OYV skrev:Ut fra " symmetrien " i uttrykket vil summen få sin største verdi når
( 2a + b + c )^3 = (a + 2b + c )^3 = ( a + b + 2c )^3
mingjun skrev:La $S$ være det oppgitte uttrykket. Ved gjentatte anvendelser av AM-GM har vi:
\[S \geq \frac{1}{(4\sqrt[4]{a^2bc})^3}+\frac{1}{(4\sqrt[4]{b^2ca})^3}+\frac{1}{(4\sqrt[4]{c^2ab})^3} = \dfrac{1}{64}\left(a^{-3/4}+b^{-3/4}+b^{-3/4}\right) \]
\[\geq \dfrac{1}{64}3\sqrt[3]{a^{-3/4}b^{-3/4}b^{-3/4}}=\dfrac{3}{64}.\]
Likhet er oppnådd når $a=b=c$.
Edit: hadde et falskt bevis ute i ca.3 min før jeg la merke til det. Forhåpentligvis var det bare meg
Markus skrev:Fungerer dette? Kan jeg for eksempel ta de antakelsene jeg har tatt?
Vi antar at $a = b = c$, slik at vi kan bruke AM-GM. Siden $abc = 1$, må da $a=b=c=1$
AM-GM gir
stensrud skrev:Husk at $1/a^{\frac34}=a^{-\frac34}\neq a^{\frac43}$.Markus skrev:Fungerer dette? Kan jeg for eksempel ta de antakelsene jeg har tatt?
Vi antar at $a = b = c$, slik at vi kan bruke AM-GM. Siden $abc = 1$, må da $a=b=c=1$
AM-GM gir
Her er idéene du bruker riktige, men føringen feil: Vi kan ikke fritt anta $a=b=c$, siden dette utgjør kun noen få av tilfellene. AM-GM-ulikheten sier at $\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$ uansett hva $a,b$ og $c$ er, så lenge de er positive. Og da er det ikke noe behov for å anta at $a=b=c$, siden ulikhetene gjelder uansett. (Det er sant at vi har likhet i AM-GM hvis og bare hvis alle variablene er like store). Her er et eksempel på hvordan man kan føre et AM-GM bevis:
La oss vise ulikheten $(x+y)(y+z)(z+x)\geq 8xyz$ for positive $x,y,z$: Det følger av AM-GM-ulikheten at $x+y\geq 2\sqrt{xy}$, og tilsvarende er $y+z \geq2\sqrt{yz}$ og $z+x\geq 2\sqrt{zx}$. Derfor er
\[(x+y)(y+z)(z+x)\geq (2\sqrt{xy})(2\sqrt{yz})(2\sqrt{zx})=8xyz, \]
som ønsket. Vi har likhet hvis og bare hvis $x=y=z$.
Tilbake til ulikheten i tråden så holder det ikke å bruke AM-GM direkte: Vi kan for eksempel gjøre $a^{-\frac34}$ vilkårlig stor. Jeg har tro på at det går an å løse ulikheten elementært, og i tillegg unngå å dele opp i tilfeller slik jeg gjorde, men da trenger vi noe som er litt skarpere enn AM-GM.
Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 20 gjester