S2 2013 vår LØSNING

DEL EN

Oppgave 1

a)

Benytter produktregelen:

$f^{'} (x) = x^{'} \cdot e^{2 x} + x \cdot (e^{2 x})^{'} = 1 \cdot e^{2 x} + x \cdot 2 e^{2 x} = e^{2 x} (1 + 2 x) .$

b)

Her bruker vi brøkregelen:

$\begin{array}{rcl} g^{'} (x) & = & \frac{(x - 1)^{'} (x^{2} - 3) - (x - 1) (x^{2} - 3)^{'}}{(x^{2} - 3)^{2}} = \frac{1 \cdot (x^{2} - 3) - (x - 1) \cdot 2 x}{(x^{2} - 3)^{2}} \\ = & \frac{x^{2} - 3 - 2 x^{2} + 2 x}{(x^{2} - 3)^{2}} = \frac{- x^{2} + 2 x - 3}{(x^{2} - 3)^{2}} = - \frac{x^{2} - 2 x + 3}{(x^{2} - 3)^{2}} \end{array} .$

Oppgave 2

I denne oppgaven får vi bruk for at divisjonen $p (x) : (x - a)$ går opp dersom $p (a) = 0$ .

a)

Hvis divisjonen skal gå opp så må vi få 0 når vi setter 3 inn i polynomet, det vil si at

$3^{2} - 2 \cdot 3 + a = 0 \Leftrightarrow 3 + a = 0 \Leftrightarrow a = - 3.$

b)

Her må $x - b$ være en faktor i polynomet. Faktoriserer vi $x^{2} - 3 x - 4$ , f.eks. med ABC-formelen, får vi at

$x^{2} - 3 x - 4 = (x + 1) (x - 4) .$

Da må $x - b = x + 1$ eller $x - b = x - 4$ , som gir at $b = - 1$ eller $b = 4$ . En annen måte å løse oppgaven på er å, igjen, si at når vi setter inn $b$ i polynomet $x^{2} - 3 x - 4$ , så får vi 0. Da får vi:

$b^{2} - 3 b - 4 = 0,$

og løser vi denne får vi de samme verdiene for $b$ .

Oppgave 3

Denne rekken har formen

$a_{1} + a_{2} + . . . = 11 \cdot (- 0.1)^{0} + 11 \cdot (- 0.1)^{2} + 11 \cdot (- 0.1)^{3} + . . .$

Kvotienten til rekken er $k = - 0.1$ . Siden kvotienten er mellom -1 og 1 (har absoluttverdi mindre enn 1), så konvergerer rekka. Summen av de $n$ første leddene er, ved å bruke sumformelen, gitt ved

$S_{n} = a_{1} \cdot \frac{k^{n} - 1}{k - 1} = 11 \cdot \frac{(- 0.1)^{n} - 1}{- 1.1} = 11 \cdot \frac{1 - (- 0.1)^{n}}{1.1} = 10 \cdot (1 - (- 0.1)^{n}) .$ (I det siste leddet ble 11 delt på 1.1, som blir 10.)

Lar vi antall ledd gå mot uendelig er summen gitt ved

$S = a_{1} \cdot \frac{1}{1 - k} = 11 \cdot \frac{1}{1.1} = 10.$

Oppgave 4

Her kan vi velge mellom innsettingsmetoden eller addisjonsmetoden. Viser innsettingsmetoden her, da det virker som den er mest utbredt.

Fra den første ligningen har vi at

$x = 13 + z - y .$

Setter vi dette inn i de to neste ligningene får vi

(1) $2 (13 + z - y) + y + z = 27 \Leftrightarrow 26 + 3 z - y = 27 \Leftrightarrow 3 z - y = 1.$

og

(2) $(13 + z - y) - 3 y - 2 z = - 9 \Leftrightarrow 13 - z - 4 y = - 9 \Leftrightarrow 4 y + z = 22.$

Disse to ligningene har da kun to ukjente, $x$ og $y$ , og da kan vi gjenta prosessen for å finne dem. I fra (1) får vi at $y = 3 z - 1$ . Setter vi det inn i (2) får vi

$4 (3 z - 1) + z = 22 \Leftrightarrow 13 z = 26 \Leftrightarrow z = 2.$

Da er $y = 3 z - 1 = 3 \cdot 2 - 1 = 5$ og $x = 13 + z - y = 13 + 2 - 5 = 10$ . Løsningene er altså $x = 10, y = 5, z = 2$ .

Oppgave 5

a)

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 12 x + 9$

Vi faktoriserer $f ‘^{'} (x)$ (ved å f.eks. benytte andregradsformelen til å finne nullpunkter) og får:

$f^{'} (x) = 3 (x - 1) (x - 3) .$

Da er $f^{'} (x) = 0$ når $x = 1$ eller $x = 3$ . Tegner vi et fortegnsskjema ser vi at begge faktorer er negative frem til $x = 1$ , så den deriverte er positiv og funksjonen dermed stigende for $x < 1$ . Mellom $x = 1$ og $x = 3$ er fortegnene motsatte, slik at den deriverte blir negativ, og funksjonen altså avtagende. Situasjonen snur igjen for $x > 3$ . Til sammen forteller dette oss at $x = 1$ er et topp-punkt og $x = 3$ er et bunnpunkt.

b)

$f^{''} (x) = 6 x - 12 = 6 (x - 2) .$

$f^{''} (x)$ er lik $0$ og skifter fortegn i $x = 2$ . Dermed må $x = 2$ være et vendepunkt.

c)

Ingen skisse for øyeblikket.

Oppgave 6

a)

Total sannsynlighet er 1, altså må summen av $P (X = x)$ for alle verdier av $x$ være lik 1. Det gir oss:

$2 p + p + 3 p + 0.3 + p = 1 \Leftrightarrow 7 p = 1 - 0.3 = 0.7 \Leftrightarrow p = 0.1 .$

b)

Forventningsverdien $E (X)$ finner vi ved

$\begin{array}{rcl} E (X) & = & x_{1} P (X = x_{1}) + x_{2} P (X = x_{2}) + . . . + x_{5} P (X = x_{5}) \\ = & 0 \cdot 0.2 + 1 \cdot 0.1 + 2 \cdot 0.3 + 3 \cdot 0.3 + 4 \cdot 0.1 = 2. \end{array}$

Forventningsverdien for X er altså $X = 2$ .

Variansen $V a r (X)$ finner vi ved

$\begin{array}{rcl} V a r (X) & = & (x_{1} - E (X))^{2} P (X = x_{1}) + (x_{2} - E (X))^{2} P (X = x_{2}) + . . . + (x_{5} - E (X))^{2} P (X = x_{5}) \\ = & (0 - 2)^{2} \cdot 0.2 + (1 - 2)^{2} \cdot 0.1 + (2 - 2)^{2} \cdot 0.3 + (3 - 2)^{2} \cdot 0.3 + (4 - 2)^{2} \cdot 0.1 \\ = & 0.8 + 0.1 + 0 + 0.3 + 0.4 = 1.6 \end{array}$ .

Oppgave 7

a)

Forventningsverdiene finner vi i topp-punktene til normalfordelingene. Det vil si at $X_{1}$ og $X_{2}$ svarer til (3) eller (4), siden disse har forventingsverdi 5, mens $X_{3}$ og $X_{4}$ svarer til (1) eller (2), siden disse har forventningsverdi 10.

Videre forteller standardavviket noe om hvor utspredt fordelingen er. Mindre standardavvik betyr mindre spredning. Dermed må $X_{1}$ ha grafen (4), $X_{2}$ ha grafen (3), $X_{3}$ ha grafen (2) og $X_{4}$ ha grafen (1).

b)

Sannsynligheten $P (7 < X < 14)$ er lik arealet under kurven mellom $x = 7$ og $x = 14$ . Det totale arealet er alltid 1. Vi må se på hver av (1), (2), (3) og (4) og se om det er mulig at $P (7 < X < 14) = 0.75$ for hver av dem.

(1): Fordelingen er tilnærmet 0 ved $x = 7$ og ved $x = 14$ . Det betyr at tilnærmet alt arealet er mellom de to. Da må $P (7 < X_{1} < 14) \approx 1 > 0.75$ .

(3): Vi ser at området fra $x = 7$ til $x = 14$ dekker under halvparten av arealet, så $P (7 < X_{3} < 14) < 0.5 < 0.75$ .

(4): Også her dekker området fra $x = 7$ til $x = 14$ under halvparten av arealet, så $P (7 < X_{4} < 14) < 0.5 < 0.75$ .

Da gjenstår kun (2) som det eneste alternativet, og vi ser at det kan stemme med grafen.

DEL TO

Oppgave 1

a)

Med $x = E (p)$ har vi at

$x = 6000 - 4 p$

Ved etterspørsel $E (p)$ er inntekten gitt ved $I (p) = p E (p) = p x$ . Fra uttrykket for $x$ ovenfor finner vi at

$p = \frac{6000 - x}{4} = 1500 - \frac{x}{4} .$

Da er

$I (x) = p x = (1500 - \frac{x}{4}) x = 1500 x - \frac{x^{2}}{4},$

og

$I^{'} (x) = 1500 - 0.5 x .$

b)

Overskuddet er $I (x) - K (x)$ , som er størst dersom den deriverte er 0 og skifter fortegn fra positivt til negativt. Vi har at

$(I (x) - K (x))^{'} = I^{'} (x) - K^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow I^{'} (x) = K^{'} (x),$

dvs. at overskuddet er størst når grenseinntekten (som vi allerede har funnet et uttrykk for) er lik grensekostnaden

$K^{'} (x) = 0.04 x + 20.$

Det gir oss

$\begin{array}{rcl} I^{'} (x) & = & K^{'} (x) \\ 1500 - 0.5 x & = & 0.04 x + 20 \\ 0.54 x & = & 1480 \\ x & = & 2740.7 \end{array}$

Det må altså selges $x = 2740$ enheter for å oppnå maksimalt overskudd. Ved å bruke sammenhengen mellom pris $p$ og antall enheter $x$ finner vi da at prisen per enhet er

$p = 1500 - \frac{x}{4} = 1500 - \frac{2740}{4} = 685$ .

c)

Bedriften går i balanse når overskuddet er lik 0, med andre ord når inntektene og kostnadene er like store. Setter vi opp dette får vi

$\begin{array}{rcl} I (x) & = & K (x) \\ 1500 x - 0.25 x^{2} & = & 0.02 x^{2} + 20 x + 550000 \\ 0.27 x^{2} - 1480 x + 550000 & = & 0 \end{array}$

Løser vi denne ligningen får vi at $x = 401$ eller $x = 5080$ . Større antall solgte enheter gir lavere pris, altså vil den minste prisen være

$p = 1500 - 0.25 x = 1500 - 0.25 \cdot 5080 = 230$ .

S2 2013 vår LØSNING

DEL EN

Oppgave 1

a)

b)

Oppgave 2

a)

b)

Oppgave 3

Oppgave 4

Oppgave 5

a)

b)

c)

Oppgave 6

a)

b)

Oppgave 7

a)

b)

DEL TO

Oppgave 1

a)

b)

c)

Innholdto top