Fra side 38 i Kalkulus, opplag 3:
Finn den omvendte funksjonen til
[tex]f(x)=\sqrt{\sqrt{x}-2}[/tex]
dersom den eksisterer.
1. [tex]\sqrt{\sqrt{x}-2}=y[/tex]
2. [tex]\sqrt{x}-2=y^{2}[/tex]
3. [tex]\sqrt{x}=2+y^{2}[/tex]
4. [tex]x=(2+y^{2})^{2}[/tex]
som er den eneste løsningen. Funksjonen er altså injektiv, og den omvendte funksjonen er
[tex]f^{-1}(x)=(2+x^{2})^{2}[/tex]
Mine spørsmål:
1. Hvor ble det av absoluttverdi tegnet rundt:
[tex]\sqrt{x}-2[/tex]
i 2?
Dette skjer igjen i punkt 4.
2. Er begrunnelsen for at f(x) er injektiv at vi bare kommer frem til et svar? Hvis absoluttverdien hadde vært med her, ville det jo blitt 2 svar, og da hadde f(x) ikke blitt injektiv.
Kan noen forklare det for meg.
Det er noe mystisk som skjer her!
Omvendte funksjonen
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Det er kvadratroten som blir "borte". Absoluttverditegnet er de to strekene, som f.eks absoluttverdien til 2: |2|.
Uansett: for å fjerne kvadratroten tar du bare og kvadrerer, eller opphøyer i annen på begge sidene.
[tex]\sqrt{x} = 5[/tex]
[tex](\sqrt{x})^2 = 5^2[/tex]
[tex]x = 25[/tex]
Men den inverse funksjonen du kommer frem til er vel heller ikke injektiv?
En injektiv funksjon er slik at hvis a [symbol:ikke_lik] b så er f(a) [symbol:ikke_lik] f(b).
Men hvis du setter inn a=-2 og b=2 for y i funksjonen din, får du jo 36 i begge tilfeller.
Har du noen definisjonsmengde til funksjonen?
Uansett: for å fjerne kvadratroten tar du bare og kvadrerer, eller opphøyer i annen på begge sidene.
[tex]\sqrt{x} = 5[/tex]
[tex](\sqrt{x})^2 = 5^2[/tex]
[tex]x = 25[/tex]
Men den inverse funksjonen du kommer frem til er vel heller ikke injektiv?
En injektiv funksjon er slik at hvis a [symbol:ikke_lik] b så er f(a) [symbol:ikke_lik] f(b).
Men hvis du setter inn a=-2 og b=2 for y i funksjonen din, får du jo 36 i begge tilfeller.
Har du noen definisjonsmengde til funksjonen?
An ant on the move does more than a dozing ox.
Lao Tzu
Lao Tzu
-
- Cayley
- Innlegg: 68
- Registrert: 04/09-2009 10:13
Edit:
Beklager, forklarte ikke godt nok:
[tex]\sqrt{x^2}=|x|[/tex]
Så hvorfor er ikke:
[tex]\sqrt{\sqrt{x}-2}=y[/tex]
[tex](\sqrt{\sqrt{x}-2})^2=y^{2}[/tex]
[tex]|\sqrt{x}-2|=y^{2}[/tex]
Øøøøøøøø...
Så først nå at det ble "mostatt" av [tex]\sqrt{x^2}=|x|[/tex], altså eksponenten utenforbi kvadratroten.
Jeg tror jeg lurer meg selv.
Hmm...
Så det er på grunn av at eksponenten er utenforbi at det ikke blir absoluttverdi da?
I følge boken:
Definisjonsmengden til funksjonen er ikke angitt. Det er derfor underforstått at definisjonsmengden er størst mulig. Kommer frem til at:
[tex]D_{f}=[0, \infty)[/tex]
Beklager, forklarte ikke godt nok:
[tex]\sqrt{x^2}=|x|[/tex]
Så hvorfor er ikke:
[tex]\sqrt{\sqrt{x}-2}=y[/tex]
[tex](\sqrt{\sqrt{x}-2})^2=y^{2}[/tex]
[tex]|\sqrt{x}-2|=y^{2}[/tex]
Øøøøøøøø...
Så først nå at det ble "mostatt" av [tex]\sqrt{x^2}=|x|[/tex], altså eksponenten utenforbi kvadratroten.
Jeg tror jeg lurer meg selv.
Hmm...
Så det er på grunn av at eksponenten er utenforbi at det ikke blir absoluttverdi da?
I følge boken:
Definisjonsmengden til funksjonen er ikke angitt. Det er derfor underforstått at definisjonsmengden er størst mulig. Kommer frem til at:
[tex]D_{f}=[0, \infty)[/tex]
Sist redigert av pushittothelimit den 06/09-2009 19:36, redigert 2 ganger totalt.
-
- Riemann
- Innlegg: 1686
- Registrert: 07/09-2007 19:12
- Sted: Trondheim
Det er forskjell på å sette kvadratrot enn å ta bort...
[tex]y = \sqrt{x} \Rightarrow y^2 = x[/tex]
[tex]y^2 = x \Rightarrow y = \pm \sqrt{x}[/tex]
Tror det ble riktig hvis jeg ikke er litt for sliten akkurat nå =(
[tex]y = \sqrt{x} \Rightarrow y^2 = x[/tex]
[tex]y^2 = x \Rightarrow y = \pm \sqrt{x}[/tex]
Tror det ble riktig hvis jeg ikke er litt for sliten akkurat nå =(
Høgskolen i Sør-Trøndelag, Logistikkingeniør
Ingeniørmatematikk IV
Ingeniørmatematikk IV
-
- Cayley
- Innlegg: 68
- Registrert: 04/09-2009 10:13
Ok, takker. Det forklarer hvorfor jeg er på blåbær tur!
-
- Cayley
- Innlegg: 68
- Registrert: 04/09-2009 10:13
Hmmm...Markonan skrev:Men den inverse funksjonen du kommer frem til er vel heller ikke injektiv?
En injektiv funksjon er slik at hvis a [symbol:ikke_lik] b så er f(a) [symbol:ikke_lik] f(b).
Men hvis du setter inn a=-2 og b=2 for y i funksjonen din, får du jo 36 i begge tilfeller.
I følge boken, så er [tex]f(x)=\sqrt{\sqrt{x}-2}[/tex] injektiv, pga at [tex]x=(2+y^{2})^{2}[/tex] er den eneste løsningen. Men jeg ser hva du sier...
Det står også:
Dersom likningen [tex]\sqrt{\sqrt{x}-2}=y[/tex] har mer enn en løsning x for noen gitt y, er f ikke injektiv.
Note: Beklager for at jeg ikke redigerte innlegget ovenfor...
Er meget usikker på hva som skjer nå.
Man kan jo ikke ta kvadratroten til et negativt tall, derfor må x være i intervallet [4, [symbol:uendelig] ) for at f(x) skal være definert.
Da blir verdimengden til f: [0, [symbol:uendelig] ).
Når vi tar den inverse funksjonen igjen, så blir definisjonsmengden den gamle verdimengden, så vi trenger bare å se på positive tall. Da er funksjonen injektiv, siden funksjonen er strengt voksende.
Da blir verdimengden til f: [0, [symbol:uendelig] ).
Når vi tar den inverse funksjonen igjen, så blir definisjonsmengden den gamle verdimengden, så vi trenger bare å se på positive tall. Da er funksjonen injektiv, siden funksjonen er strengt voksende.
An ant on the move does more than a dozing ox.
Lao Tzu
Lao Tzu
-
- Cayley
- Innlegg: 68
- Registrert: 04/09-2009 10:13
Takk! Har dette under kontrol nå. Steng dette emne om dere vil.