelen og skrives ofte b = Im(Z)

Mengden av alle komplekse tall kalles for C. De reelle tallene er inkludert i C.


Z=a+ib er formen komplekse tall skrives på. a og b er reelle tall mens i er den imaginære enheten. i2 er størrelsen som tilfredsstiller i2=1.

i2=1 1=i.

Det betyr at andregradslikninger alltid har en løsning innenfor tallmengden C.


For å visualisere de komplekse tallene kan vi bruke XY planet. Vi setter a =X og b = Y. Det komplekse planet C ser da slik ut:


REGNEREGLER FOR KOMPLEKSE TALL

Addisjon

Summering av to komplekse tall gjøres ved å summere realdelen for seg og imaginærdelen for seg. Dersom vi skal summere Z1=1+2iogZ2=2+2i blir resultatet Z3=3+4i

Generelt kan summen av det komplekse tallene Z=a+ib og W=c+id uttrykkes som Z+W=(a+c)+i(b+d)


Vi kan oppfatte de komplekse tallene som vektorer i det komplekse plan. Regneoperasjonen over kan da fremstilles slik;


Eksempel

Z1=1+2iogZ2=2+2i

Z3=Z1+Z2=(1+2i)+(2+2i)=(1+2)+(2+2)i=3+4i

Subtraksjon

Generelt kan differansen av det komplekse tallene Z=a+ib og W=c+id uttrykkes som ZW=(ac)+i(bd)



Den imaginære enheten i som potens av forskjellig grad

Den imaginære enheten i er definert som: i=1 . Den har spesielle egenskaper når den opphøyes i ulike potenser, og det finnes et periodisk mønster:

Grunnleggende egenskaper
  • i1=i
  • i2=1
  • i3=i2i=(1)i=i
  • i4=i3i=(i)i=i2=(1)=1


Periodisitet

Vi ser at etter fire potenser gjentar mønsteret seg: i5=i1=i,i6=i2=1,i7=i3=i,i8=i4=1

Dermed kan vi generelt si at:


Generelt:

in={i,hvis n1(mod4)1,hvis n2(mod4)i,hvis n3(mod4)1,hvis n0(mod4)


Eksempl:

  • i10: Siden 102(mod4), har vi i10=1.
  • i15: Siden 153(mod4), har vi i15=i.
  • i20: Siden 200(mod4), har vi i20=1.

Dette mønsteret kan brukes til raskt å finne verdien av in for enhver eksponent n.



Multiplikasjon.


Multiplikasjon utføres på vanlig måte: (a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=(acbd)+(ad+bc)i

Fordi

bdi2=bd(1)=bd


Eksempel: Regn ut (2+3i)(4i)

Løsning: (2+3i)(4i)=24+2(i)+3i4+3i(i) =82i+12i3i2 =8+10i(3) =11+10i


Komplekskonjugert

Den komplekskonjugerte til et komplekst tall er et annet komplekst tall som har samme reelle del, men den imaginære delen med motsatt fortegn.

Gitt et komplekst tall:

z = a + bi

hvor a og b er reelle tall og i er den imaginære enheten (i² = -1), så er den komplekskonjugerte:

z̅ = a - bi

Notasjon

Den komplekskonjugerte skrives ofte som:

  • ȳ (med en strek over symbolet)
  • conj(z)
  • z*

Eksempler

  1. z = 3 + 4i → z̅ = 3 - 4i
  2. z = -2 - 7i → z̅ = -2 + 7i
  3. z = 5 → z̅ = 5 (reelle tall er uendrede ved konjugering)
  4. z = 0 + 6i → z̅ = 0 - 6i = -6i

Bruksområder

  • Divisjon med komplekse tall: Når man skal dividere komplekse tall, brukes den komplekskonjugerte for å "rense" nevneren.
Eksempel: (1 + i)/(2 - 3i) → multipliser teller og nevner med den komplekskonjugerte av nevneren: (2 + 3i).
  • Absoluttverdi/modul av et komplekst tall: |z|² = z * z̅
  • Løsning av ligninger i kompleks analyse og elektriske kretser.
  • Signalbehandling og Fourier-transformasjon: brukes til å analysere frekvenskomponenter og kompleksverdier i signaler.

Lengden av linjestykket OZn kan vi finne ved å bruke Pytagoras. Lengden er gitt ved |Zn|=a2+b2. |Zn| kalles absoluttverdien eller modulen av det komplekse tallet Zn

Subtraksjon utføres ved å subtrahere realdelen for seg og imaginærdelen for seg, altså analogt til addisjon. Generelt har vi

Z - W = (a - c) + i(b - d)

Vi kan oppgi det komplekse tallet som et produkt av lengden OZn og vinkelen mellom X aksen og linjestykket OZn.

Fra figuren over ser vi at Z kan utrykkes som lengden av OZ og θ. Dersom vi kaller absoluttverdien av Z for r får vi :

Z = r(cos θ + isin θ). θ kalles argumentet til Z og skrives arg Z. Argumentet til Z er entydig bestemt i [0,2π >

punktet Z=abi kalles det konjugerte komplekse tallet til Z.

en viktig egenskap er:

ZZ=a2+b2=|Z|2



Divisjon.

Vi multipliserer teller og nevner med det konjugerte komplekse tallet til nevneren. Da får vi et reelt tall i nevneren:

a+bic+di=(a+bi)(cdi)(c+di)(cdi)=acadi+bcibdi2c2cdi+cdid2i2=ac+bd(adbc)ic2+d2


Konjugering og modulus

Komplekse konjugatet av z=a+bi er: z=abi

Modulus av z er: |z|=a2+b2

Eksempel: |3+4i|=32+42=5

Divisjon

For å dele z1 med z2, multipliserer vi med konjugatet av nevneren: <math>

�rac{z_1}{z_2} = �rac{(a + bi)}{(c + di)} 	imes �rac{(c - di)}{(c - di)}

</math> Eksempel: <math>

�rac{3 + 2i}{1 - i} = �rac{(3+2i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = �rac{1 + 5i}{2} = �rac{1}{2} + �rac{5}{2}i

</math>

.

Polarform

Ethvert komplekst tall kan skrives som: <math>

z = r(\cos 	heta + i \sin 	heta)

</math> Der: <math>

r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}, \quad 	heta = 	an^{-1} \left( �rac{b}{a} \right)

</math>

Eksempel: <math>

z = 1 + i \Rightarrow r = \sqrt{2}, \quad 	heta = �rac{\pi}{4}

</math>

Eulers formel og eksponentiell representasjon

Eulers formel: eiheta=cosheta+isinheta

Polarformen kan derfor skrives som: z=reiheta

De Moivres teorem og røtter

De Moivres teorem:


      1. **De Moivres teorem**

De Moivres teorem er et viktig resultat i kompleks analyse som sier at for enhver kompleks tall z skrevet på polar form og for et heltall n, gjelder følgende:

(cosθ+isinθ)n=cos(nθ)+isin(nθ)

Alternativt kan dette skrives med eksponentiell notasjon ved hjelp av Eulers formel eiθ=cosθ+isinθ:

(eiθ)n=einθ

Dette betyr at for et komplekst tall på polar form, z=reiθ, har vi:

zn=rneinθ=rn(cos(nθ)+isin(nθ))

      1. **Bruksområder**

1. **Beregning av potenser av komplekse tall**

  - Hvis du har et komplekst tall \( z = r(\cos\theta + i\sin\theta) \), kan du raskt finne \( z^n \) ved å opphøye modulus til \( n \) og multiplisere argumentet med \( n \).  

2. **Røtter av komplekse tall**

  - De Moivres teorem hjelper med å finne de \( n \)-te røttene av komplekse tall. En kompleks \( n \)-te rot av \( r e^{i\theta} \) er gitt ved:
    \[
    w_k = r^{1/n} e^{i(\theta + 2\pi k)/n}, \quad k = 0, 1, 2, ..., n-1
    \]
    Dette viser at et komplekst tall har \( n \) distinkte \( n \)-te røtter, jevnt fordelt langs en sirkel i det komplekse planet.
      1. **Eksempel**

La oss si vi ønsker å beregne (1+i)4. Først skriver vi 1+i på polar form:

r=12+12=2,θ=tan1(1/1)=π4

Ved å bruke De Moivres teorem:

(1+i)4=(2)4(cos(4×π4)+isin(4×π4))

=4(cosπ+isinπ)=4(1+0i)=4

      1. **Oppsummering**

De Moivres teorem gir en elegant metode for å beregne potenser og røtter av komplekse tall, noe som er spesielt nyttig i ingeniørfag, fysikk og signalbehandling.


(cosheta+isinheta)n=cos(nheta)+isin(nheta)

Generell formel for n-te røtter:

zk=r1/nei(heta+2πk)/n,k=0,1,...,n1

Eksempel: Kvadratroten av i:

i=eiπ/4=±(rac22+irac22)

Oppgaver med komplekse tall

Eksempel 1: Regn ut (3+4i)+(52i)

Løsning: (3+4i)+(52i)=3+5+(4i2i)=8+2i


Eksempel Subtraksjon Regn ut (7+6i)(2+3i)

Løsning: (7+6i)(2+3i)=(72)+(6i3i)=5+3i

Oppgave 4: Divisjon

Regn ut 5+2i3i

Løsning: Multipliser teller og nevner med den konjugerte av nevneren: (5+2i)(3+i)(3i)(3+i) Beregning: 53+5i+2i3+2ii=15+5i+6i+2i2 =15+11i2 =13+11i Nevner: (3i)(3+i)=9i2=9+1=10 Endelig svar: 13+11i10=1.3+1.1i

Oppgave 5: Potenser

Regn ut (1+i)4

Løsning: Bruk binomialteoremet eller direkte utregning: (1+i)2=1+2i+i2=1+2i1=2i (2i)2=4i2=4

Oppgave 6: Kvadratrot

Regn ut 9

Løsning: 9=91=3i

Oppgave 7: Eulers form

Skriv 1+i på polarform.

Løsning: \[

r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}, \theta = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}

\] 1+i=2eiπ/4

Oppgave 8: Eksponentiell form

Regn ut eiπ/2

Løsning: Ved Eulers formel: \[

e^{i\pi/2} = \cos(\pi/2) + i\sin(\pi/2) = i

\]

Oppgave 9: Kubikkrot

Finn en kubikkrot av 8.

Løsning: Vi løser z3=8: 8=8ei0, kubikkrot gir 2ei0/3=2

Oppgave 10: De Moivres teorem

Regn ut (cosπ3+isinπ3)5

Løsning: Bruk De Moivres teorem: \[

(\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3})^5 = \cos \frac{5\pi}{3} + i \sin \frac{5\pi}{3}

\] \[

= \cos(-\frac{\pi}{3}) + i \sin(-\frac{\pi}{3})

\] \[

= \frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}

\]