R1 2018 høst LØSNING

Diskusjon av denne oppgaven på matteprat

Løsningsforslag (pdf) (open source, meld fra om forbedringer eller feil her)

Løsning del 1 laget av mattepratbruker mingjun

Løsning som PDF laget av Marius Nilsen ved Bergen Private Gymnas

Løsning til del 1 som videoer laget av Lektor Håkon Raustøl

DEL 1

Oppgave 1

a)

$f(x)=x^2+2x+e^x$

$f^{\prime }(x)=2x+2+e^x$

b)

$g(x)=x^2\cdot lnx$

$g^{\prime }(x)=2x\cdot lnx+x^2\cdot \frac{1}{x}=2x\cdot lnx+x$

c)

$h(x)=\frac{x-1}{e^{2x+1}}$

$h^{\prime }(x)=\frac{1\cdot e^{2x+1}-(x-1)\cdot 2\cdot e^{2x+1}}{(e^{2x+1}{)}^2}=\frac{1-(2x-2)}{e^{2x+1}}=\frac{-2x+1}{e^{2x+3}}$

Oppgave 2

a)

$e^{2x}+7e^x-8=0$

Setter $u=e^x$

$$\begin{gathered} u^2+7u-8=0 \\ (u+8)(u-1)=0 \\ u=-8\vee u=1 \\ {e}^x=-8\vee e^x=1 \\ x=0 \end{gathered}$$

Ikke mulig å ta ln(-8), forkaster derfor det ene svaret.

b)

$$\begin{gathered} ln(x^2-5x-1)-ln(3-2x)=0 \\ ln(x^2-5x-1)=ln(3-2x) \\ {x}^2-5x-1=3-2x \\ {x}^2-5x+2x-1-3=0 \\ {x}^2-3x-4=0 \\ (x+1)(x-4)=0 \\ x=-1\vee x=4 \end{gathered}$$

Setter inn hvert av svarene i likningen:

$$\begin{gathered} ln((-1{)}^2-5(-1)-1)-ln(3-2(-1))=0 \\ ln(5)-ln(5)=0 \end{gathered}$$

$x=-1$ er en løsning.

$$\begin{gathered} ln(4^2-5\cdot 4-1)-ln(3-2\cdot 4)=0 \\ ln(-5)-ln(-5)=0 \end{gathered}$$

$x=4$ er ikke en løsning fordi det ikke er mulig å ta ln(-5).

Oppgave 3

Vi har vektorene $\overrightarrow{a}=[2,3]$ og $\overrightarrow{b}=[-5,3]$

a)

$2\overrightarrow{b}-3\overrightarrow{a}=2\cdot [-5,3]-3\cdot [2,3]=[-10,6]-[6,9]=[-16,-3]$

b)

$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$

$|\overrightarrow{a}|<4$ fordi $\sqrt{16}=4$, og derfor er $\sqrt{13}<4$

c)

$$\begin{gathered} \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|\cdot |\overrightarrow{b}|\cdot cos\alpha \\ cos\alpha =\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|\cdot |\overrightarrow{b}|} \\ cos\alpha =\frac{[2,3]\cdot [-5,3]}{\sqrt{13}\cdot \sqrt{(-5{)}^2+3^2}} \\ cos\alpha =\frac{-10+9}{\sqrt{13}\cdot \sqrt{34}} \\ cos\alpha =\frac{-1}{\sqrt{13}\cdot \sqrt{34}} \end{gathered}$$

Vi har $cos\alpha <0$, hvilket betyr at vinkelen mellom de $\overrightarrow{a}$ og $\overrightarrow{b}$ er stump.

Oppgave 4

Vi har $f(x)=x^3+6x^2-x-30$

a)

$f(2)=2^3+6\cdot 2^2-2-30=8+24-2-30=0$

$x=2$ er et nullpunkt, så divisjonen $f(x):(x-2)$ går opp.

b)

Utfører polynomdivisjonen:

Faktoriserer uttrykket:

$x^3+6x^2-x-30=(x^2+8x+15)(x-2)=(x+5)(x+3)(x-2)$

c)

$-2\cdot f(x)\ge 0$