R2 2025 vår LØSNING
Diskusjon av oppgaven på matteprat
Løsningsforslag laget av Lektor Seland
Løsningsforslag som video laget av UDL.no
DEL 1
Oppgave 1
a)
$\int_0^1 (2e^x +2x^2)dx $
$=[2e^x+\frac{2}{3}x^3]_0^1$
$=(2e+\frac{2}{3})-2$
$=2e-\frac{4}{3}$
b)
$\int\frac{2x-1}{x^2-x-6}dx$
Bruker integrasjon ved variabelskifte:
$u=x^2-x-6$
$u'=2x-1$
$u'=\frac{du}{dx} \Rightarrow dx = \frac{du}{u'}$
$\int\frac{2x-1}{x^2-x-6}dx = \int\frac{u'}{u}dx=\int\frac{u'}{u}\frac{du}{u'} = \int \frac{1}{u}du = ln |u|+C = ln |x^2-x-6|+C$
Det er også mulig å bruke integrasjon ved delbrøkoppspalting.
Oppgave 2
Vi har at
- $f'(x)=-\frac{2}{x^3}$
- $\int_{1}^{2}f(x)dx=\frac{11}{14}$
Integrerer f'(x) for å få et uttrykk for f(x):
$f(x)=\int -\frac{2}{x^3} dx = -2\int x^{-3}dx=\frac{-2}{-2}x^{-2} +C=\frac{1}{x^2}+C$
Bruker det bestemte integralet som likning for å finne C:
$\int_{1}^{2}(\frac{1}{x^2}+C )\, dx=\frac{11}{14}$
$[-\frac{1}{x}+Cx]_{1}^{2}=\frac{11}{14}$
$-\frac{1}{2}+2C-(-1+C)=\frac{11}{14}$
$C+\frac{1}{2}=\frac{11}{14}$
$C=\frac{11}{14}-\frac{7}{14}$
$C=\frac{4}{14}=\frac{2}{7}$
Vi har:
$f(x)=\frac{1}{x^2}+\frac{2}{7}$
Oppgave 3
a)
Rekken starter med tallet 2. For å finne neste tall, tar man forrige tall pluss forrige tall sitt figurnummer pluss 2.
Når koden kjøres, skrives de 5 første tallene i rekken ut, nemlig 2, 5, 9, 14, 20.
b)
Eleven ønsker å finne summen av de 5 første tallene i rekken. Resultatet som skrives ut blir 50.
c)
DEL 2
Oppgave 2
a)
Summen av sparingen er en geometrisk rekke hvor ledd nr. n er gitt ved $a_n=a_1\cdot k^n$
Summen av de n første leddene i denne geometriske rekka er gitt ved:
$S_n=a_1\cdot k\cdot\frac{k^n-1}{k-1}$
Her skal summen bli 3 750 000 kr, og k = 1,025.
Her er to forskjellige måter å beregne $a_1$ i CAS:
Nora må sette inn ca. 83 333 kr i banken hvert år for å nå målet.
b)
Bruker at summen av nåverdiene til terminbeløpet, skal bli lik lånebeløpet:
Nora har regnet med at den årlige rentesatsen på lånet er ca. 3,27 %.