Logaritmefunksjoner

[Mr.Anki]

Hei,

Har en oppgave her jeg ikke helt får til:

Rett etter midnatt kom det et kraftig regnvær i nærheten av en stor elv. x timer etter midnatt var vannstanden i elve f(x) cm over det normale, der
f(x) = -15(lnx)^2+45lnx for x E [1,21>

Finn ved regning når vannstanden var på det høyeste. Hvor mange cm over det normale var vannstanden da?

Da skal en vel derivere f(x) for å finne toppunktet:

f'(x) = 2* -15(lnx) + 45lnx
f'(x) = -30lnx* 1/x + 45*1/x

f'(x) = -30lnx/x + 45/x

f'(x) = -30lnx + 45/x

Her står jeg fast. Noen tips?

[Vektormannen]

Du gjør rett frem til siste linja. Hvorfor forsvinner x-en i nevneren i det ene leddet her? Stopp opp på [tex]f^\prime(x) = \frac{-30 \ln x}{x} + \frac{45}{x}[/tex].

En fellesfaktor her er [tex]\frac{15}{x}[/tex]. Faktoriser:

[tex]f^\prime(x) = \frac{15}{x}(-2 \ln x + 3)[/tex]

Finn nullpunkt(ene) til f'(x).

[Mr.Anki]

okei, så da blir dette nullpunktet?

-2lnx+3=0
-2lnx=-3
lnx = -3/-2

x = e^-3/-2

[Vektormannen]

Ja, stemmer. Da har du hvor mange timer etter midnatt vannstanden er på det høyeste.

[Mr.Anki]

Har jeg?

Skal jeg sette inn x = e^-3/-2 i f'(x) eller f(x)?

[Vektormannen]

Hva tror du? Hvilken av funksjonene gir deg vannstanden etter x timer? f'(x) eller f(x)?

Og ja, [tex]x = e^{\frac{3}{2}} \approx 4.5[/tex] betyr at vannstanden er på det høyeste 4.5 timer etter midnatt, altså kl. 04.30.

[Mr.Anki]

opps, det var så enkelt ja. Trodde jeg måtte sette inn x i funksjonen jeg.

Takk


Kommer mer senere.

[Mr.Anki]

"Når er vannstanden tilbake til det normale?"

Hvordan skal en gjøre det?

[Realist1]

finne nullpunkt

[Mr.Anki]

Så en skal ikke bare sette inn 0 istedefor x?

[Vektormannen]

x er jo timer. Når du setter inn 0 for x finner du med andre ord vannstanden etter 0 timer. Er det det du skal?

[Mr.Anki]

okei.

Nullpunktet til f(x) :

f(x) = 0
-15(lnx) + 45(lnx) = 0
-15 (lnx - 15lnx) = 0

Skal en da flytte over -15 eller noe annet?

[Vektormannen]

Du kan jo bare trekke sammen ln x-leddene her. Hvorfor faktoriserer du?

-15 ln x + 45 ln x = 30 ln x

30 ln x = 0

Tar du den?

[Mr.Anki]

Egenltig ikke nei


30 ln x = 0
lnx = 30 ?
x = ?

[Vektormannen]

Du kan ikke flytte over faktorer, men du kan dele med samme tall på begge sider. Deler du med 30 får du

30 ln x / 30 = 0 / 30

ln x = 0

x = 1