Trigonometriske likninger

Det finnes forskjellige typer trigonometriske ligninger og ofte er det forskjellige måter å løse de på. Nedenfor følger en oversikt over de vanligste typene og et forslag til hvordan de kan løses.

Det er viktig å ha enhetssirkelen i bakhodet og spesielt være klar over følgende:

$\sin (x+2\pi )=\sin x$

$\cos (x+2\pi )=\cos x$

$\tan (x+\pi )=\tan x$

1. Trigonometriske grunnlikninger

Trigonometriske ligninger som kun involverer én trigonometrisk funksjon, kaller vi trigonometriske grunnlikninger. Disse er de enkleste trigonometriske ligningene å løse, og krever kun kunnskap om de trigonometriske funksjonenes inverser.

Løsningsmetode for trigonometriske grunnlikninger

Vi tar for oss ligningen

$a\sin (bx)=c$ Vi vil løse denne ligninger for $x$. Det første vi gjør er å isolere $\sin (bx)$ på venstresiden:

$\sin (bx)=\frac{c}{a}$

Siden høyresiden er lik venstresiden, vil $\arcsin$ av høyresiden være lik $\arcsin$ av venstresiden. Altså:

$\arcsin (\sin (bx))=\arcsin (\frac{c}{a})$ Dette gir oss to uttrykk for $x$:

$bx=\arcsin (\frac{c}{a})\vee \pi -bx=\arcsin (\frac{c}{a})$

Sinus er periodisk i $2\pi$ så vi må legge til en vilkårlig multippel av $2\pi$ på hver side.

$bx+k\cdot 2\pi =\arcsin (\frac{c}{a})\vee \pi -bx+k\cdot 2\pi =\arcsin (\frac{c}{a}),k\in \mathbb{Z}$

Når vi isolerer $x$ på venstresiden får vi

$x=\frac{\arcsin (\frac{c}{a})-k\cdot 2\pi }{b}\vee x=\frac{\arcsin (\frac{c}{a})-\pi (2k+1)}{b},k\in \mathbb{Z}$

Den samme fremgangsmåten kan benyttes på trigonometriske grunnlikninger med $\cos$ og $\tan$ også, men husk at disse har litt forskjellige egenskaper, så løsningene blir ikke de samme.

EKSEMPEL 1.

COS

$$\begin{gathered} 2cos(\pi x)=1x\in [0,2\pi > \\ cos(\pi x)=\frac{1}{2} \\ \pi x=\frac{\pi }{3}+k2\pi \vee \pi x=2\pi -\frac{\pi }{3}+k2\pi \\ x=\frac{1}{3}+2k\vee x=2-\frac{1}{3}+2k \\ x=\frac{1}{3}\vee x=\frac{7}{3}\vee x=\frac{13}{3}\vee x=\frac{5}{3}\vee x=\frac{11}{3}\vee x=\frac{17}{3} \end{gathered}$$

$x\in${$\frac{1}{3},\frac{5}{3},\frac{7}{3},\frac{11}{3},\frac{13}{3},\frac{17}{3}$}

Slik ser det ut:

SIN

$$\begin{gathered} sin(\frac{\pi }{4}x)=\frac{1}{2}x\in [0,2\pi > \\ \frac{\pi }{4}x=\frac{\pi }{6}+2k\pi \vee \frac{\pi }{4}x=\pi -\frac{\pi }{6}+2k\pi \\ x=\frac{2}{3}+8k\vee x=4-\frac{2}{3}+8k \\ x=\frac{2}{3}\vee x=\frac{10}{3} \end{gathered}$$

$x\in${$\frac{2}{3},\frac{10}{3}$}

Slik ser det ut:

TAN

$$\begin{gathered} 0,3tan(4x)=2x\in [0,\frac{\pi }{2}> \\ tan(4x)=6,667 \\ 4x=1,42+k\pi \\ x=0,36\vee x=1,14 \end{gathered}$$

$x\in${ 0,36 , 1,14}

Slik ser det ut:

2)

$aco{s}^{2}x+bcosx+c=0$ eller $asi{n}^{2}x+bsinx+c=0$

Løses ved å erstatt cos x , eventuelt sin x, med u. Løser andregradsligningen og setter løsningen(e) lik cos x (eller sin x) og finner mulige x verdier.

Eksempel 2.

${\sin }^{2}x+\sin x-1=0,x\in [0,2\pi >$

Setter sin x = u og bruker andregradsformelen, og får:

$\sin x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

$\sin x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$

Merk at $\frac{\sqrt{5}+1}{2}>1$, altså har ikke denne grunnlikningen noen løsninger.

Vi står igjen med kun den første trigonometriske grunnlikningen. Når vi løser denne, får vi

$x=0,67\vee x=2,48$

Slik ser det ut:

$x\in${0,67 , 2,48}

3)

$asinx+bcosx=0$

Begge sider divideres med cos x (forskjellig fra null). Vi får da en identitet i tan x.

Eksempel 3.

$$\begin{gathered} 4sinx-2cosx=0x\in [0,2\pi > \\ 4tanx-2=0 \\ tanx=\frac{1}{2} \\ x=ta{n}^{-1}(\frac{1}{2})=0,46+k\pi \\ x=0,46\vee x=3,61 \end{gathered}$$

$x\in$ {0,46 , 3,61}

Slik ser det ut:

4)

$aco{s}^{2}x+bsinx+c=0$ eller $asi{n}^{2}x+bcosx+c=0$

Ligningen løses ved å erstatte $si{n}^{2}x$ med $1-co{s}^{2}x$ eller $co{s}^{2}x$ med $1-si{n}^{2}x$

Eksempel 4.

$\sin x+2co{s}^{2}x=1,x\in [0,2\pi >$

Vi kjenner identiteten ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$.

Den kan vi bruke her for å omforme ligningen til

$\sin x+2-2{\sin }^{2}x=1$

$2{\sin }^{2}x-\sin x-1=0$

Dette er en andregradslikning i $\sin x$, som vi kan løse:

$\sin x=\frac{1\pm \sqrt{1+8}}{4}=\frac{1\pm 3}{4}$

$\sin x=\frac{1+3}{4}=1\vee \sin x=\frac{1-3}{4}=-\frac{1}{2}$

$\sin x=1\Rightarrow x=\frac{\pi }{2}$

$\sin x=-\frac{1}{2}\Rightarrow x=\frac{7\pi }{6}\vee x=\frac{11\pi }{6}$

$x=\frac{\pi }{2}\vee x=\frac{7\pi }{6}\vee x=\frac{11\pi }{6}$

$x\in${$\frac{\pi }{2},\frac{7\pi }{6},\frac{11\pi }{6}$}

Slik ser det ut:

4)

$asi{n}^{2}x+bsinxcosx+cco{s}^{2}x=0$

Løses ved å dividere begge sider av likhetstegnet med $co{s}^{2}xcosx\ne 0$

Eksempel 4.

$$\begin{gathered} 2si{n}^{2}x+3sinxcosx-co{s}^{2}x=0x\in [0,2\pi > \\ 2ta{n}^{2}x+3tanx-1=0 \\ 2u^2+3u-1=0 \end{gathered}$$

Løses så som likning 4.

$$\begin{gathered} tanx=-1,06\vee tanx=0,27 \\ x=-1,06+k\pi \vee x=0,27+k\pi \\ x=0,27\vee x=3,45\vee x=2,08\vee x=5,22 \end{gathered}$$

$x\in$ {0,27 , 2,08 , 3,45 , 5,22}

Slik ser det ut:

5)

$asi{n}^{2}x+bsinxcosx+cco{s}^{2}x=d$

Her må konstantleddet skrives om : $d=d\cdot 1=d(si{n}^{2}x+co{s}^{2}x)$ . Ligningen løses nå som beskrevet i punktet over.

Eksempel 5.

$$\begin{gathered} 4si{n}^{2}x+sinxcosx-3co{s}^{2}x=3x\in [0,2\pi > \\ 4si{n}^{2}x+sinxcosx-3co{s}^{2}x=3si{n}^{2}x+3co{s}^{2}x \\ si{n}^{2}x+sinxcosx-6co{s}^2=0 \\ ta{n}^{2}x+tanx-6=0 \\ tanx=-3\vee tanx=2 \\ x=-1,24+k\pi \vee x=1,11+k\pi \\ x=1,11\vee x=4,25\vee x=1,90\vee x=5,04 \end{gathered}$$

$x\in${1,11 , 1,90 , 4,25 , 5,04}

Slik ser det ut:

6)

Likninger av typen

$a\sin cx+bcoscx=d$

Løses ved å skrive om til:

$Asin(cx+\phi )=d$ der $A=\sqrt{a^2+b^2}$ og $\phi$ er gitt ved$\phi =\frac{b}{a}$ og $\phi$ligger i samme kvadrant som (a,b).

Eksempel 6.

Eksempel:

$sinx+cosx=1x\in [0,2\pi >$

$$\begin{gathered} A=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{2} \\ a=b=1 \end{gathered}$$

Vinkelen $\phi$ ligger i første kvadrant, $\phi =ta{n}^{-1}(1)=\frac{\pi }{4}$

Vi får

$$\begin{gathered} \sqrt{2}sin(x+\frac{\pi }{4})=1 \\ sin(x+\frac{\pi }{4})=\frac{\sqrt{2}}{2} \\ x+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4}+2k\pi \vee x+\frac{\pi }{4}=\pi -\frac{\pi }{4}+2k\pi \\ x=0\vee x=\frac{\pi }{2} \end{gathered}$$

$x\in$ {0, $\frac{\pi }{2}$}

Det ser slik ut:

7)

$a^2\pm ab=0\Rightarrow a(a\pm b)=0$

a og b er sinx og cosx, eler cosx og sinx.

Eksempel 7.

Når vi skal løse trigonometriske ligninger må vi ofte dele den opp i flere trigonometriske grunnlikninger før vi kan løse den. Et klassisk eksempel er faktoriseringsmetoden. Vi tar for oss ligningen

$\sin x\cos x-cosx=0,x\in [0,2\pi >$

Selv om det kan være fristende, må du, uansett hva du gjør, ikke dele på $\cos x$. Generelt prøver man å ikke dele eller multiplisere med funksjoner av variabler, fordi du kan miste løsninger, eller lage falske løsninger. Dette gjelder generelt når du deler på null eller multipliserer med null. I stedet faktoriserer vi ligningen:

$\cos x(\sin x-1)=0$

Nå ser vi at for at ligningen skal oppfylles, må $\cos x=0$ eller $\sin x-1=0$. Vi har klart å redusere den kompositte trigonometriske ligningen til to trigonometriske grunnligninger.

$\sin x=1\Rightarrow x=\frac{\pi }{2}$

$\cos x=0\Rightarrow x=\frac{\pi }{2}\vee x=\frac{3\pi }{2}$

$x\in${$\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}$}

NB: Dersom du på forhånd har sjekket at det du deler eller multipliserer med ikke er lik null, er det greit å gjennomføre operasjonen. Dette kan gjøres ved å plugge inn null for den aktuelle faktoren og se om likningen oppfylles.

---