separable differensiallikninger

[ini]

Hei!

Skal løse denne diffligningen :
2xy' + y =1

oppgitt i oppgaven at y <1

Jeg har gjort følgende:

deler på 2x

y' + y/2x = 1/2x

flytter over og får

y' = (1/2x) * (1-y)

y' / (1-y) = (1/2x)

int (1/(1-y) = int (1/2x)

absoluttverdien av 1-y = e^C * absoluttverdien av [symbol:rot] x

får da 1- y = +- e^C * [symbol:rot] x

innfører K = +- e^C

y = 1 - K[symbol:rot] x

Jeg lurer på om jeg har gjort noe feil da fasiten sier y = 1 - K* (1/[symbol:rot] x)

beklager om dette ble litt rotete, prøvde å skrive med tex men jeg fikk det ikke til..

også lurer jeg på hvordan jeg skal ta henzyn til at y er mindre enn 1

takk på forhånd

[Janhaa]

er nok siste overgangen når du integrerer, det skjærer seg:

[tex]\int\frac{dy}{1-y}=0,5\int\frac{dx}{x}[/tex]

[tex]-\ln(1-y)=0,5\ln(x)+C[/tex]

[tex]e^{-\ln(1-y)}=C*e^{\ln\sqrt x}[/tex]

[tex]\frac{1}{e^{\ln(1-y)}}=C*e^{\ln\sqrt x}[/tex]

[tex]\frac{1}{1-y}=C\sqrt x[/tex]

osv...

[ini]

Aha, ser jeg hoppa over minustegnet foran ln(1-y) der. Tusen takk for hjelpen!

men hva vil det i praksis bety at y < 1 ? Er det noe i utregningen jeg må passe på?

En annen oppgave jeg lurer på er følgende

y' - [tex](4x^3)/y[/tex] = 0

Her fikk jeg svaret y = +- [symbol:rot] (2x^4 - 16)

Men fasiten har kun med minustegnet foran rottegnet. Hvorfor?

[Solar Plexsus]

Minusen foran rottegnet kommer nok av en initialbetingelse y(a)=b<0 (kan f.eks. være y(-2)=-4 eller y(2)=-4) som du ikke har oppgitt.

[ini]

Minusen foran rottegnet kommer nok av en initialbetingelse y(a)=b<0 (kan f.eks. være y(-2)=-4 eller y(2)=-4) som du ikke har oppgitt.

hehe vet ikke om du er synsk, oppgaven sa nemlig at grafen til f går gjennom punktet (2,-4) takk for hjelpen!

men jeg forstår ikke hvorfor det må være minus?

[daffy]

hmm det står i oppgåva at det går igjennom pnkt (2,-4), altså er det det negative, y(2)=-4, -4 som indikerer at det er - utgaven av svaret som er riktig då ?

[ini]

Det er sikkert noe med det, men jeg ser ikke hvorfor tror nok jeg må ha det inn med teskje

[daffy]

Nei ikkje eg heller men eg antar at dei spør om eit særtilfelle av svaret [symbol:plussminus] [symbol:rot] [tex](2x^4-16)[/tex],
kan hende dette er riv ruskande gale?

[ini]

hm..kanskje det...?:) for om det ikke hadde stått y(2) = -4 så kunne vi ha hatt med både pluss og minus?

[Solar Plexsus]

Den generelle løsningen av den separable differensiallikningen

[tex](1) \;\; y \:-\: \frac{4x^3}{y} \;=\; 0[/tex]

er

[tex]y \:=\: \pm \sqrt{2x^4 + C},[/tex]

der [tex]C[/tex] er en vilkårlig konstant. Ettersom [tex]\sqrt{2x^4 + C} \: \geq \: 0[/tex], har altså (1) to forskjellige løsninger: Den første er [tex]y \:=\: -\sqrt{2x^4 + C}[/tex] der [tex] y \leq 0[/tex] og den andre er [tex]y \:=\: \sqrt{2x^4 + C}[/tex] der [tex]y \geq 0.[/tex]

Så dersom grafen til [tex]y[/tex] passerer gjennom punktet ([tex]a,b[/tex]) der [tex]b \neq 0[/tex], må fortegnet foran kvadratrota i (1) være lik fortegnet til [tex]y[/tex]-koordinaten [tex]b[/tex]. M.a.o. gir [tex](a,b)=(2,-4)[/tex] den første løsningen [tex]y \:=\: -\sqrt{2x^4 + C}[/tex], som igjen medfører at [tex]C=-16.[/tex]

[ini]

det ble mye klarere for meg nå. Tusen hjertelig takk for all hjelp!