R1 2023 Vår LØSNING

Oppgaven som pdf

Diskusjon av oppgaven på matteprat

Videoløsning av UDL.no

Løsningsforslag fra Lektor Seland

Løsningsforslag fra Farhan Omar

Løsningsforslag fra Lektor Trandal

DEL 1

Oppgave 1

$f(x)=e^x+lnx$

$f^{\prime }(x)=e^x+\frac{1}{x}$

Oppgave 2

$$\underset{x\to 2}{lim}\frac{x^3-8}{x^2-4}=\frac{2^3-8}{2^2-4}=\frac{0}{0}$$

Bruker l'Hôpitals regel og deriverer teller og nevner hver for seg.

$$\underset{x\to 2}{lim}\frac{3x^2}{2x}=\frac{3\cdot 2^2}{2\cdot 2}=\frac{12}{4}=3$$

Oppgave 3

a)

Vi har $A=(1,3),B=(4,0)$ og $C=(9,4)$

$\overrightarrow{BA}=[1-4,3-0]=[-3,3]$

$\overrightarrow{BC}=[9-4,4-0]=[5,4]$

Vi har $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=|\overrightarrow{BA}|\cdot |\overrightarrow{BC}|\cdot cos\alpha$, hvor $\alpha$ er vinkelen mellom vektorene.

Regner ut skalarproduktet av vektorene:

$\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=-3\cdot 5+3\cdot 4=-15+12=-3$

Siden skalarproduktet av de to vektorene er negativt, er $cos\alpha$ negativ, og vinkelen mellom vektorene er større enn 90 grader.

b)

Vi ønsker å finne et punkt P på linjen som går gjennom punktene B og C, slik at $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AP}=0$

$\overrightarrow{AB}=[4-1,0-3]=[3,-3]$

Linjen som går gjennom $B=(4,0)$ og $C=(9,4)$ kan uttrykkes ved:

$l:\{\begin{array}{l}x=4+5t\\ y=4t\end{array}$

P er et punkt på linja l, og kan dermed skrives $P=(4+5t,4t)$

$\overrightarrow{AP}=[4+5t-1,4t-3]=[5t+3,4t-3]$

$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AP}=0$

$[3,-3]\cdot [5t+3,4t-3]=0$

$3\cdot (5t+3)-3\cdot (4t-3)=0$

$15t+9-12t+9=0$

$3t=-18$

$t=-6$

Vi har $P=(4+5t,4t)=(4+5(-6),4(-6))=(-26,-24)$

Oppgave 4

a)

Eleven har brukt programmering for å løse oppgaven.

Linje 1 og 2: definerer en funksjon for arealet av rektangelet. Areal = bredde*lengde, hvor bredden er x, og lengden er funksjonsverdien f(x).

Linje 4: definerer variabelen t, som senere representerer bredden, og setter denne lik 0.

Linje 5: definerer variabelen d, som senere skal brukes til en gradvis økning av bredden, og setter denne lik 0,01. Bredden kommer til å økes gradvis med 0,01.

Linje 7 og 8: dette er en while-løkke, som går så lengde arealet når bredden er t, er mindre enn arealet når bredden er t+d. For hver runde i løkken økes bredden med 0,01, slik at ny verdi for t blir t+d.

Linje 10 skriver ut verdien av bredden t når arealet er størst.

b)

Finner toppunktet i funksjonen for arealet, ved å finne verdien til x når den deriverte av funksjonen lik 0.

$A(x)=x(x^2-9{)}^4$

$A^{\prime }(x)=1\cdot (x^2-9{)}^4+x\cdot 4(x^2-9{)}^3\cdot 2x=(x^2-9{)}^4+8x^2(x^2-9{)}^3=(x^2-9{)}^3(x^2-9+8x^2)=(x^2-9{)}^3(9x^2-9)=9(x^2-9{)}^3(x^2-1)$

$A^{\prime }(x)=0$

$9(x^2-9{)}^3(x^2-1)=0$

$x^2-9=0\vee x^2-1=0$

$x=3\vee x=-3\vee x=1\vee x=-1$

Funksjonen A(x) er bare definert for $x\in ⟨0,3⟩$, slik at løsningen er $x=1$.

Vi sjekker at A(1) er et toppunkt, ved å sjekke at A'(0)>0 og A'(2)<0.

Arealet er størst når $x=1$.