Omvendte funksjonen

[pushittothelimit]

Fra side 38 i Kalkulus, opplag 3:

Finn den omvendte funksjonen til
[tex]f(x)=\sqrt{\sqrt{x}-2}[/tex]
dersom den eksisterer.

1. [tex]\sqrt{\sqrt{x}-2}=y[/tex]
2. [tex]\sqrt{x}-2=y^{2}[/tex]
3. [tex]\sqrt{x}=2+y^{2}[/tex]
4. [tex]x=(2+y^{2})^{2}[/tex]

som er den eneste løsningen. Funksjonen er altså injektiv, og den omvendte funksjonen er

[tex]f^{-1}(x)=(2+x^{2})^{2}[/tex]

Mine spørsmål:
1. Hvor ble det av absoluttverdi tegnet rundt:
[tex]\sqrt{x}-2[/tex]
i 2?

Dette skjer igjen i punkt 4.

2. Er begrunnelsen for at f(x) er injektiv at vi bare kommer frem til et svar? Hvis absoluttverdien hadde vært med her, ville det jo blitt 2 svar, og da hadde f(x) ikke blitt injektiv.

Kan noen forklare det for meg.

Det er noe mystisk som skjer her!

[Markonan]

Det er kvadratroten som blir "borte". Absoluttverditegnet er de to strekene, som f.eks absoluttverdien til 2: |2|.

Uansett: for å fjerne kvadratroten tar du bare og kvadrerer, eller opphøyer i annen på begge sidene.

[tex]\sqrt{x} = 5[/tex]
[tex](\sqrt{x})^2 = 5^2[/tex]
[tex]x = 25[/tex]

Men den inverse funksjonen du kommer frem til er vel heller ikke injektiv?
En injektiv funksjon er slik at hvis a [symbol:ikke_lik] b så er f(a) [symbol:ikke_lik] f(b).

Men hvis du setter inn a=-2 og b=2 for y i funksjonen din, får du jo 36 i begge tilfeller.

Har du noen definisjonsmengde til funksjonen?

[pushittothelimit]

Edit:

Beklager, forklarte ikke godt nok:

[tex]\sqrt{x^2}=|x|[/tex]

Så hvorfor er ikke:

[tex]\sqrt{\sqrt{x}-2}=y[/tex]
[tex](\sqrt{\sqrt{x}-2})^2=y^{2}[/tex]
[tex]|\sqrt{x}-2|=y^{2}[/tex]

Øøøøøøøø...

Så først nå at det ble "mostatt" av [tex]\sqrt{x^2}=|x|[/tex], altså eksponenten utenforbi kvadratroten.

Jeg tror jeg lurer meg selv.

Hmm...

Så det er på grunn av at eksponenten er utenforbi at det ikke blir absoluttverdi da?

I følge boken:
Definisjonsmengden til funksjonen er ikke angitt. Det er derfor underforstått at definisjonsmengden er størst mulig. Kommer frem til at:
[tex]D_{f}=[0, \infty)[/tex]

[meCarnival]

Det er forskjell på å sette kvadratrot enn å ta bort...

[tex]y = \sqrt{x} \Rightarrow y^2 = x[/tex]

[tex]y^2 = x \Rightarrow y = \pm \sqrt{x}[/tex]


Tror det ble riktig hvis jeg ikke er litt for sliten akkurat nå =(

[pushittothelimit]

Ok, takker. Det forklarer hvorfor jeg er på blåbær tur!

[pushittothelimit]

Men den inverse funksjonen du kommer frem til er vel heller ikke injektiv?
En injektiv funksjon er slik at hvis a [symbol:ikke_lik] b så er f(a) [symbol:ikke_lik] f(b).

Men hvis du setter inn a=-2 og b=2 for y i funksjonen din, får du jo 36 i begge tilfeller.

Hmmm...

I følge boken, så er [tex]f(x)=\sqrt{\sqrt{x}-2}[/tex] injektiv, pga at [tex]x=(2+y^{2})^{2}[/tex] er den eneste løsningen. Men jeg ser hva du sier...

Det står også:

Dersom likningen [tex]\sqrt{\sqrt{x}-2}=y[/tex] har mer enn en løsning x for noen gitt y, er f ikke injektiv.

Note: Beklager for at jeg ikke redigerte innlegget ovenfor...

Er meget usikker på hva som skjer nå.

[Markonan]

Man kan jo ikke ta kvadratroten til et negativt tall, derfor må x være i intervallet [4, [symbol:uendelig] ) for at f(x) skal være definert.

Da blir verdimengden til f: [0, [symbol:uendelig] ).

Når vi tar den inverse funksjonen igjen, så blir definisjonsmengden den gamle verdimengden, så vi trenger bare å se på positive tall. Da er funksjonen injektiv, siden funksjonen er strengt voksende.

[pushittothelimit]

Takk! Har dette under kontrol nå. Steng dette emne om dere vil.