R1 2025 Vår LØSNING

Oppgaven som pdf

Diskusjon av oppgaven på Matteprat

Del 1

Oppgave 1

Vi skal derivere funksjonen:

$f (x) = e^{- 2 x} + \frac{1}{5} x^{5} - 2 π$

Deriver ledd for ledd:

$e^{- 2 x} \to - 2 e^{- 2 x}$
$\frac{1}{5} x^{5} \to x^{4}$
$- 2 π \to 0$ , siden $π$ er konstant.

Svar: $f^{'} (x) = - 2 e^{- 2 x} + x^{4}$

Oppgave 2

Funksjonen er gitt som:

$g (x) = \frac{1}{2} e^{x} (2 x - 1)^{2}$

a) Nullpunkter

Vi setter $g (x) = 0$ :

$\frac{1}{2} e^{x} (2 x - 1)^{2} = 0$

Siden $e^{x} \neq 0$ , må:

$(2 x - 1)^{2} = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$

Svar: Nullpunkt: $x = \frac{1}{2}$

b)

$g^{'} (x) = \frac{1}{2} e^{x} (2 x - 1) (2 x + 3)$

Løsningsskisse (produktregel):

La:

$u (x) = \frac{1}{2} e^{x}$

$v (x) = (2 x - 1)^{2}$

Da:

$g^{'} (x) = u^{'} (x) v (x) + u (x) v^{'} (x)$ $= \frac{1}{2} e^{x} (2 x - 1)^{2} + \frac{1}{2} e^{x} \cdot 2 (2 x - 1) \cdot 2$

$= \frac{1}{2} e^{x} ((2 x - 1)^{2} + 4 (2 x - 1))$

Utvid og faktoriser uttrykket:

$(2 x - 1)^{2} + 4 (2 x - 1) = (2 x - 1) (2 x - 1 + 4) = (2 x - 1) (2 x + 3)$

Bekreftet.

c) Topp- og bunnpunkter

Finn stasjonære punkter ved å løse $g^{'} (x) = 0$ :

$\frac{1}{2} e^{x} (2 x - 1) (2 x + 3) = 0$

Løsning: $x = \frac{1}{2}$ og $x = - \frac{3}{2}$

Finn $g (x)$ -verdiene:

$g (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} e^{1 / 2} \cdot 0 = 0$

$g (- \frac{3}{2}) = \frac{1}{2} e^{- 3 / 2} \cdot (- 4)^{2} = \frac{1}{2} e^{- 3 / 2} \cdot 16 = 8 e^{- 3 / 2}$

Svar:

Bunnpunkt: $(\frac{1}{2}, 0)$

Toppunkt: $(- \frac{3}{2}, 8 e^{- 3 / 2})$

Oppgave 3

a)

$3^{3 x + 2} - 5 = 76$ $3^{3 x + 2} = 81 = 3^{4}$ $3 x + 2 = 4$ $x = \frac{2}{3}$

b)

$3 \lg x + 2 \lg x^{2} + \lg (\frac{1}{x^{9}}) = 2$

Bruk logaritmeregler:

- $\lg x^{2} = 2 \lg x$

- $\lg (\frac{1}{x^{9}}) = \lg (1) - \lg (x^{9}) = - 9 \lg x$

Da får vi:

$3 \lg x + 4 \lg x - 9 \lg x = 2$ $- 2 \lg x = 2$ $\lg x = - 1$ $x = 10^{- 1} = \underset{―}{\underset{―}{0, 1 = \frac{1}{10}}}$

Oppgave 4

a)

Direkte innsetting gir:

$\frac{3 (9 - 3)}{0} = \frac{18}{0}$

Ikke av typen $\frac{0}{0}$ – som betyr at grenseverdien kan gå mot $+ \infty$ , $- \infty$ eller være udefinert.

Når $x \to 3^{-}$ :

Telleren nærmer seg $18$ og nevneren er negativ og nærmer seg $0$

$\Rightarrow$ Brøken går mot $- \infty$

Når $x \to 3^{+}$ :

Telleren nærmer seg $18$ og nevneren er positiv og nærmer seg $0$

$\Rightarrow$ Brøken går mot $+ \infty$

Grenseverdien eksistere ikke.

b)

$lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}$

Bruk konjugatsetning med $x - 4$ : $lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x} - 2) (\sqrt{x} + 2)}$ $lim_{x \to 4} = \frac{1}{\sqrt{x} + 2}$ $= \frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \underset{―}{\underset{―}{\frac{1}{4}}}$

Oppgave 5

Funksjon gitt som:

$f (x) = {\begin{cases} x^{2} + 2, & x < 0 \\ 2 e^{x}, & x \geq 0 \end{cases}$

a) Kontinuitet

Sjekk om grenser fra venstre og høyre i $x = 0$ gir samme verdi:

Venstre: $lim_{x \to 0^{-}} f (x) = 0^{2} + 2 = 2$
Høyre: $lim_{x \to 0^{+}} f (x) = 2 e^{0} = 2$

Funksjonen er kontinuerlig i $x = 0$ .

b) Deriverbarhet

Venstrederivert:

$lim_{x \to 0^{-}} f^{'} (x) = lim_{x \to 0^{-}} 2 x = 0$

Høyrederivert:

$lim_{x \to 0^{+}} f^{'} (x) = lim_{x \to 0^{+}} 2 e^{x} = 2 \cdot e^{0} = 2$

Ulike verdier Ikke deriverbar i $x = 0$

Oppgave 6

a) Avstand mellom Nils og Ahmad

$\vec{N A} = [1 - (- 1), 1 - 2] = [2, - 1]$ $| \vec{N A} | = \sqrt{2^{2} + (- 1)^{2}}$

b) Punktet $(- 1, a)$ ligger på linjen fra Jelena som er parallell med $\vec{N A}$

La $P = (- 1, a)$

$\vec{N A} = (2, - 1)$
$\vec{J P} = (- 1, a)$

Siden $\vec{J P} ∥ \vec{N A}$ kan vi skrive $t \cdot \vec{N A} = \vec{J P}$

$t [2, 1] = [- 1, a]$ $2 t = - 1 \lor - t = a$ $t = - \frac{1}{2} \Rightarrow \underset{―}{\underset{―}{a = \frac{1}{2}}}$

c) Finn punkt $M$

Finn punkt $M$ slik at:

$| J M | = \sqrt{10}$
$∠ M A J = 90^{\circ}$

Siden $∠ M A J = 90^{\circ}$ er $\vec{A M} \cdot \vec{J A} = 0$

La $M = (x, y)$ .

$\vec{J M} = [x, y] | \vec{J M} | = \sqrt{10} \Rightarrow x^{2} + y^{2} = 10$

$\vec{A M} = (x - 1, y - 1)$
$\vec{J A} = (1, 1)$

$\vec{A M} \cdot \vec{J A} = x - 1 + y - 1 = 0$ $x + y = 2 \Rightarrow y = 2 - x$

Sett $y = 2 - x$ inn $x^{2} + y^{2} = 10$ :

$x^{2} + (2 - x)^{2} = 10 \Rightarrow x^{2} + 4 - 4 x + x^{2} = 10 \Rightarrow 2 x^{2} - 4 x - 6 = 0$

Løs:

$x = 3 \Rightarrow y = - 1 x = - 1 \Rightarrow y = 3$

Svar: Mulige punkter: $M = (- 1, 3)$ og $M = (3, - 1)$