Intergrasjon ved substitusjon

[gurgi]

1) [symbol:integral] t^2 [symbol:rot] 1-t^3 dt


") [symbol:integral] 2t [symbol:rot] 1-t^2 dt

Jeg skjønner ikke hvordan jeg får frem forskjellen i disse to oppgavene? hva skal jeg gjøre med t^2 i oppgave 1. og 2t i oppgave 2.?

[Nebuchadnezzar]

bruk at [tex]u=1-t^3[/tex] og [tex]u=1-t^2[/tex]

[gurgi]

Ja det skjønner jeg

men kunne du vist utregningene, for jeg skjønner ikke hvor t^2 i første oppg og 2t i andre oppg kommer inn? Jeg skjønner ikke hvor forskjellen i fremgangsmåten er.

[Puzzleboy]

Fremgangsmåten er vel lik i begge disse oppgavene.

[gurgi]

ja, men hvordan brukes t`ene? i den ene oppgaven forsvinner den og i den andre skal den ganges inn på slutten.. er det noe fast regel på det?

[Puzzleboy]

[tex]dx = \frac{du}{-3t^2}[/tex]
[tex]dx = \frac{du}{-2t}[/tex]

skjønner ikke helt hva du mener, de forsvinner jo i begge, det må de vel for at en skal kunne bruke substitusjon.

[gurgi]

men skjønner ikke hvordan en skal komme frem til at oppg 2 . skal bli -2/3(1-t)^2/3

[Nebuchadnezzar]

Tar den første for deg, så klarer du sikkert den andre.
Helt lik fremgangsmåte

[tex]\int t^2\sqrt{ 1-t^3}\, dt [/tex]

[tex]u = 1-t^3 \, [/tex] og [tex] \, \frac{du}{dt}=-3t^2\,\Rightarrow\, dt=-\frac{du}{3t^2}[/tex]

[tex]\frac{du}{dt}[/tex] er en fancy måte å skrive den deriverte med tanke på u. Så behandler vi denne som en brøk for å få [tex]dt[/tex] alene. Når vi har [tex]dt[/tex] alene kan vi putte denne verdien inn i stykket vårt. Jeg aner ikke hvorfor dette funker men det gjør det.


[tex]\int t^2 \sqrt{ 1-t^3}\, dt [/tex]

[tex]\int t^2\sqrt{u}\cdot \(-\frac{du}{3t^2}\) [/tex]

Her ser vi at vi byttet ut [tex]1-t^3[/tex] med [tex]u[/tex] og [tex]dt [/tex]med [tex]-\frac{du}{3t^2}[/tex]

[tex]-\frac{1}{3}\int \sqrt{u}\, du [/tex]

Litt algebramagi

[tex]2u^{3/2}+C[/tex]

Og resten er kake

[tex]2\(1-t^3 \)^{3/2}+C[/tex]

Setter tilbake verdien for u