Intergrasjon ved substitusjon

[gurgi]

1) [symbol:integral] t^2 [symbol:rot] 1-t^3 dt


") [symbol:integral] 2t [symbol:rot] 1-t^2 dt

Jeg skjønner ikke hvordan jeg får frem forskjellen i disse to oppgavene? hva skal jeg gjøre med t^2 i oppgave 1. og 2t i oppgave 2.?

[Nebuchadnezzar]

bruk at $u=1-t^3$ og $u=1-t^2$

[gurgi]

Ja det skjønner jeg

men kunne du vist utregningene, for jeg skjønner ikke hvor t^2 i første oppg og 2t i andre oppg kommer inn? Jeg skjønner ikke hvor forskjellen i fremgangsmåten er.

[Puzzleboy]

Fremgangsmåten er vel lik i begge disse oppgavene.

[gurgi]

ja, men hvordan brukes t`ene? i den ene oppgaven forsvinner den og i den andre skal den ganges inn på slutten.. er det noe fast regel på det?

[Puzzleboy]

$dx=\frac{du}{-3t^2}$
$dx=\frac{du}{-2t}$

skjønner ikke helt hva du mener, de forsvinner jo i begge, det må de vel for at en skal kunne bruke substitusjon.

[gurgi]

men skjønner ikke hvordan en skal komme frem til at oppg 2 . skal bli -2/3(1-t)^2/3

[Nebuchadnezzar]

Tar den første for deg, så klarer du sikkert den andre.
Helt lik fremgangsmåte

$\int t^2\sqrt{1-t^3}dt$

$u=1-t^3$ og $\frac{du}{dt}=-3t^2\Rightarrow dt=-\frac{du}{3t^2}$

$\frac{du}{dt}$ er en fancy måte å skrive den deriverte med tanke på u. Så behandler vi denne som en brøk for å få $dt$ alene. Når vi har $dt$ alene kan vi putte denne verdien inn i stykket vårt. Jeg aner ikke hvorfor dette funker men det gjør det.


$\int t^2\sqrt{1-t^3}dt$

$\int t^2\sqrt{u}\cdot \text{(}-\frac{du}{3t^2}\text{)}$

Her ser vi at vi byttet ut $1-t^3$ med $u$ og $dt$med $-\frac{du}{3t^2}$

$-\frac{1}{3}\int \sqrt{u}du$

Litt algebramagi

$2u^{3/2}+C$

Og resten er kake

$2\text{(}1-t^3{\text{)}}^{3/2}+C$

Setter tilbake verdien for u