Hei!
Skal løse denne diffligningen :
2xy' + y =1
oppgitt i oppgaven at y <1
Jeg har gjort følgende:
deler på 2x
y' + y/2x = 1/2x
flytter over og får
y' = (1/2x) * (1-y)
y' / (1-y) = (1/2x)
int (1/(1-y) = int (1/2x)
absoluttverdien av 1-y = e^C * absoluttverdien av [symbol:rot] x
får da 1- y = +- e^C * [symbol:rot] x
innfører K = +- e^C
y = 1 - K[symbol:rot] x
Jeg lurer på om jeg har gjort noe feil da fasiten sier y = 1 - K* (1/[symbol:rot] x)
beklager om dette ble litt rotete, prøvde å skrive med tex men jeg fikk det ikke til..
også lurer jeg på hvordan jeg skal ta henzyn til at y er mindre enn 1
takk på forhånd
separable differensiallikninger
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
er nok siste overgangen når du integrerer, det skjærer seg:
[tex]\int\frac{dy}{1-y}=0,5\int\frac{dx}{x}[/tex]
[tex]-\ln(1-y)=0,5\ln(x)+C[/tex]
[tex]e^{-\ln(1-y)}=C*e^{\ln\sqrt x}[/tex]
[tex]\frac{1}{e^{\ln(1-y)}}=C*e^{\ln\sqrt x}[/tex]
[tex]\frac{1}{1-y}=C\sqrt x[/tex]
osv...
[tex]\int\frac{dy}{1-y}=0,5\int\frac{dx}{x}[/tex]
[tex]-\ln(1-y)=0,5\ln(x)+C[/tex]
[tex]e^{-\ln(1-y)}=C*e^{\ln\sqrt x}[/tex]
[tex]\frac{1}{e^{\ln(1-y)}}=C*e^{\ln\sqrt x}[/tex]
[tex]\frac{1}{1-y}=C\sqrt x[/tex]
osv...
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Aha, ser jeg hoppa over minustegnet foran ln(1-y) der. Tusen takk for hjelpen!
men hva vil det i praksis bety at y < 1 ? Er det noe i utregningen jeg må passe på?
En annen oppgave jeg lurer på er følgende
y' - [tex](4x^3)/y[/tex] = 0
Her fikk jeg svaret y = +- [symbol:rot] (2x^4 - 16)
Men fasiten har kun med minustegnet foran rottegnet. Hvorfor?
men hva vil det i praksis bety at y < 1 ? Er det noe i utregningen jeg må passe på?
En annen oppgave jeg lurer på er følgende
y' - [tex](4x^3)/y[/tex] = 0
Her fikk jeg svaret y = +- [symbol:rot] (2x^4 - 16)
Men fasiten har kun med minustegnet foran rottegnet. Hvorfor?
If I keep a green bough in my heart, the singing bird will come - Chinese proverb
-
- Over-Guru
- Innlegg: 1685
- Registrert: 03/10-2005 12:09
Minusen foran rottegnet kommer nok av en initialbetingelse y(a)=b<0 (kan f.eks. være y(-2)=-4 eller y(2)=-4) som du ikke har oppgitt.
hehe vet ikke om du er synsk, oppgaven sa nemlig at grafen til f går gjennom punktet (2,-4) takk for hjelpen!Solar Plexsus skrev:Minusen foran rottegnet kommer nok av en initialbetingelse y(a)=b<0 (kan f.eks. være y(-2)=-4 eller y(2)=-4) som du ikke har oppgitt.
men jeg forstår ikke hvorfor det må være minus?
If I keep a green bough in my heart, the singing bird will come - Chinese proverb
-
- Over-Guru
- Innlegg: 1685
- Registrert: 03/10-2005 12:09
Den generelle løsningen av den separable differensiallikningen
[tex](1) \;\; y \:-\: \frac{4x^3}{y} \;=\; 0[/tex]
er
[tex]y \:=\: \pm \sqrt{2x^4 + C},[/tex]
der [tex]C[/tex] er en vilkårlig konstant. Ettersom [tex]\sqrt{2x^4 + C} \: \geq \: 0[/tex], har altså (1) to forskjellige løsninger: Den første er [tex]y \:=\: -\sqrt{2x^4 + C}[/tex] der [tex] y \leq 0[/tex] og den andre er [tex]y \:=\: \sqrt{2x^4 + C}[/tex] der [tex]y \geq 0.[/tex]
Så dersom grafen til [tex]y[/tex] passerer gjennom punktet ([tex]a,b[/tex]) der [tex]b \neq 0[/tex], må fortegnet foran kvadratrota i (1) være lik fortegnet til [tex]y[/tex]-koordinaten [tex]b[/tex]. M.a.o. gir [tex](a,b)=(2,-4)[/tex] den første løsningen [tex]y \:=\: -\sqrt{2x^4 + C}[/tex], som igjen medfører at [tex]C=-16.[/tex]
[tex](1) \;\; y \:-\: \frac{4x^3}{y} \;=\; 0[/tex]
er
[tex]y \:=\: \pm \sqrt{2x^4 + C},[/tex]
der [tex]C[/tex] er en vilkårlig konstant. Ettersom [tex]\sqrt{2x^4 + C} \: \geq \: 0[/tex], har altså (1) to forskjellige løsninger: Den første er [tex]y \:=\: -\sqrt{2x^4 + C}[/tex] der [tex] y \leq 0[/tex] og den andre er [tex]y \:=\: \sqrt{2x^4 + C}[/tex] der [tex]y \geq 0.[/tex]
Så dersom grafen til [tex]y[/tex] passerer gjennom punktet ([tex]a,b[/tex]) der [tex]b \neq 0[/tex], må fortegnet foran kvadratrota i (1) være lik fortegnet til [tex]y[/tex]-koordinaten [tex]b[/tex]. M.a.o. gir [tex](a,b)=(2,-4)[/tex] den første løsningen [tex]y \:=\: -\sqrt{2x^4 + C}[/tex], som igjen medfører at [tex]C=-16.[/tex]