Forskjell mellom versjoner av «Polynom»
m (Teksterstatting – «<tex>» til «<math>») |
|||
Linje 1: | Linje 1: | ||
Et polymon er en funksjon på formen | Et polymon er en funksjon på formen | ||
− | < | + | <math>f(x)=\sum_{i=0}^na_ix^i=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+...+a_1x+a_0</tex> |
− | der < | + | der <math>a_i</tex> kalles koeffisientene til funksjonen og <math>n</tex> kalles funksjonens grad. |
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"> | <blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"> | ||
'''Eksempel 1:'''<br><br> | '''Eksempel 1:'''<br><br> | ||
− | < | + | <math>f(x)=3x^3+4x^2-x+2</tex> er et tredjegrads polynom med koffisienter 3, 4, -1 og 2. |
</blockquote> | </blockquote> | ||
Linje 16: | Linje 16: | ||
Et polynomligning er en ligning der et polynom settes likt et annet. Slike ligninger har formen | Et polynomligning er en ligning der et polynom settes likt et annet. Slike ligninger har formen | ||
− | < | + | <math>\sum_{i=0}^na_ix^i=0</tex> |
Enhver n'tegrads polynomlikning har n komplekse løsninger, men generelle løsninger for polynomligninger finnes kun for ligninger av grad 1 til 4. | Enhver n'tegrads polynomlikning har n komplekse løsninger, men generelle løsninger for polynomligninger finnes kun for ligninger av grad 1 til 4. | ||
Linje 24: | Linje 24: | ||
==Faktorisering== | ==Faktorisering== | ||
− | Et polynom < | + | Et polynom <math>P(x)=\sum_{i=0}^na_ix^i</tex> kan faktoriseres til et produkt |
− | < | + | <math>P(x)=a_n\prod_{k=1}^n x-x_k=a_n(x-x_n)(x-x_{n-1})(x-x_{n-2})...(x-x_2)(x-x_1)</tex> |
− | der < | + | der <math>x_k</tex> er røttene til polynomet, dvs. løsningene til ligningen |
− | < | + | <math>\sum_{i=0}^na_ix^i=0</tex> |
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"> | <blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"> | ||
'''Eksempel 1:'''<br><br> | '''Eksempel 1:'''<br><br> | ||
− | < | + | <math>P(x)=2x^2+2x-4</tex> |
− | Løsningene til likningen < | + | Løsningene til likningen <math>2x^2+2x-4=0</tex> er <math>x=1</tex> og <math>x=-2</tex> |
.Dette er røttene til polynomet. Dermed kan vi faktorisere det til | .Dette er røttene til polynomet. Dermed kan vi faktorisere det til | ||
− | < | + | <math>P(x)=2(x-1)(x-(-2))=2(x-1)(x+2)</tex> |
</blockquote> | </blockquote> |
Revisjonen fra 5. feb. 2013 kl. 20:57
Et polymon er en funksjon på formen
<math>f(x)=\sum_{i=0}^na_ix^i=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+...+a_1x+a_0</tex>
der <math>a_i</tex> kalles koeffisientene til funksjonen og <math>n</tex> kalles funksjonens grad.
Eksempel 1:
<math>f(x)=3x^3+4x^2-x+2</tex> er et tredjegrads polynom med koffisienter 3, 4, -1 og 2.
Polynomligninger
Et polynomligning er en ligning der et polynom settes likt et annet. Slike ligninger har formen
<math>\sum_{i=0}^na_ix^i=0</tex>
Enhver n'tegrads polynomlikning har n komplekse løsninger, men generelle løsninger for polynomligninger finnes kun for ligninger av grad 1 til 4.
Et tilfelle av polynomligninger er andregradslikninger.
Faktorisering
Et polynom <math>P(x)=\sum_{i=0}^na_ix^i</tex> kan faktoriseres til et produkt
<math>P(x)=a_n\prod_{k=1}^n x-x_k=a_n(x-x_n)(x-x_{n-1})(x-x_{n-2})...(x-x_2)(x-x_1)</tex>
der <math>x_k</tex> er røttene til polynomet, dvs. løsningene til ligningen
<math>\sum_{i=0}^na_ix^i=0</tex>
Eksempel 1:
<math>P(x)=2x^2+2x-4</tex>
Løsningene til likningen <math>2x^2+2x-4=0</tex> er <math>x=1</tex> og <math>x=-2</tex>
.Dette er røttene til polynomet. Dermed kan vi faktorisere det til
<math>P(x)=2(x-1)(x-(-2))=2(x-1)(x+2)</tex>