Geometri *hjelp*

[Nala]

Har fått en oppgave som jeg ikke klarer å løse... noen som kan hjelpe meg?

Oppgaven er denne:

En rett kjegle er innskrevet i en kule med radius 2. Kall radien i kjeglen for r og kjeglas høyde for x.

a) Vis at r= [symbol:rot] 4x-x^2

b) finn volumet av kjegelen uttrykt ved x

c) finn det største volumet kjegla kan ha, helst ved regning.

Hadde i alle fall vært supert med litt drahjelp til å komme gang.
på forhånd takk...

[Charlatan]

Hvordan kan man vite radiusen av kjeglen hvis man kun vet høyden??
Radiusen kan jo forandre seg uavhengig av høyde.

[Nala]

Regner med at kjeglegrunnflaten fyller kula helt ut i kantene... og hvis høyden er gitt da så må vel r i kjeglegrunnfalten være konstant ???

[Charlatan]

Tenker du nå høyden fra grunnflatens kant? Eller fra midten?

[Nala]

jeg tenkte fra midten... den kan vel ikke forandre seg noe mer enn om det hadde vært kjeglas sidelengde?
eller er jeg helt ute og kjøre nå?

[Charlatan]

Tenk da;

Du kan tenke deg en kjegle som har radius på 2cm og en høyde på 4 cm.
Du kan samtidig tenke deg en kjegle som har radius på 2cm og en høyde på 5cm.

Høyden og radiusen av en kjegle er uavhengige av hverandre. Hvis du hadde visst for eksempel Arealet, eller Volumet av denne kjeglen hadde det vært noe annet.

[Nala]

Ja, tror jeg skjønner poenget ditt nå. Men jeg tenkte at iom at kjegla er sperra inne i en kule med gitt radius... så ville kjegla ha gitte mål. Men dvs at slik du tenker det, så trenger jeg ett fastsatt mål til på kjegla for å kunne regne det ut??? Så oppgaven er kanskje ikke komplett?

[Charlatan]

Hvis kjegla hadde vært sperret inne i en kule, tror jeg utregningen ville vært ganske mer komplisert. Jeg tror ikke oppgaven er komplett, nei, men det kan være jeg har misforstått.

Uansett, du får ingen informasjon om at kjeglens høyde har noen begrensninger i det hele tatt, eller at radiusen avhenger av høyden på noen måte.

[Nala]

Nei er sant... tenkte kanskje det var en smart måte
Men tusen takk for at du tok deg tid til å kikke på det

[ettam]

a) Vis at r= [symbol:rot] 4x-x^2

Har endret innlegget noe og lagt inn en figur:

http://bildr.no/thumb/53138.jpeg

(Det var irriterende, får ikke figuren noe større...)

Se på figuren over, pytagoras gir oss:


[tex](x-2)^2 + r^2 = 2^2 [/tex]

[tex]x^2 - 4x - 4 + r^2 = 4[/tex]

[tex]r^2 = 4 - 4 + 4x - x^2 [/tex]

[tex]r^2 = 4x - x^2[/tex]

[tex]r = \pm \sqrt{4x - x^2}[/tex]

Her har vi kun bruk for den ene av løsningene, den andre er den "speilvendte" løsningen:

[tex]\underline{\underline{r = \sqrt{4x - x^2}}[/tex] q.e.d.

[ettam]

b) finn volumet av kjegelen uttrykt ved x

[tex]V(x) = \pi r^2 h = \pi \cdot (\sqrt{4x-x^2})^2 \cdot x = \pi (4x-x^2)x [/tex]

[tex]\underline{\underline{V(x) = 4\pi x^2 - \pi x^3}}[/tex]

[ettam]

c) finn det største volumet kjegla kan ha, helst ved regning.

Her må du derivere [tex]V(x)[/tex], og finne toppunktet:

[tex]V(x) = 4\pi x^2 - \pi x^3[/tex]

[tex]V^{,}(x) = (4\pi x^2 - \pi x^3)^{,} = 8\pi x - 3\pi x^2[/tex]

Faktoriserer [tex]V^{,}(x)[/tex]:

[tex]V^{,}(x) = \pi x (8 - 3x)[/tex]

Fortegnslinje for [tex]V^{,}(x)[/tex]:
_________________0____________________8/3________________
[tex]\pi x[/tex] ----------------------0_____________________________________
[tex](8 - 3x)[/tex] _______________________________0----------------------------------------------
[tex]\pi x (8 - 3x)[/tex] ------------0_____________________0-----------------

Ser at vi har et toppunkt for [tex]x = \frac 83[/tex]

Største volumet blir da:

[tex]V(\frac 83) = 4\pi (\frac 83)^2 - \pi (\frac 83)^3 [/tex]

[tex]\underline{\underline{V(\frac 83) = \frac{256}{27} \pi \approx 29,8}}[/tex]

[Nala]

WOW!!
Bøyer meg i støvet... TUUUSEN TAKK

Skal sette meg ned og studere og skjønne hva du har gjør her...

[ettam]

Flott at du gjør det, setter deg ned å regner over mener jeg.

Spør dersom det er noe, ikke sikkert at du får raskest svar av meg. Men på dette forumet finnes det mange lyse hoder som kan hjelpe deg.

Er forresten litt overrasket at innlegget ditt har ligget så lenge ute uten å få svar. De lyse hodene har kanskje tatt påskeferie...

[ettam]

En ting:

Hvor kommer oppgaven fra? Lærebok og oppgave nr.?

Eller er dette en gammel eksamensoppgave?

Greit å vite skjønner du, så slipper jeg å regne oppgaven helt på nytt en annen gang...