Beregne integral - fremgangsmåte?

[Mirton]

Hei,

Skal beregne følgende integral:
[tex]\int sin(2x)cos(5x) \, \mathrm{d}x[/tex]

Er litt usikker på hvordan jeg skal angripe det..
Noe som slår meg er at
[tex]sin(2x) = 2sin(x)cos(x)[/tex] som erden deriverte av [tex]sin^2x[/tex], men vet ikke om det er relevant.

Noen tips til fremgangsmåte?

[Vektormannen]

Hva med delvis?

[Nebuchadnezzar]

Eller kompleks =)

[Emilga]

Som vektormannen sa: prøv delvis integrasjon. En ting å bite seg merke i her, er at det som er mellom [symbol:integral] og dx ikke forsvinner eller blir enklere slik det "vanligvis" gjør når du bruker delvis integrasjon. Da er det lurt å se om integralet ditt på venstre side også kommer igjen på høyre side, og så prøve å flytte dem begge til samme side.

[Nebuchadnezzar]

Er vell noe enklere å se at

[tex]\sin(2x) \cos(5x) \,=\, \frac{1}{2}[\sin(7x) \,-\, \sin(3x)] [/tex]

via å skrive om til kompleks form å gange ut, og sistnevnte er jo betraktelig pener å integrere, samtidig som den gir et penere svar

[Vektormannen]

Nå vet ikke jeg hvilke fag Mirton har eller har tatt, men det forutsetter jo kjennskap til komplekse tall.

[Mirton]

Hva med delvis?

Vil det si at utgangspunktet må bli slik:

[tex]\int sin(2x)cos(5x) \, \mathrm{d}x = \int(2sin(x)cos(x))(cos(5x)) dx[/tex]

Hvor [tex]2sin(x)cos(x) er u^\prime[/tex] og [tex]cos(5x)[/tex] er [tex]v[/tex] etter formelen:

[tex]\int u^\prime v\, dx = uv - \int uv^\prime\, dx[/tex] ?

[Mirton]

Er vell noe enklere å se at

[tex]\sin(2x) \cos(5x) \,=\, \frac{1}{2}[\sin(7x) \,-\, \sin(3x)] [/tex]

via å skrive om til kompleks form å gange ut, og sistnevnte er jo betraktelig pener å integrere, samtidig som den gir et penere svar

Enklere for deg, kanskje...

[Vektormannen]

Hva med delvis?

Vil det si at utgangspunktet må bli slik:

[tex]\int sin(2x)cos(5x) \, \mathrm{d}x = \int(2sin(x)cos(x))(cos(5x)) dx[/tex]

Hvor [tex]2sin(x)cos(x) er u^\prime[/tex] og [tex]cos(5x)[/tex] er [tex]v[/tex] etter formelen:

[tex]\int u^\prime v\, dx = uv - \int uv^\prime\, dx[/tex] ?

Du gjør det bare verre for deg selv om du skriver om [tex]\sin(2x)[/tex] til [tex]2\sin x\cos x[/tex], siden du da har tre faktorer, i stedet for bare to, som avhenger av x. Bare kjør på med delvis på det opprinnelige integralet. Da blir det lettere å finne u og v'.

[Mirton]

Prøvde å regne litt på det..
EDIT: FEIL

[Aleks855]

[tex](\sin 5x)^, \ = \ 5\cos 5x[/tex]

Du har visst integrert den istedet for å derivere den

[Mirton]

[tex](\sin 5x)^, \ = \ 5\cos 5x[/tex]

Du har visst integrert den istedet for å derivere den

Svingende helv.. denne oppgaven blir min død.

[Mirton]

.... Nå da?

[Aleks855]

Ser ikke helt hvordan du får 0 på et ubestemt integral. Du skal jo få en ny funksjon, ikke en konstant. Konstant er svar på bestemte integraler.

Tror dette blir lettere hvis du bruker at [tex]\sin \alpha \cos \beta = \frac12(\sin(\alpha - \beta) + \sin(\alpha + \beta))[/tex]

Da får du at [tex]\int \sin2x \cos5xdx \ = \ \frac12 \int (\sin7x - \sin3x)dx[/tex]

Så integrerer du ledd for ledd, så blir det piece of cake.

Du kan selvfølgelig løse det med delvis også, men faren for slurvefeil er betydelig større.

[dan]

.... Nå da?

Du har forsøkt å få [symbol:integral] sin(2x)cos(5x) som en ukjent ved å bruke delvis integrasjon to ganger? Jeg er redd det har sneket seg inn en feil i utregningen din, men jeg tror oppgaven blir veldig grei hvis du gjør som aleks foreslår over