Komplekse tall
- a kalles for realdelen og skrives ofte a = Re(Z)
- b kalles for imaginærdelen og skrives ofte b = Im(Z)
Mengden av alle komplekse tall kalles for
Det betyr at andregradslikninger alltid har en løsning innenfor tallmengden
For å visualisere de komplekse tallene kan vi bruke XY planet. Vi setter a =X og b = Y. Det komplekse planet C ser da slik ut:

REGNEREGLER FOR KOMPLEKSE TALL
Addisjon
Summering av to komplekse tall gjøres ved å summere realdelen for seg og imaginærdelen for seg. Dersom vi skal summere
Generelt kan summen av det komplekse tallene
Vi kan oppfatte de komplekse tallene som vektorer i det komplekse plan. Regneoperasjonen over kan da fremstilles slik;
Subtraksjon
Generelt kan differansen av det komplekse tallene
Den imaginære enheten i som potens av forskjellig grad
Den imaginære enheten i er definert som:
Grunnleggende egenskaper
Periodisitet
Vi ser at etter fire potenser gjentar mønsteret seg:
Dermed kan vi generelt si at:
Generelt:
Eksempl:
: Siden , har vi . : Siden , har vi . : Siden , har vi .
Dette mønsteret kan brukes til raskt å finne verdien av
Multiplikasjon.
Multiplikasjon utføres på vanlig måte:
Fordi
Eksempel:
Regn ut
Løsning:
Komplekskonjugert
Den komplekskonjugerte til et komplekst tall er et annet komplekst tall som har samme reelle del, men den imaginære delen med motsatt fortegn.
Gitt et komplekst tall:
- z = a + bi
hvor a og b er reelle tall og i er den imaginære enheten (i² = -1), så er den komplekskonjugerte:
- z̅ = a - bi
Notasjon
Den komplekskonjugerte skrives ofte som:
- ȳ (med en strek over symbolet)
- conj(z)
- z*
Eksempler
- z = 3 + 4i → z̅ = 3 - 4i
- z = -2 - 7i → z̅ = -2 + 7i
- z = 5 → z̅ = 5 (reelle tall er uendrede ved konjugering)
- z = 0 + 6i → z̅ = 0 - 6i = -6i
Bruksområder
- Divisjon med komplekse tall: Når man skal dividere komplekse tall, brukes den komplekskonjugerte for å "rense" nevneren.
- Eksempel: (1 + i)/(2 - 3i) → multipliser teller og nevner med den komplekskonjugerte av nevneren: (2 + 3i).
- Absoluttverdi/modul av et komplekst tall: |z|² = z * z̅
- Løsning av ligninger i kompleks analyse og elektriske kretser.
- Signalbehandling og Fourier-transformasjon: brukes til å analysere frekvenskomponenter og kompleksverdier i signaler.
Lengden av linjestykket
Subtraksjon utføres ved å subtrahere realdelen for seg og imaginærdelen for seg, altså analogt til addisjon. Generelt har vi
Z - W = (a - c) + i(b - d)
Vi kan oppgi det komplekse tallet som et produkt av lengden
Fra figuren over ser vi at Z kan utrykkes som lengden av OZ og θ. Dersom vi kaller absoluttverdien av Z for r får vi :
Z = r(cos θ + isin θ). θ kalles argumentet til Z og skrives arg Z. Argumentet til Z er entydig bestemt i [0,2π >
punktet
en viktig egenskap er:
Konjugering og modulus
Komplekse konjugatet av
Modulus av
Eksempel:
Divisjon
For å dele
�rac{z_1}{z_2} = �rac{(a + bi)}{(c + di)} imes �rac{(c - di)}{(c - di)}
</math> Eksempel: <math>
�rac{3 + 2i}{1 - i} = �rac{(3+2i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = �rac{1 + 5i}{2} = �rac{1}{2} + �rac{5}{2}i
</math>
.
Polarform
Ethvert komplekst tall kan skrives som: <math>
z = r(\cos heta + i \sin heta)
</math> Der: <math>
r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}, \quad heta = an^{-1} \left( �rac{b}{a} \right)
</math>
Eksempel: <math>
z = 1 + i \Rightarrow r = \sqrt{2}, \quad heta = �rac{\pi}{4}
</math>
Eulers formel og eksponentiell representasjon
Eulers formel:
Polarformen kan derfor skrives som:
De Moivres teorem og røtter
De Moivres teorem:
- **De Moivres teorem**
De Moivres teorem er et viktig resultat i kompleks analyse som sier at for enhver kompleks tall
Alternativt kan dette skrives med eksponentiell notasjon ved hjelp av Eulers formel
Dette betyr at for et komplekst tall på polar form,
- **Bruksområder**
1. **Beregning av potenser av komplekse tall**
- Hvis du har et komplekst tall \( z = r(\cos\theta + i\sin\theta) \), kan du raskt finne \( z^n \) ved å opphøye modulus til \( n \) og multiplisere argumentet med \( n \).
2. **Røtter av komplekse tall**
- De Moivres teorem hjelper med å finne de \( n \)-te røttene av komplekse tall. En kompleks \( n \)-te rot av \( r e^{i\theta} \) er gitt ved:
\[ w_k = r^{1/n} e^{i(\theta + 2\pi k)/n}, \quad k = 0, 1, 2, ..., n-1 \]
Dette viser at et komplekst tall har \( n \) distinkte \( n \)-te røtter, jevnt fordelt langs en sirkel i det komplekse planet.
- **Eksempel**
La oss si vi ønsker å beregne
Ved å bruke De Moivres teorem:
- **Oppsummering**
De Moivres teorem gir en elegant metode for å beregne potenser og røtter av komplekse tall, noe som er spesielt nyttig i ingeniørfag, fysikk og signalbehandling.
Generell formel for
Eksempel: Kvadratroten av
Oppgaver med komplekse tall
Eksempel 1:
Regn ut
Løsning:
Eksempel Subtraksjon
Regn ut
Løsning:
Oppgave 4: Divisjon
Regn ut
Løsning:
Multipliser teller og nevner med den konjugerte av nevneren:
Oppgave 5: Potenser
Regn ut
Løsning:
Bruk binomialteoremet eller direkte utregning:
Oppgave 6: Kvadratrot
Regn ut
Løsning:
Oppgave 7: Eulers form
Skriv
Løsning: \[
r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}, \theta = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}
\]
Oppgave 8: Eksponentiell form
Regn ut
Løsning: Ved Eulers formel: \[
e^{i\pi/2} = \cos(\pi/2) + i\sin(\pi/2) = i
\]
Oppgave 9: Kubikkrot
Finn en kubikkrot av
Løsning:
Vi løser
Oppgave 10: De Moivres teorem
Regn ut
Løsning: Bruk De Moivres teorem: \[
(\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3})^5 = \cos \frac{5\pi}{3} + i \sin \frac{5\pi}{3}
\] \[
= \cos(-\frac{\pi}{3}) + i \sin(-\frac{\pi}{3})
\] \[
= \frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}
\]