Komplekse tall

$$Z=a+ib$$

• a kalles for realdelen og skrives ofte a = Re(Z)

• b kalles for imaginærdelen og skrives ofte b = Im(Z)

Mengden av alle komplekse tall kalles for $\mathbb{C}$. De reelle tallene er inkludert i $\mathbb{C}$.

$Z=a+ib$ er formen komplekse tall skrives på. a og b er reelle tall mens i er den imaginære enheten. $i^2$ er størrelsen som tilfredsstiller $i^2=-1$.

$$i^2=-1$$ $$\sqrt{-1}=i$$.

Det betyr at andregradslikninger alltid har en løsning innenfor tallmengden $\mathbb{C}$.

For å visualisere de komplekse tallene kan vi bruke XY planet. Vi setter a =X og b = Y. Det komplekse planet C ser da slik ut:

REGNEREGLER FOR KOMPLEKSE TALL

Potenser av $i^n$ kan alltid reduseres til pluss/minus 1 eller pluss/minus i. Eksempelvis er $i^3=i^2\cdot i=-1\cdot i=-i$

Summering av to komplekse tall gjøres ved å summere realdelen for seg og imaginærdelen for seg. Dersom vi skal summere $Z_1=1+2iog{Z}_2=2+2i$ blir resultatet $Z_3=3+4i$

Generelt kan summen av det komplekse tallene Z = a + ib og W = c + id uttrykkes som

Z + W = (a + c) + i(b + d).

Vi kan oppfatte de komplekse tallene som vektorer i det komplekse plan. Regneoperasjonen over kan da fremstilles slik;

Lengden av linjestykket $O{Z}_n$ kan vi finne ved å bruke Pytagoras. Lengden er gitt ved $|Z_n|=\sqrt{a^2+b^2}$. $|Z_n|$ kalles absoluttverdien eller modulen av det komplekse tallet $Z_n$

Subtraksjon utføres ved å subtrahere realdelen for seg og imaginærdelen for seg, altså analogt til addisjon. Generelt har vi

Z - W = (a - c) + i(b - d)

Vi kan oppgi det komplekse tallet som et produkt av lengden $O{Z}_n$ og vinkelen mellom X aksen og linjestykket $O{Z}_n$.

Fra figuren over ser vi at Z kan utrykkes som lengden av OZ og θ. Dersom vi kaller absoluttverdien av Z for r får vi :

Z = r(cos θ + isin θ). θ kalles argumentet til Z og skrives arg Z. Argumentet til Z er entydig bestemt i [0,2π >

punktet $\bar{Z}=a-bi$ kalles det konjugerte komplekse tallet til Z.

en viktig egenskap er:

$Z\cdot \bar{Z}=a^2+b^2=|Z{|}^2$

Multiplikasjon.

Multiplikasjon utføres på vanlig måte:

$(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bd{i}^2=(ac-bd)+(ad+bc)i$

Divisjon.

Vi multipliserer teller og nevner med det konjugerte komplekse tallet til nevneren. Da får vi et reelt tall i nevneren:

$\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}=\frac{ac-adi+bci-bd{i}^2}{c^2-cdi+cdi-d^2{i}^2}=\frac{ac+bd-(ad-bc)i}{c^2+d^2}$

Den imaginære enheten $i$

Siden $i^2=-1$, følger: $$\begin{gathered} i^3=i\cdot i^2=-i \\ {i}^4=(i^2{)}^2=1 \end{gathered}$$

Dette mønsteret gjentar seg syklisk.

Den imaginære enheten i som potens av forskjellig grad

Den imaginære enheten i er definert som: $i=\sqrt{-1}$ Den har spesielle egenskaper når den opphøyes i ulike potenser, og det finnes et periodisk mønster:

Grunnleggende egenskaper

• $$i^1=i$$
• $$i^2=-1$$
• $$i^3=i^2\cdot i=(-1)\cdot i=-i$$
• $$i^4=i^3\cdot i=(-i)\cdot i=-i^2=-(-1)=1$$

Periodisitet

Vi ser at etter fire potenser gjentar mønsteret seg: $i^5=i^1=i,i^6=i^2=-1,i^7=i^3=-i,i^8=i^4=1$

Dermed kan vi generelt si at:

Generelt:

$$i^n=\{\begin{array}{ll}i,& \text{hvis }n\equiv 1(\mathrm{mod}4)\\ -1,& \text{hvis }n\equiv 2(\mathrm{mod}4)\\ -i,& \text{hvis }n\equiv 3(\mathrm{mod}4)\\ 1,& \text{hvis }n\equiv 0(\mathrm{mod}4)\end{array}$$

Eksempler

• $i^{10}$: Siden $10\equiv 2(\mathrm{mod}4)$, har vi $i^{10}=-1$.
• $i^{15}$: Siden $15\equiv 3(\mathrm{mod}4)$, har vi $i^{15}=-i$.
• $i^{20}$: Siden $20\equiv 0(\mathrm{mod}4)$, har vi $i^{20}=1$.

Dette mønsteret kan brukes til raskt å finne verdien av $i^n$ for enhver eksponent n.

Regning med komplekse tall

Addisjon og subtraksjon

To komplekse tall $z_1=a+bi$ og $z_2=c+di$ adderes slik: $$z_1+z_2=(a+c)+(b+d)i$$

Eksempel: $(3+2i)+(1-4i)=4-2i$

Subtraksjon: $z_1-z_2=(a-c)+(b-d)i$ Eksempel: $(5+3i)-(2+i)=3+2i$

Multiplikasjon

Bruk distribusjonsloven: $(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bd{i}^2$

Siden $i^2=-1$, får vi:

$(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$

Eksempel:

$(2+3i)(1-4i)=(2\cdot 1-3\cdot 4)+(2\cdot (-4)+3\cdot 1)i=-10-5i$

Konjugering og modulus

Komplekse konjugatet av $z=a+bi$ er: $$\bar{z}=a-bi$$

Modulus av $z$ er: $$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$$

Eksempel: $$|3+4i|=\sqrt{3^2+4^2}=5$$

Divisjon

For å dele $z_1$ med $z_2$, multipliserer vi med konjugatet av nevneren: <math>

�rac{z_1}{z_2} = �rac{(a + bi)}{(c + di)} 	imes �rac{(c - di)}{(c - di)}

</math> Eksempel: <math>

�rac{3 + 2i}{1 - i} = �rac{(3+2i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = �rac{1 + 5i}{2} = �rac{1}{2} + �rac{5}{2}i

</math>

Geometrisk tolkning

Komplekse tall kan representeres som punkter i et koordinatsystem:

• Reell del langs $x$-aksen.
• Imaginær del langs $y$-aksen.

Polarform

Ethvert komplekst tall kan skrives som: <math>

z = r(\cos 	heta + i \sin 	heta)

</math> Der: <math>

r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}, \quad 	heta = 	an^{-1} \left( �rac{b}{a} \right)

</math>

Eksempel: <math>

z = 1 + i \Rightarrow r = \sqrt{2}, \quad 	heta = �rac{\pi}{4}

</math>

Eulers formel og eksponentiell representasjon

Eulers formel: $e^{iheta}=\cos heta+i\sin heta$

Polarformen kan derfor skrives som: $z=r{e}^{iheta}$

De Moivres teorem og røtter

De Moivres teorem:

1. 1. 1. **De Moivres teorem**

De Moivres teorem er et viktig resultat i kompleks analyse som sier at for enhver kompleks tall $z$ skrevet på polar form og for et heltall $n$, gjelder følgende:

$$(\cos \theta +i\sin \theta {)}^n=\cos (n\theta )+i\sin (n\theta )$$

Alternativt kan dette skrives med eksponentiell notasjon ved hjelp av Eulers formel $e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$:

$$(e^{i\theta }{)}^n=e^{in\theta }$$

Dette betyr at for et komplekst tall på polar form, $z=r{e}^{i\theta }$, har vi:

$$z^n=r^n{e}^{in\theta }=r^n(\cos (n\theta )+i\sin (n\theta ))$$

1. 1. 1. **Bruksområder**

1. **Beregning av potenser av komplekse tall**

  - Hvis du har et komplekst tall \( z = r(\cos\theta + i\sin\theta) \), kan du raskt finne \( z^n \) ved å opphøye modulus til \( n \) og multiplisere argumentet med \( n \).  

2. **Røtter av komplekse tall**

  - De Moivres teorem hjelper med å finne de \( n \)-te røttene av komplekse tall. En kompleks \( n \)-te rot av \( r e^{i\theta} \) er gitt ved:

    \[
    w_k = r^{1/n} e^{i(\theta + 2\pi k)/n}, \quad k = 0, 1, 2, ..., n-1
    \]

    Dette viser at et komplekst tall har \( n \) distinkte \( n \)-te røtter, jevnt fordelt langs en sirkel i det komplekse planet.

1. 1. 1. **Eksempel**

La oss si vi ønsker å beregne $(1+i{)}^4$. Først skriver vi $1+i$ på polar form:

$$r=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2},\theta ={\tan }^{-1}(1/1)=\frac{\pi }{4}$$

Ved å bruke De Moivres teorem:

$$(1+i{)}^4=(\sqrt{2}{)}^4(\cos (4\times \frac{\pi }{4})+i\sin (4\times \frac{\pi }{4}))$$

$$=4(\cos \pi +i\sin \pi )=4(-1+0i)=-4$$

1. 1. 1. **Oppsummering**

De Moivres teorem gir en elegant metode for å beregne potenser og røtter av komplekse tall, noe som er spesielt nyttig i ingeniørfag, fysikk og signalbehandling.

$(\cos heta+i\sin heta{)}^n=\cos (nheta)+i\sin (nheta)$

Generell formel for $n$-te røtter:

$z_k=r^{1/n}{e}^{i(heta+2\pi k)/n},k=0,1,...,n-1$

Eksempel: Kvadratroten av $i$:

$\sqrt{i}=e^{i\pi /4}=\pm (�rac\sqrt{2}2+i�rac\sqrt{2}2)$

Oppgaver med komplekse tall

Eksempel 1: Regn ut $(3+4i)+(5-2i)$

Løsning: $$(3+4i)+(5-2i)=3+5+(4i-2i)=8+2i$$

Eksempel Subtraksjon Regn ut $(7+6i)-(2+3i)$

Løsning: $$(7+6i)-(2+3i)=(7-2)+(6i-3i)=5+3i$$

Oppgave 3: Multiplikasjon

Regn ut $(2+3i)\cdot (4-i)$

Løsning: $$(2+3i)(4-i)=2\cdot 4+2\cdot (-i)+3i\cdot 4+3i\cdot (-i)$$ $$=8-2i+12i-3i^2$$ $$=8+10i-(-3)$$ $$=11+10i$$

Oppgave 4: Divisjon

Regn ut $\frac{5+2i}{3-i}$

Løsning: Multipliser teller og nevner med den konjugerte av nevneren: $$\frac{(5+2i)(3+i)}{(3-i)(3+i)}$$ Beregning: $$5\cdot 3+5\cdot i+2i\cdot 3+2i\cdot i=15+5i+6i+2i^2$$ $$=15+11i-2$$ $$=13+11i$$ Nevner: $$(3-i)(3+i)=9-i^2=9+1=10$$ Endelig svar: $$\frac{13+11i}{10}=1.3+1.1i$$

Oppgave 5: Potenser

Regn ut $(1+i{)}^4$

Løsning: Bruk binomialteoremet eller direkte utregning: $$(1+i{)}^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i$$ $$(2i{)}^2=4i^2=-4$$

Oppgave 6: Kvadratrot

Regn ut $\sqrt{-9}$

Løsning: $$\sqrt{-9}=\sqrt{9}\cdot \sqrt{-1}=3i$$

Oppgave 7: Eulers form

Skriv $1+i$ på polarform.

Løsning: \[

r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}, \theta = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}

\] $$1+i=\sqrt{2}{e}^{i\pi /4}$$

Oppgave 8: Eksponentiell form

Regn ut $e^{i\pi /2}$

Løsning: Ved Eulers formel: \[

e^{i\pi/2} = \cos(\pi/2) + i\sin(\pi/2) = i

\]

Oppgave 9: Kubikkrot

Finn en kubikkrot av $8$.

Løsning: Vi løser $z^3=8$: $$8=8e^{i0},\text{ kubikkrot gir }2e^{i0/3}=2$$

Oppgave 10: De Moivres teorem

Regn ut $(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}{)}^5$

Løsning: Bruk De Moivres teorem: \[

(\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3})^5 = \cos \frac{5\pi}{3} + i \sin \frac{5\pi}{3}

\] \[

= \cos(-\frac{\pi}{3}) + i \sin(-\frac{\pi}{3})

\] \[

= \frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}

\]