Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.
Hei! Er det noen som har geniale måter å løse oppgave 6a del 2 på høstens S2-eksamen?
Oppgaveteksten:
Ane har en vanlig sekssidet terning. Hun ønsker å finne ut hvor mange ganger hun i gjennomsnitt må kaste terningen for å få det samme antallet øyne i to kast på rad.
a) Forklar at
$1+1+\frac{5}{6}+\left(\frac{5}{6}\right)^2+\left(\frac{5}{6}\right)^3+\ldots$
vil gi det forventede antallet kast Ane må gjøre for å få det samme antallet øyne i to kast på rad.
Bestem denne verdien.
Jeg har skrevet et løsningsforslag til denne (se vedlegget), men jeg synes det blir fryktelig tungvint. Det må da være enklere måter å løse den på?
Hallo !
Har studert løysinga di når det gjeld OPPG. 6 a ( del 2 ). Registrerer at du brukar
valgtre for å rekne ut sannsynet. Denne framstillinga vil fort kunne "svulme opp" og bli lite oversiktleg når treet får mange greiner . Likevel meiner eg at du har levert ei fullgod løysing. Her følgjer ei alternativ løysing som kanskje krev mindre plass:
P( kast nr. 1 er nødvendig ) = P( kast nr. 2 er nødvendig ) = 100 % = 1 ( trivielt )
Innfører så hendinga
H: To kast som følgjer etter kvarandre har forskjellig utfall
P( H ) = 1 – P( ikkje H ) = 1 – P( to like utfall ) = 1 – P( to 1-arar eller to 2-arar eller………to 6 – arar ) = 1 – ( 1/6 * 1/ 6 +……+ 1/6*1/6) = 1 – 6 * 1/36 = 1 – 6/36 = 1 – 1/6 = 5/36
P( kast nr. 3 er nødv. ) = P( kast nr. 1 og kast nr. 2 har forskjellig utfall ) = P( H ) = 5/6
P( kast nr. 4 er nødv. ) = P( kast nr. 3 er nødv. og samtidig kast nr. 4 er forskjellig frå kast nr. 3 ) = 5/6 * p( H ) = 5/6 * 5/6 = (5/6)^2
Same mønsteret gjentek seg: For kvart ledd vi går utover i serien vil sannsynet minke med ein faktor p( H ) = 5/6 ( som skulle visast )
Finn summen av serien
1 + 1 + 5/6 + (5/6)^2 + (5/6)^3 + …………………………………..
Denne summen kan skrivast som
1 + S( n ) der
S( n ) er ei konvergent geom. rekkje med førsteledd a_1 = 1 og kvotient k = 5/6
Vi får summen
S = 1 + lim( S(n ) ) ( n går mot inf ) = 1 + a_1/( 1 – k ) = 1 + 1/(1 – 5/6) = 1 + 6 = 7
b) Finn forventningsverdien til summen av antal auge.
Lat X vere antal auge for kast med ein( 1 ) terning.
Jeg er helt enig i at det er mye lurere å ta utgangspunkt i sannsynlighetene du har satt opp (eller sannsynlighetene i tabellen i oppgaven). Problemet ligger i hva oppgaven ber oss om å forklare.
Vi skal forklare at $1+1+\frac{5}{6}+\left(\frac{5}{6}\right)^2+\left(\frac{5}{6}\right)^3+\ldots$ vil gi oss det forventede antall kast. Sånn jeg leser denne oppgaven så skal vi altså forklare at $\text{E(Antall kast nødvendig)}=1+1+\frac{5}{6}+\left(\frac{5}{6}\right)^2+\left(\frac{5}{6}\right)^3+\ldots$
Såvidt jeg klarer å se, så viser du kun hvordan Ane har funnet sannsynlighetene som er skrevet i tabellen.
Tusen hjertelig takk @Mattebruker! Dessverre er induksjonsbevis kun pensum i R2.
Jeg tolker ikke oppgaven slik at vi skal bevise at [tex]1+1+\frac{5}{6}+\left(\frac{5}{6}\right)^2+\left(\frac{5}{6}\right)^3+\ldots[/tex] gir [tex]\text{E}(X)[/tex], men oppgaven ber oss å forklare «at det er sånn». Så mitt spørsmål er egentlig hva eksamensgruppa har tenkt at en S2-elev skal svare her.
Forventet antall kast etter åpningskastet er 1 + 5/6 + (5/6)^2 + ...+ (5/6)^n = 1/(1-5/6) = 6 fordi denne summen består av ledd hvor hvert av dem kan betraktes som et vektet tilleggskast, 1*1+1*(5/6 )+ 1*(5/6)^2 + ...+1* (5/6)^n og hvor hver vekt, (5/6)^n, angir hvor stor andel av dette tillegget på 1 skal telle med i summeringen opp til samlet forventet antall. Vi ser da også at denne summen stemmer med summen gitt av formelen for forventet antall kast når sannsynligheten for match mellom to nabokast = 1/6:
1 + (5/6)^1*1 + (5/6)^2*2 + ...+ (5/6)^n*n etter åpningskastet = 6.
Last edited by jos on 03/12-2025 12:26, edited 1 time in total.
Synes vel at mitt forrige innlegg ble vel kompakt og kryptisk. Skal her forsøke å elaborere litt.
Oppdraget i oppgaven er:
Forklar at 1+ 1+5/6 + (5/6)^2 + .....+(5/6)^n
vil gi det forventede antallet (terning)kast Ane må gjøre for å få det samme antallet øyne i to kast på rad.
Siden dette forventede antallet åpenbart = 1+6, = 7 vil det enkle svaret være å vise at summen S = 1+5/6 + (5/6)^2 + .....+(5/6)^n er summen av en konvergent rekke hvor det første leddet =1 og kvotienten = 5/6 = 1/(1-5/6)= 1/(1/6) =6. Altså 1+S = 1+6 = 7.
Og det er det. Men oppgaven synes også å etterspørre en forklaring på Anes handlinger, hennes oppsett av tabellen og summeringen av elementene i den. En handlingsforklaring består av to hovedelementer, et ønske hos aktøren og en oppfatnning aktøren har av hvordan en handling rimelig effektivt kan realisere dette ønsket. Ønsket vil her være å finne det forventede antall kast og oppfatningen den at summeringen av 1 + (5/6)^n hvor n løper fra 0 til uendelig er et effektivt middel. Problemet med denne forklaringen er at det ikke er åpenbart at Ane vet at denne summeringen er et effektivt middel til målet. Og mer spesifikt, hvis hun på annen måte visste at at det forventede antall kast var 6, ville selve summeringen være overfødig. Hun trengte ikke å foreta summeringen, men heller f.eks. anlegge den betraktning at hvis en hendelse inntreffer med en sannsynlighet 1/6, vil den gjennomsnittlige avstanden mellom ganger den inntreffer være 1/(1/6) = 6.
Så for å forklare Anes handlinger må vi anta at Ane har grunn til å tro at summen ikke bare = 6, men at summeringen i tillegg er en effektiv metode for å beregne forventet antall kast. Men å påvise at summen S av den konvergente rekken har en bestemt verdi, her 6, er noe annet ennå vise at summen gir forventningsverdien til antall kast.
Med utgangspunkt i den gjengse definisjonen av forventet verdi viser stalegjelsten i en heroisk multiplikasjonsprosess at
forventningsverdien til X, E(X), når X er geometrisk fordelt, slik hendelsen at et terningkast har samme utfall som det foregående er, er gitt av summen (5/6)^n hvor n løper fra 0 til uendelig. Men hvis Ane ikke vet at det er tilfelle, vil dette faktumet ikke kunne forklare at hun foretar denne summeringen. Så som forklaring på Anes handlinger havner summeringen i et håpløst dilemma. Den er enten ikke en forklaring, eller så er den overflødig.
