R2 2025 vår LØSNING
Diskusjon av oppgaven på matteprat
Løsningsforslag laget av Lektor Seland
Løsningsforslag som video laget av UDL.no
DEL 1
Oppgave 1
a)
$\int_{0}^{1} (2e^x+2x^2)dx$
$=[2e^x+\frac{2}{3}x^3]_{0}^{1}$
$=2e+\frac{2}{3}-2$
$=2e-\frac{4}{3}$
b)
$\int\frac{2x-1}{x^2-x-6}dx$
Bruker delbrøkoppspalting:
$\frac{2x-1}{x^2-x-6}=\frac{A}{x-3}+\frac{B}{x+2}$
$2x-1=A(x+2)+B(x-3)$
$2x-1=Ax+2A+Bx-3B$
$-1=(A+B-2)x+2A-3B$
Vi får to likninger:
$A+B-2=0 \quad \wedge \quad 2A-3B=-1$
$A=-B+2 \quad \wedge \quad 2(-B+2)-3B=-1$
$A=-B+2 \quad \wedge \quad -5B=-5$
$A=1 \quad \wedge \quad B=1$
Setter verdiene for A og B inn i det opprinnelige integralet:
$\int\frac{2x-1}{x^2-x-6}dx=\int\frac{A}{x-3}+\frac{B}{x+2}dx$
$=\int\frac{1}{x-3}dx+\int\frac{1}{x+2}dx$
$=ln(x-3)+ln(x+2)+C$
Oppgave 2
Vi har at
- $f'(x)=-\frac{2}{x^3}$
- $\int_{1}^{2}f(x)dx=\frac{11}{14}$
Integrerer f'(x) for å få et uttrykk for f(x):
$f(x)=\int -\frac{2}{x^3} dx = -2\int x^{-3}dx=\frac{-2}{-2}x^{-2} +C=\frac{1}{x^2}+C$
Bruker det bestemte integralet som likning for å finne C:
$\int_{1}^{2}(\frac{1}{x^2}+C )\, dx=\frac{11}{14}$
$[-\frac{1}{x}+Cx]_{1}^{2}=\frac{11}{14}$
$-\frac{1}{2}+2C-(-1+C)=\frac{11}{14}$
$C+\frac{1}{2}=\frac{11}{14}$
$C=\frac{11}{14}-\frac{7}{14}$
$C=\frac{4}{14}=\frac{2}{7}$
Vi har:
$f(x)=\frac{1}{x^2}+\frac{2}{7}$
Oppgave 3
a)
| k | 1 | 2 | 3 | 6 |
|---|---|---|---|---|
| $P(X=k)$ | $\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{2}$ |
$E(x)=\frac{1+2+3+6+6+6}{6}=\frac{24}{6}=4$
b)
$Var(x)=\frac{(1-4)^2+(2-4)^2+(3-4)^2+3\cdot(6-4)^2}{6}$
$=\frac{9+4+1+12}{6}=\frac{26}{6}=\frac{13}{3}$
Oppgave 4
a)
Rekken starter med tallet 2. For å finne neste tall, tar man forrige tall pluss forrige tall sitt figurnummer pluss 2.
Når koden kjøres, skrives de 5 første tallene i rekken ut, nemlig 2, 5, 9, 14, 20.
b)
Eleven ønsker å finne summen av de 5 første tallene i rekken. Resultatet som skrives ut blir 50.
Oppgave 5
a)
Grensekostnaden til 180 enheter er 138 kroner. Dette er stigningstallet til tangenten til K når x=180, og forteller derfor om hvor mye kostnaden stiger per enhet i det punktet (momentan vekstfart).
Enhetskostnaden er kostnaden per enhet. Når det blir produsert 180 enheter, koster det 14920 kroner. Det betyr at kostnaden per enhet er $\frac{14920}{180}=82,89$ kr per enhet. Jeg vet hva svaret blir, fordi det er stigningstallet til den rette linjen som går gjennom origo og punktet (180, 14920).