S2 eksempeloppgave 2015 vår LØSNING

Oppgave 1

a)

$$\begin{gathered} f(x)=3x^3-2x+5 \\ {f}^{\prime }(x)=3\cdot 3x^2-2=9x^2-2 \end{gathered}$$

b)

$$\begin{gathered} g(x)=x{e}^{2x} \\ {g}^{\prime }(x)=1\cdot e^{2x}+x\cdot 2e^{2x}=(1+2x)e^{2x} \end{gathered}$$

Oppgave 2

Bestem $h^{\prime }(2)$ når $h(x)=\frac{e^x}{x-1}$

$$\begin{gathered} h^{\prime }(x)=\frac{e^x\cdot (x-1)-e^x\cdot 1}{(x-1{)}^2}=\frac{x{e}^x-e^x-e^x}{(x-1{)}^2}=\frac{x{e}^x-2e^x}{(x-1{)}^2}=\frac{(x-2)e^x}{(x-1{)}^2} \\ {h}^{\prime }(2)=\frac{(2-2)e^2}{(2-1{)}^2}=\frac{0\cdot e^2}{1}=0 \end{gathered}$$

Oppgave 3

$P(x)=2x^3-6x^2-8x+24$

a)

$$\begin{gathered} P(3)=2\cdot 3^3-6\cdot 3^2-8\cdot 3+24 \\ =2\cdot 27-6\cdot 9-24+24 \\ =54-54-24+24=0 \end{gathered}$$

b)

Vi har vist at $P(x)=0$ for $x=3$. Då seier nullpunktsetninga at polynomdivisjonen $P(x):(x-3)$ går opp.

$(2x^3-6x^2-8x+24):(x-3)=2x^2-8$

Faktoriserer $2x^2-8$:

$2x^2-8=2(x^2-4)=2(x-2)(x+2)$

$P(x)=(2x^2-8)(x-3)=2(x-2)(x+2)(x-3)$

c)

$\frac{2x^3-6x^2-8x+24}{2x^2-8}=\frac{2(x-2)(x+2)(x-3)}{2(x-2)(x+2)}=(x-3)$

Oppgave 4

a)

(Sett inn tabell)

Formel for $S_n$:

$S_n=n^3$

b)

$S_n$ er summen av dei $n$ første ledda

$S_n=a_1+a_2+...+a_{n-1}+a_n$

$S_{n-1}$ er summen av dei $(n-1)$ første ledda:

$S_{n-1}=a_1+a_2+...+a_{n-1}$

Vi får at: $$\begin{gathered} S_n=S_{n-1}+a_n \\ {a}_n=S_n-S_{n-1} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} a_n=S_n-S_{(}n-1) \\ {a}_n=n^3-(n-1{)}^3 \\ =n^3-(n-1)(n-1{)}^2 \\ =n^3-(n-1)(n^2-2n+1) \\ =n^3-n^3+2n^2-n+n^2-2n+1 \\ =3n^2-3n+1 \end{gathered}$$