Introduksjon til differensiallikninger: Forskjell mellom sideversjoner

Siste sideversjon per 12. okt. 2021 kl. 11:25

Innledning

En differensialligning vil typisk beskrive en forandring av en variabel i tid og/eller rom. Den skiller seg fra "vanlige" ligninger ved at løsningene er funksjoner, ikke bestemte verdier. Teorien for differensialligninger er fundamental for forståelsen av dynamikken i naturen og danner grunnlaget for blant annet klassisk mekanikk og kvantemekanikk. Vi deler diff.ligningene inn i partielle og ordinære ligninger, der matematikken i videregående skole kun fokuserer på ordinære ligninger, ofte kalt ODE (Ordinary Differential Equations). Dvs. at løsningsfunksjonen kun har én variabel, som oftest kalt $t$ (for tid) eller $x$ (for rom). Det er vilkårlig hvilken notasjon vi bruker så lenge vi er bevisst på hva som er den ukjente funksjonen og hva som er variabelen.

På ungdomstrinnet og videregående grunnkurs arbeidet man med ligninger der den ukjente var et tall, ofte kalt $x$ .

I differensialligninger er den ukjente en funksjon $y (x)$ . En differensialligning gir sammenhengen mellom en ukjent funksjon og noen av dens deriverte.

I denne artikkelen skriver vi $y^{'}$ og $\frac{d y}{d x}$ om hverandre. Den siste skrivemåten kalles Leibniz' notasjon etter den tyske filosofen og matematikeren Gottfried Wilhelm Leibniz.

Man bør være fortrolig med ligninger, funksjonslære, integrasjon og derivasjon før man gir seg i kast med differensialligninger.

Ligningene er viktige i fysikk og andre fag, der de kan brukes til å modellere forskjellige situasjoner der størrelser forandrer seg over tid.

Ordenen til en diff.ligning

Formelt vil en ordinær diff.ligning være på formen $g (x, f, f^{'}, f^{''}, \dots, f^{(n)}) = 0$ der $g$ er en gitt funksjon. $n$ kalles ligningens orden og $f^{(n)}$ er den n-te deriverte. $f$ er her den ukjente funksjonen som vi ønsker å finne, og $x$ er variabelen som vi deriverer med hensyn på, dvs. $f^{'} \equiv \frac{d f}{d x}$ , $f^{''} \equiv \frac{d^{2} f}{d x^{2}}$ , etc.

Eksempel: Diff.ligning av første orden

En enkel ordinær differensialligning av første orden er $f^{'} (x) = 0$ . Løsningen finnes direkte ved integrasjon; vi får at $f (x) = c$ for en konstant $c$ .

Eksempel: Diff.ligning av 2.orden

En enkel andreordens ordinær differensialligning er $m \ddot{x} (t) = 10$ . Dette er Newtons andre lov med konstant kraft (10 N) der $x (t)$ er posisionen ved tida $t$ . De to prikkene over $x$ betyr at vi dobbeltderiverer $x$ med hensyn på tiden.

Førsteordens lineære ligninger

Lineære differensialligninger av første orden kan skrives på formen

$y^{'} + a y = b$

Her er $a$ og $b$ enten gitte konstanter, eller funksjoner av $x$ . At en ligning er av første orden betyr at den inneholder den førstederiverte, $y^{'}$ , men ikke deriverte av høyere orden ( $y^{''}$ , $y^{(3)}$ etc.). At en ligning er lineær betyr at $y$ og $y^{'}$ inngår som lineære faktorer i leddene. Ligningen $y^{'} + y^{2} = 3$ vil f.eks. ikke være lineær siden vi har et ledd med $y^{2}$ .

Homogene og inhomogene førsteordens diff.ligninger

Dersom $b \neq 0$ i ligning kalles den inhomogen. Dersom $b = 0$ kalles diff.ligningen homogen. En homogen, lineær diff.ligning av første orden er altså på formen

$y^{'} + a y = 0$

Slike ligninger kan løses på to måter:

Multiplikasjon med integrerende faktor
Som en separabel ligning

Integrerende faktor

Når vi bruker integrerende faktor tenker vi multiplikasjonsregelen for derivasjon, baklengs. Vi omformer da to ledd til et produkt. Den integrerende faktorene er $e^{a x}$ der a er a'en i $y^{'} + a x = b$

Eksempel: Homogen ligning, integrerende faktor

Vi skal løse $y^{'} + 2 y = 0$ . Integrerende faktor er $e^{2 x}$ .

$\begin{aligned} y^{'} + 2 y & = 0 \\ e^{2 x} y^{'} + 2 e^{2 x} y & = 0 Multiplisert med integrerende faktor \\ (e^{2 x} y)^{'} & = 0 \\ e^{2 x} y & = C \\ y & = C e^{- 2 x} \end{aligned}$

For å finne ut hva $C$ er trenger man i tillegg en initialbetingelse (startbetingelse) på løsningen. Det behandles i avsnittet om Initialverdiproblemer.

Eksempel: Inhomogen ligning, integrerende faktor

Vi skal løse $y^{'} + 4 y = 6$ . Integrerende faktor er $e^{4 x}$ .

$\begin{aligned} y^{'} + 4 y & = 6 \\ e^{4 x} y^{'} + 4 e^{4 x} y & = 6 e^{4 x} Multiplisert med integrerende faktor \\ (e^{4 x} y)^{'} & = 6 e^{4 x} \\ e^{4 x} y & = \int 6 e^{4 x} d x \\ e^{4 x} y & = \frac{3}{2} e^{4 x} + C \\ y & = \frac{3}{2} + C e^{- 4 x} \end{aligned}$

For å finne ut hva $C$ er trenger man i tillegg en initialbetingelse (startbetingelse) på løsningen.

Separable differensiallikninger

Separable ligninger er på formen

$\frac{d y}{d x} = g (x) \cdot h (y)$

, der $g (x)$ og $h (y)$ er gitte funksjoner som vanligvis er relativt enkle å integrere. Merk at funksjonsargumentet til $h (y)$ er den funksjonen vi skal finne, men vi behandler likevel $y$ som en vanlig variabel. Ligningen løses ved å multiplisere med differensialet $d x$ på begge sider av likhetstegnet, dividere med $h (y)$ , for så å integrere. Vi kan løse en generell separabel ligning formelt slik:

$\begin{aligned} \frac{d y}{h (y)} & = g (x) d x \\ \int \frac{d y}{h (y)} & = \int g (x) d x \\ F (y) & = G (x) + C \\ y (x) & = F^{- 1} (G (x) + C) \end{aligned}$

, der $F (y)$ er integralet av $(h (y))^{- 1}$ og $G (x)$ integralet av $g (x)$ . $C$ er en integrasjonskonstant og $F^{- 1}$ er inversfunksjonen til $F$ .

Eksempel: Separabel ligning

Vi skal løse ligningen $y^{'} + 4 x y = 0$ som en separabel ligning. Da er det lurt å bruke Leibniz' notasjon. Vi omskriver til: $\begin{aligned} \frac{d y}{d x} & = - 4 x y \\ \frac{d y}{y} & = - 4 x d x \\ \int \frac{d y}{y} & = \int - 4 x d x \\ \ln | y | & = - 2 x^{2} + C \\ y & = e^{- 2 x^{2} + C} \\ y & = y_{0} \cdot e^{- 2 x^{2}} \end{aligned}$

Her har vi omdøpt konstanten foran eksponentialfunksjonen, slik at $y_{0} = e^{C}$ . Ved å sette løsningen inn i den opprinnelige diff.ligningen, ser vi at løsningen stemmer.

Homogene lineære andreordens diff.ligninger med konstante koeffisienter

En generell andreordens diff.ligning er på formen

$A (x) y^{''} + B (x) y^{'} + C (x) y = D (x)$

Ligningen er homogen dersom $D (x) = 0$ . Det gir oss $A (x) y^{''} + B (x) y^{'} + C (x) y = 0$
Konstante koeffisienter betyr at $A (x)$ , $B (x)$ og $C (x)$ er konstanter uavhengig av $x$ . Vi skriver ligningen på formen $y^{''} + b y^{'} + c y = 0$
Andreordens betyr at den dobbelderiverte opptrer i ligningen. I en tredjeordens ligning vil den tredjederiverte opptre.
Lineær betyr at produkter eller potenser av $y$ og dens deriverte ikke forekommer i ligningen. $y^{''} = y y^{'}$ er således et eksempel på en ikkelineær ligning.
Karakteristisk ligning til $y^{''} + b y^{'} + c y = 0$ er $r^{2} + b r + c = 0$

Den karakteristiske ligningen kan ha tre ulike typer løsninger:

To ulike reelle røtter
Én reell rot
To komplekse røtter

Dersom ligningen har to reelle røtter gir det generell løsning

$y (x) = C_{1} e^{r_{1} x} + C_{2} e^{r_{2} x}$

Eksempel: To reelle røtter

$y^{''} + y^{'} = 2 y y^{''} + y^{'} - 2 y = 0 r^{2} + r - 2 = 0 r = 1 \lor r = 2 y (x) = C_{1} e^{x} + C_{2} e^{2 x}$

Test deg selv

Dersom ligningen har én reell rot blir løsningen på formen

y (x) = C_{1} e^{r x} + C_{2} x e^{r x}

Eksempel: Én reell rot

$4 y^{''} + 8 y^{'} + 4 y = 0 r^{2} + 2 r + 1 = 0 r = - 1 y (x) = C_{1} e^{- x} + C_{2} x e^{- x}$

Test deg selv

Dersom ligningen har to komplekse røtter, $r_{1} = a + i b$ og $r_{2} = a - i b$ , blir løsningen

y (x) = e^{a x} (C_{1} \cos (b x) + C_{2} \sin (b x))

Eksempel: To komplekse røtter

$y^{''} - y^{'} + y = 0 r^{2} - r + 1 = 0 r_{1} = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} i, r_{2} = \frac{1}{2} - \frac{3}{2} i y (x) = e^{\frac{1}{2} x} (C_{1} \cos (\frac{3}{2} x) + C_{2} \sin (\frac{3}{2} x))$

Test deg selv

Initialverdiproblemer

I eksemplene over (og senere) ser man at den generelle løsningen inneholder en eller to konstanter $C_{1}$ og $C_{2}$ . Disse kan i utgangspunktet være et hvilket som helst reelt tall. For å finne den spesielle løsningen til en ligning trenger man en eller flere tileggsopplysninger.

Når en differensialligning er gitt med initialbetingelser kalles det for et initialverdiproblem.

Initialbetingelsen(e) kan være knyttet til situasjonen ved tiden $t = 0$ , altså når en prosess starter, eller den kan gis i form av en funksjonsverdi for en annen argumentverdi.

Eksempel: Initialverdiproblem

Finn den spesielle løsningen til initialverdiproblemet:

$\frac{d y}{d x} = 3 x + 2 y (1) = 3 d y = (3 x + 2) d x y (x) = \int 3 x + 2 d x y (x) = \frac{3}{2} x^{2} + 2 x + C$

Dette er den generelle løsningen.

For å finne den spesielle løsningen benytter vi opplysningen

y (1) = 3

.

$y (1) = \frac{3}{2} \cdot 1^{2} + 2 \cdot 1 + C = 3 C = - \frac{1}{2}$

Den spesielle løsningen blir:

$y (x) = \frac{3}{2} \cdot x^{2} + 2 x - \frac{1}{2}$

Retningsdiagram

Førsteorden ligninger kan skrives som $y^{'} (x) = F (x, y)$ der $x$ er den variable og $y$ er den ukjente

funksjonen. Dette gir stigningstallet til tangen i punktet $(x, y)$ . Dette gir et bilde av hvordan grafene til løsningsfunksjonene ser ut og kalles et retningsdiagram for differensialligningen.

På engelsk er betegnelsen "slope field".

Utfra retningsdiagrammet får vi også et bilde av hvordan ulike integralkurver ser ut.

Eksempel: Retningsdiagram

Gitt er ligningen $y^{'} = 2$

Vi observerer at stigningstallet til $y (x)$ er $2$ for alle $x$ . Løsningen på ligningen er en eller

annen rett linje med stigningstall

2

. Et retningsdiagram illustrerer dette:

Dersom man løser ligningen $y^{'} = 2$

får man $y = 2 x + C$ , når man integrerer på begge sider.

Vi ser nå at retningsdiagrammet stemmer: $C$ skyver grafen opp eller ned i koordinatsystemet. Verken $x$ eller $y$ har noen betydning for grafens form. Diagrammet indikerer en løsning for $y = 2 x + 1$

Eksempel: Retningsdiagram

Gitt er ligningen $y^{'} = x + 1$

Man observerer at stigningstallet til $y (x)$ varierer med varierende $x$ -verdi, og er $0$ for $x = - 1$ . Det gir følgende retningsdiagram:

Dersom man løser ligningen $y^{'} = x + 1$ får man $y = \frac{1}{2} x^{2} + x + c$ når man integrerer på begge sider.

Retningsdiagrammet indikerer at løsningen er en parabel med minimum i $x = - 1$ .

@@ Linje 1: / Linje 1: @@
+==Innledning==
+En differensialligning vil typisk beskrive en forandring av en variabel i tid og/eller rom. Den skiller seg fra "vanlige" ligninger ved at løsningene er funksjoner, ikke bestemte verdier. Teorien for differensialligninger er fundamental for forståelsen av dynamikken i naturen og danner grunnlaget for blant annet klassisk mekanikk og kvantemekanikk. Vi deler diff.ligningene inn i partielle og ordinære ligninger, der matematikken i videregående skole kun fokuserer på ordinære ligninger, ofte kalt ODE (Ordinary Differential Equations). Dvs. at løsningsfunksjonen kun har én variabel, som oftest kalt  $t$  (for tid) eller  $x$  (for rom). Det er vilkårlig hvilken notasjon vi bruker så lenge vi er bevisst på hva som er den ukjente funksjonen og hva som er variabelen.
-== Innledning ==
-En differensialligning vil typisk beskrive en forandring av en variabel i tid og/eller rom. Den skiller seg fra "vanlige" ligninger ved at løsningene er funksjoner, ikke bestemte verdier. Teorien for differensialligninger er fundamental for forståelsen av dynamikken i naturen og danner grunnlaget for blant annet klassisk mekanikk og kvantemekanikk. Vi deler diff.ligningene inn i partielle og ordinære ligninger, der matematikken i videregående skole kun fokuserer på ordinære ligninger, ofte kalt ODE (Ordinary Differential Equations). Dvs. at løsningsfunksjonen kun har én variabel, som oftest kalt t (for tid) eller x (for rom). Det er vilkårlig hvilken notasjon vi bruker så lenge vi er bevisst på hva som er den ukjente funksjonen og hva som er variabelen.
-<p></p>
-På ungdomstrinnet og på videregående grunnkurs arbeidet man med ligninger der den ukjente var et tall, ofte kalt x.
-<p></p>
-I differensialligninger er den ukjente en funksjon y. En differensialligning gir sammenhengen mellom en ukjent funksjon og noen av dens deriverte.
-<p></p>
-I avsnittet skriver vi y’ og <tex> \frac{dy}{dx}</tex> om hverandre.
+* På ungdomstrinnet og videregående grunnkurs arbeidet man med ligninger der den ukjente var et tall, ofte kalt  $x$ .
-<p></p>
-Man bør være fortrolig med ligninger, funksjonslære, integrasjon og derivasjon før man gir seg i kast med differensialligninger.
+* I differensialligninger er den ukjente en funksjon  $y (x)$ . En differensialligning gir sammenhengen mellom en ukjent funksjon og noen av dens deriverte.
-<p></p>
-Ligningene er viktige i fysikk og andre fag, der de kan brukes til å modellere forskjellige situasjoner.
+* I denne artikkelen skriver vi  $y^{'}$  og  $\frac{d y}{d x}$  om hverandre. Den siste skrivemåten kalles Leibniz' notasjon etter den tyske filosofen og matematikeren Gottfried Wilhelm Leibniz.
-<p></p>
+* Man bør være fortrolig med ligninger, funksjonslære, integrasjon og derivasjon før man gir seg i kast med differensialligninger.
+* Ligningene er viktige i fysikk og andre fag, der de kan brukes til å modellere forskjellige situasjoner der størrelser forandrer seg over tid.
+== Ordenen til en diff.ligning ==
+Formelt vil en ordinær diff.ligning være på formen  $g (x, f, f^{'}, f^{''}, \dots, f^{(n)}) = 0$  der  $g$  er en gitt funksjon.  $n$  kalles ligningens ''orden'' og  $f^{(n)}$  er den n-te deriverte.  $f$  er her den ukjente funksjonen som vi ønsker å finne, og  $x$  er variabelen som vi deriverer med hensyn på, dvs.  $f^{'} \equiv \frac{d f}{d x}$ ,  $f^{''} \equiv \frac{d^{2} f}{d x^{2}}$ , etc.
-Formelt vil en ordinær diff.ligning være på formen <tex>g(x,f,f^, ,f^{,,},\ldots , f^{(n)})=0</tex> der <tex>g</tex> er en gitt funksjon. <tex>n</tex> kalles ligningens ''orden'' og <tex>f^{(n)}</tex> er den n-te deriverte. <tex>f</tex> er her den ukjente funksjonen som vi ønsker å finne, og <tex>x</tex> er variabelen som vi deriverer m.h.p. på, i.e. <tex>f^,\equiv \frac{df}{dx}</tex> etc.
+<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
+'''Eksempel: Diff.ligning av første orden'''
-<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
+En enkel ordinær differensialligning av første orden er <math>f^{\prime}(x)=0</math>. Løsningen finnes direkte ved integrasjon; vi får at  $f (x) = c$  for en konstant <math>c</math>.
-'''Eksempel'''
+</div>
-:En enkel ordinær differensialligning av første orden er <tex>f^{,}(x)=0</tex>. Løsningen finnes direkte ved integrasjon; vi får at <tex>f(x)=c</tex> for en konstant <tex>c</tex>.
-</blockquote>
-<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
+<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
-'''Eksempel'''
+'''Eksempel: Diff.ligning av 2.orden'''
-:En enkel andreordens ordinær differensialligning er <tex>m\ddot{x}(t)=10</tex>. Dette er Newtons andre lov med konstant kraft (10 Newton) der <tex>x(t)</tex> er posisionen ved tida <tex>t</tex>.
+En enkel andreordens ordinær differensialligning er <math>m\ddot{x}(t)=10</math>. Dette er Newtons andre lov med konstant kraft (10 N) der <math>x(t)</math> er posisionen ved tida <math>t</math>. De to prikkene over <math>x</math> betyr at vi dobbeltderiverer <math>x</math> med hensyn på tiden.
-</blockquote>
+</div>
 == Førsteordens lineære ligninger ==
-Lineære differensialligninger av første orden:
+Lineære differensialligninger av første orden kan skrives på formen
-(1) y’ + ay = b
+<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">
+\begin{equation}
+\label{linearEqFirstOrder}
+y' + ay = b
+\end{equation}
+</div>
-At en likning er av første orden betyr at den inneholder y'.
+Her er  $a$  og  $b$  enten gitte konstanter, eller funksjoner av  $x$ . At en ligning er av ''første orden'' betyr at den inneholder den førstederiverte, $y' $, m e n i k k e d e r i v e r t e a v h ø y e r e o r d e n ($ y^{\prime\prime} $,$ y^{(3)} $e t c .) . A t e n l i g n i n g e r^{″} l i n e æ r^{″} b e t y r a t$ y $o g$ y' $i n n g å r s o m l i n e æ r e f a k t o r e r i l e d d e n e . L i g n i n g e n$ y'+y^2=3 $v i l f . e k s . i k k e v æ r e l i n e æ r s i d e n v i h a r e t l e d d m e d$ y^2$.
-Dersom ligningen er homogen er b = 0:
-(2) y’ + ay = 0
+=== Homogene og inhomogene førsteordens diff.ligninger ===
+Dersom  $b \neq 0$  i ligning  kalles den ''inhomogen''. Dersom  $b = 0$  kalles diff.ligningen ''homogen''. En homogen, lineær diff.ligning av første orden er altså på formen
-For å løse ligninger av denne type benytter man produktregelen for derivasjon ”baklengs”. I den sammen heng er multiplikasjon med <tex>e^{ax}</tex> en del av løsningsalgoritmen (a den samme som i (1) eller (2). <tex>e^{ax}</tex> kalles en integrerende faktor.
+\begin{equation}
+\label{linearHomEqFirstOrder}
+y' + ay = 0
+\end{equation}
+Slike ligninger kan løses på to måter:
-Derivasjon: u’v + v’u = (uv)’
+* Multiplikasjon med ''integrerende faktor''
+* Som en ''separabel'' ligning
+=== [[Integrerende faktor]] ===
-<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
+Når vi bruker integrerende faktor tenker vi multiplikasjonsregelen for derivasjon, baklengs. Vi omformer da to ledd til et produkt. Den integrerende faktorene er  $e^{a x}$  der a er a'en i $y' + ax = b$
+<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
-'''Eks. 1''' <p></p>
-Homogen første ordens lineære ligning:
-    <p> y&rsquo; +2y = 0 (multipliserer begge sider med e <sup>2x</sup>) </p>
-    <p> y&rsquo;e<sup>2x</sup> + 2ye<sup>2x</sup> = 0 </p>
-    <p> y&rsquo;e<sup>2x</sup> + y(2e<sup>2x</sup>) = 0 </p>
-    <p> (ye<sup>2x</sup>)&rsquo; = 0 </p>
-    <p> ye<sup>2x</sup> = C </p>
-    <p> y = Ce<sup>-2x</sup> </p>
-	For å finne ut hva C er trenger man en opplysning til, i tillegg til ligningen. Det behandles i avsnittet om Initialverdiproblemer.
+'''Eksempel: Homogen ligning, integrerende faktor''' <p></p>
-</blockquote>
+Vi skal løse  $y^{'} + 2 y = 0$ . Integrerende faktor er  $e^{2 x}$ .
+\begin{align*}
+y'+2y & = 0 \
+e^{2x}y'+2e^{2x}y & = 0 \quad \text{Multiplisert med integrerende faktor}\
+(e^{2x}y)' & = 0 \
+e^{2x}y & = C \
+y & = Ce^{-2x}
+\end{align*}
+For å finne ut hva  $C$  er trenger man i tillegg en initialbetingelse (startbetingelse) på løsningen. Det behandles i avsnittet om ''Initialverdiproblemer''.
-<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
+</div>
+<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
+'''Eksempel: Inhomogen ligning, integrerende faktor''' <p></p>
-'''Eks. 2''' <p></p>
+Vi skal løse $y'+4y = 6 $. I n t e g r e r e n d e f a k t o r e r$ e^{4x}$.
-Innhomogen førsteordens lineær ligning: <p></p>
+\begin{align*}
-Ligninger av typen <p></p>
+y'+4y & = 6 \
-y' + ay = b <p></p>Eksempelvis:<p></p>
+e^{4x}y'+4e^{4x}y & = 6e^{4x} \quad \text{Multiplisert med integrerende faktor}\
-y' + 4y = 6 <p></p>
+(e^{4x}y)' & = 6e^{4x} \
-<tex>y'e^{4x} + 4e^{4x}y = 6e^{4x}\
+e^{4x}y & =  \int 6e^{4x}\,dx\
-(ye^{4x})' = 6e^{4x} \
+e^{4x}y & =  \frac{3}{2}e^{4x}+C\
-ye^{4x} = \int{6e^{4x}dx}  \
+y & = \frac{3}{2}+Ce^{-4x}
-ye^{4x} = \frac32e^{4x} + C \
+\end{align*}
-y = \frac32 + Ce^{-4x}</tex>
+For å finne ut hva  $C$  er trenger man i tillegg en initialbetingelse (startbetingelse) på løsningen.
-</blockquote>
+</div>
+=== [[Separable differensiallikninger]] ===
+Separable ligninger er på formen
+\begin{equation}
+\label{separableDiffEq}
+\frac{dy}{dx} = g(x)\cdot h(y)
+\end{equation}
+, der  $g (x)$  og  $h (y)$  er gitte funksjoner som vanligvis er relativt enkle å integrere. Merk at funksjonsargumentet til  $h (y)$  er den funksjonen vi skal finne, men vi behandler likevel  $y$  som en vanlig variabel. Ligningen løses ved å multiplisere med differensialet  $d x$  på begge sider av likhetstegnet, dividere med  $h (y)$ , for så å integrere. Vi kan løse en generell separabel ligning formelt slik:
+\begin{align*}
+\frac{dy}{h(y)} &= g(x)\,dx \
+\int \frac{dy}{h(y)} &= \int g(x)\,dx \
+F(y) &= G(x) + C \
+y(x) &= F^{-1}\left(G(x) + C\right)
+\end{align*}
-== Separable ligninger ==
+, der $F(y)$ er integralet av $(h(y))^{-1} $o g$ G(x) $i n t e g r a l e t a v$ g(x) $.$ C$ er en integrasjonskonstant og  $F^{- 1}$  er inversfunksjonen til  $F$ .
-Separable ligner er ligninger på formen:<p></p>
-	<tex>\frac{dy}{dx} = g(x)h(y)</tex><p></p>
-	Ligningen løses ved å multiplisere med dx på begge sider av likhetstegnet, for så i integrere:<p></p>
-	<tex>\frac{dy}{h(y)} = g(x)dx \
-	Setter 	\frac{1}{h(y)} = f(x)</tex><p></p>
-	og får:<p></p>
-	<tex>\int f(y)dy = \int  g(x)dx \
-	F(y) = G(x) + C </tex>
-	<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
-'''Eksempel 4''' <p></p>
-Løs ligningen: <p></p>
-<tex> \frac{dy}{dx} =-4xy \
-\frac{dy}{y} =-4xdx \
-\int{\frac{dy}{y}} =\int{-4xdx} \
-ln|y| = -2x^2 + C \
-y = e^{-2x^2 + C} \
-y = e^C \cdot e^{-2x^2} </tex>
-</blockquote>
+<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
-== Homogene lineære andreordens differensialligninger med konstante koeffisienter. ==
+'''Eksempel: Separabel ligning''' <p></p>
-Vi har likningen
+Vi skal løse ligningen  $y^{'} + 4 x y = 0$  som en separabel ligning. Da er det lurt å bruke Leibniz' notasjon. Vi omskriver til:
+\begin{align*}
+\frac{dy}{dx} &=-4xy \
+\frac{dy}{y} &=-4x\,dx \
+\int{\frac{dy}{y}} &=\int{-4x\,dx} \
+\ln|y| &= -2x^2 + C \
+y &= e^{-2x^2 + C} \
+y &= y_0 \cdot e^{-2x^2}
+\end{align*}
-A(x)y'' + B(x)y' + C(x)y = D(x)
+Her har vi omdøpt konstanten foran eksponentialfunksjonen, slik at $y_0=e^C$. Ved å sette løsningen inn i den opprinnelige diff.ligningen, ser vi at løsningen stemmer.
-En ligning er <b>homogen</b> når D(x) = 0. Det gir oss
+</div>
-A(x)y'' + B(x)y' + C(x)y = 0
+== Homogene lineære andreordens diff.ligninger med konstante koeffisienter ==
-<b>Konstante koeffisienter</b> betyr at A(x), B(x) og C(x) ikke er variabler men konstanter. Vi skriver ligningen på formen:
+En generell andreordens diff.ligning er på formen
-<p></p>
-y'' + by' + cy = 0
-<p></p>
-En eventuell konstant foran den dobbelderiverte fjernes med divisjon.
-<p></p>
-<b>Andreordens</b> betyr at den dobbelderiverte opptrer i ligningen. I en tredjeorden ligning vil den tredjederiverte opptre.
-<p></p>
-<b>Lineær</b> betyr at produkter eller potenser av y og dens deriverte ikke eksisterer i ligningen.
-( y'' = yy' er således et eksempel på en ikkelineær ligning.)
-<p></p>
-<p></p>
+\begin{equation}
+A(x)y^{\prime\prime} + B(x)y' + C(x)y = D(x)
+\end{equation}
-(1)	y'' + by' + cy = 0
-<p></p>
-Ligningen
-r<sup>2</sup> + br + c = 0<p> </p>
+* Ligningen er <b>homogen</b> dersom  $D (x) = 0$ . Det gir oss  $A (x) y^{''} + B (x) y^{'} + C (x) y = 0$
+* <b>Konstante koeffisienter</b> betyr at  $A (x)$ ,  $B (x)$  og  $C (x)$  er konstanter uavhengig av  $x$ . Vi skriver ligningen på formen $y^{\prime\prime} + by' + cy = 0$
+* <b>Andreordens</b> betyr at den dobbelderiverte opptrer i ligningen. I en tredjeordens ligning vil den tredjederiverte opptre.
+* <b>Lineær</b> betyr at produkter eller potenser av  $y$  og dens deriverte ikke forekommer i ligningen.  $y^{''} = y y^{'}$  er således et eksempel på en ikkelineær ligning.
+* <b>Karakteristisk ligning</b> til  $y^{''} + b y^{'} + c y = 0$  er  $r^{2} + b r + c = 0$
-kalles den <b>karakteristiske ligningen</b> til differensialligningen i (1).</div>
-<p></p>
-Dette gir tre mulige løsninger:<p></p>
+Den karakteristiske ligningen kan ha tre ulike typer løsninger:
-<ul class="style1">
+* To ulike reelle røtter
-      <li> To reelle røtter </li>
+* Én reell rot
-      <li> En reel rot </li>
+* To komplekse røtter
-      <li> To komplekse røtter </li>
-</ul>
-<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
+<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">
 Dersom ligningen har to reelle røtter gir det generell løsning<p></p>
-<tex>y(x) = C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x}</tex>
+<math>y(x) = C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x}</math>
-</blockquote>
+</div>
-<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
-'''Eks. 5:''' <p></p>
-<tex> y^{,,} + y^{,} = 2y  \
+<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
-y^{,,} + y^{,} - 2y = 0 \
+'''Eksempel: To reelle røtter''' <p></p>
+<math> y^{\prime\prime} + y' = 2y  \
+y^{\prime\prime} + y' - 2y = 0 \
 r^2 + r - 2 = 0 \
-r = 1 \wedge r = 2 \
+r = 1 \vee r = 2 \
-y(x) = C_1e^x + C_2e^{2x}</tex>
+y(x) = C_1e^x + C_2e^{2x}</math>
-	</blockquote>
+	</div>
+[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=A1D%2BA1E%2BA1F%2BA20%2BA21%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]
-<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
+<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">
-Dersom ligningen har en reel rot blir løsningen på formen<p></p>
+Dersom ligningen har én reell rot blir løsningen på formen<p></p>
-<tex>y(x) = C_1e^{rx} + C_2xe^{rx}</tex><p></p></blockquote>
+<math>y(x) = C_1e^{rx} + C_2xe^{rx}</math><p></p></div>
-<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
+<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
-'''Eks. 6:''' <p></p><tex>
+'''Eksempel: Én reell rot'''<p></p>
-y^{,,} + 8y^{,} + 4y =0 \
-r^2 + 2r + 1 = 0 \
+$4y^{\prime \prime} + 8y' + 4y =0 \r^2 + 2r + 1 = 0 \r = -1\y(x) = C_1e^{-x} + C_2xe^{-x}$
-r = -1 \
+</div>
-y(x) = C_1e^{-x} + C_2xe^{-x}</tex>
+[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=A22%2BA23%2BA24%2BA25%2BA26%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]
-	</blockquote>
-<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
+<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">
-Dersom ligningen har to koplekse røtter,<tex>r_1 = a + ib og r_2 = a - ib</tex> blir løsningen
+Dersom ligningen har to komplekse røtter, <math>r_1 = a + ib</math> og <math>r_2 = a - ib</math>, blir løsningen
-	<tex>y(x) = e^{ax}(C_1 cos(bx) + C_2 sin (bx))</tex></blockquote>
+	<math>y(x) = e^{ax}\left (C_1 \cos(bx) + C_2 \sin (bx)\right )</math></div>
 <p></p>
-<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
-'''Eks. 7:''' <p></p>
-<tex>y^{,,}-y^, + y = 0 \
+<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
+'''Eksempel: To komplekse røtter''' <p></p>
+<math>y^{\prime\prime}-y' + y = 0 \
 r^2 - r + 1= 0 \
-r_1 = \frac12 + \frac32i
+r_1 = \frac12 + \frac32i, \quad r_2 = \frac12 - \frac32i \
-r_2 = \frac12 - \frac32i')\
+y(x) = e^{\frac12x}\left (C_1 \cos(\frac32x) + C_2 \sin (\frac32x)\right )</math>
-y(x) = e^{\frac12x}(C_1 cos(\frac32x) + C_2 sin (\frac32x))</tex>
+</div>
-</blockquote>
+[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=A2A%2BA2B%2BA2C%2BA2D%2BA2E%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]
 == Initialverdiproblemer ==
 I eksemplene over (og senere) ser man at den generelle løsningen inneholder en eller to
-konstanter C<sub>1</sub> og C<sub>2</sub>. Disse kan i utgangspunktet være et hvilket som helst reelt tall.
+konstanter  $C_{1}$  og  $C_{2}$ . Disse kan i utgangspunktet være et hvilket som helst reelt tall.
 For å finne den spesielle løsningen til en ligning trenger man en eller flere tileggsopplysninger.
   <p></p>
@@ Linje 232: / Linje 242: @@
 <p></p>
-Initialbetingelsen(e) kan være knyttet til situasjonen ved tiden t = 0, altså når en prosess starter,
+Initialbetingelsen(e) kan være knyttet til situasjonen ved tiden $t = 0$, altså når en prosess starter,
 eller den kan gis i form av en funksjonsverdi for en annen argumentverdi.
 <p></p>
-<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
-'''Eks 8:'''
+<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
-<p></p>
+'''Eksempel: Initialverdiproblem''' <p></p>
 Finn den spesielle løsningen til initialverdiproblemet:<p></p>
-<tex>\frac{dy}{dx} = 3x + 2  \hspace{50 mm} y (1)= 3 \
-dy = (3x + 2)dx   \
+<math>\frac{dy}{dx} = 3x + 2  \hspace{50 mm} y (1)= 3 \
-y(x) = \int (3x + 2)dx  \
+dy = (3x + 2)\,dx   \
-y(x) = \frac 32x^2 + 2x + c  </tex>
+y(x) = \int 3x + 2 \,dx  \
+y(x) = \frac 32x^2 + 2x + C  </math>
 Dette er den generelle løsningen.<p></p>
 For å finne den spesielle løsningen benytter vi opplysningen
-y(1) = 3.<p></p>
+$y(1) = 3$.<p></p>
-<tex>y(1) = \frac 32 \cdot 1^2 + 2 \cdot 1 + c = 3 \
+<math>y(1) = \frac 32 \cdot 1^2 + 2 \cdot 1 + C = 3 \
-C = - \frac 12  </tex>
+C = - \frac 12  </math>
 Den spesielle løsningen blir:<p></p>
-<tex>y(x) = \frac 32 \cdot x^2 + 2 x - \frac 12 </tex>
+<math>y(x) = \frac 32 \cdot x^2 + 2 x - \frac 12 </math>
-</blockquote>
+</div>
 == Retningsdiagram ==
-Førsteorden ligninger kan skrives som y'(x) = F(x,y) der x er den variable og y er den ukjente
-funksjonen.  Dette gir stigningstallet til tangen i punktet (x,y). Dette gir et bilde av hvordan grafene til løsningsfunksjonene ser ut og kalles et retningsdiagram for differensialligningen. <p></p>
- På engelske er betegnelsen "slope field".<p></p>
+Førsteorden ligninger kan skrives som $y'(x) = F(x,y)$ der $x$ er den variable og $y$ er den ukjente
-<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
+funksjonen. Dette gir stigningstallet til tangen i punktet $(x,y)$. Dette gir et bilde av hvordan grafene til løsningsfunksjonene ser ut og kalles et retningsdiagram for differensialligningen. <p></p>
-'''Eks 9:'''
+På engelsk er betegnelsen "slope field".<p></p> Utfra retningsdiagrammet får vi også et bilde av hvordan ulike integralkurver ser ut.
+<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
+'''Eksempel: Retningsdiagram'''
 <p></p>
-Gitt er ligningen y' = 2
+Gitt er ligningen $y' = 2$
 <p></p>
-Man observerer at stigningstallet til y(x) er 2 for alle x. Løsningen på ligningen er en eller
+Vi observerer at stigningstallet til $y(x)$ er $2$ for alle $x$. Løsningen på ligningen er en eller
-annen rett linje med stigningstall 2. Et retningsdiagram illustrerer dette:
+annen rett linje med stigningstall $2$. Et retningsdiagram illustrerer dette:<p></p>
 [[Bilde:Rettning1.png]]
 <p></p>
-Dersom man løser ligningen y' = 2
+Dersom man løser ligningen $y' = 2$
-<p></p>
-Får man y = 2x + C, når man integrerer på begge sider.
-<p></p>
-Man ser nå at retningsdiagrammet stemmer, C skyver grafen opp eller ned i koordinatsystemet. Verken x eller y har noen betydning for grafens form. Diagrammet indikerer en løsning for
-y = 2x + 1
-<p></p>
-</blockquote>
-<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
-'''Eks 10'''
 <p></p>
-Gitt er ligningen y' = x + 1
+får man $y = 2x + C$, når man integrerer på begge sider.
-<p></p>
-Man observerer at stigningstallet til y(x) varierer med varierende x verdi, og er null
-for x = -1. Det gir følgende retningsdiagram:
-<p></p>
-[[Bilde:Rettning2.png]]
 <p></p>
-Dersom man løser ligningen y' = x + 1
+Vi ser nå at retningsdiagrammet stemmer:  $C$  skyver grafen opp eller ned i koordinatsystemet. Verken  $x$  eller  $y$  har noen betydning for grafens form. Diagrammet indikerer en løsning for $y = 2x + 1$
-Får man
+</div>
-<tex> y = \frac 12x^2 + x + c </tex><p></p>
-når man integrerer på begge sider.<p></p>
-Retningsdiagrammet indikerer at løsningen er en parabel med minimum i x = -1
-</blockquote>
-== Newtons 2. lov og svingninger ==
+<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
+'''Eksempel: Retningsdiagram'''
-Nevtons andre lov sier at kraft er lik masse multiplisert med akslerasjon.<p>
+Gitt er ligningen $y' = x + 1$
-</p>
-F = ma<p></p>
-Dersom en kloss som ligger på et friksjonsfritt horisontalt underlag blir opphengt i en fjær og gies en horisontal
-pendelbevegelse virker  Kraften alltid virke mot bevegelsesrettning.<p></p>
-F = -kx<p></p>
-Vi får:<p></p>
-	<tex>\frac{d^2x}{dt^2} = -kx </tex>
-	som gir
-	<tex>\frac{d^2x}{dt^2} + \frac{k}{m}{x} = 0</tex>
-	Ved å innføre
-	<tex>\omega =\sqrt{\frac{k}{m}</tex>
-	får vi
-	 <tex>\frac{d^2x}{dt^2} + \omega^2x = 0</tex>
-	<p></p> som er identisk med<p></p>
-	<tex>y^{,,} + \omega^2x = 0</tex><p></p>
-== Naturlig vekst ==
+Man observerer at stigningstallet til $y(x)$ varierer med varierende  $x$ -verdi, og er $0$
-Dersom en størrelse x vokser med tiden, kan det skrives som
+for $x = -1$. Det gir følgende retningsdiagram: $\\$
-<tex>\frac{dx}{dt} = kx </tex><p></p>
-der k er en konstant.<p></p>
-Man får<p></p>
-<tex>\frac{dx}{x} = kdt \
-\int{\frac{dx}{x}} = \int{kdt} \
-ln|x| = kt +C \
-x=e^{kt}e^C = Ae^{kt}</tex>
-A er kontstanten e<sup>C</sup> og man observerer at vet tiden t = 0 er A = x, dvs. A =x<sub>0</sub><p></p>
-Altså:<p></p>
-<tex>x= x_0e^{kt}</tex><p></p>
-Dersom k > 0 har man en vekstsituasjon.<p></p>
-Dersom k < 0 har man en situasjon der en størrelse avtar, foreksempel aktiviteten i et radioaktivt materiale:
-<tex>\frac{dN}{dt} = -kN</tex><p></p>
-<tex>N(t) = e^{-kt}</tex><p></p>
-k er isotipavhengig ( dersom modellen representerer aktivitet i radioaktivt materiale).
-== Newtons avkjølingslov ( og oppvarming) ==
-Mange husker eventyret om damen som kokte suppe på en spiker. Hvordan går det egentlig med en
-spiker eller et legeme med romtemperatur,  når den slippes i kokende vann?<p></p>
-Den mometane temperaturendringen er
-T(t) - er spikerens temperatur ved tiden t.<p></p>
+[[Bilde:Rettning2.png]]
-T<sub>omg</sub> - er omgivelsenes temperatur, altså spikerens omgivelser, i dette tilfellet 100 grader.<p></p>
-T(0)  - er spikerens temperatur i det den blir sluppet i vannet, ved tiden t = 0.<p></p>
-Newtons avkjølingslov sier at temperaturendringen <tex>\frac{dT}{dt} </tex>
-er proporsjonal med differeansen mellom T(t) og T<sub>omg</sub>, dvs:<p></p>
-<tex>\frac{dT}{dt} = k(T(t) - T_{omg})</tex><p></p>
-Her har man to muligheter:<p></p>
-Dersom objektet er varmere enn omgivelsene ved tiden t = 0 har man en <b>avkjølingssituasjon.</b> Da er
-<tex>\frac{dT}{dt} </tex> negativ. Det gir:
-('T(t) - T_{omg} > 0  <p></p>
-Dersom
-<tex>\frac{dT}{dt} </tex> er positiv har man en <b>oppvarmingssituasjon:</b>
-Da er
-<tex>T(t) - T_{omg} < 0 </tex><p></p>
-Det gir Newtons lov for avkjøling:
-<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
-<tex>\frac{dT}{dt} = -k(T(t) - T_{omg})</tex> <p></p>
-</blockquote>
-<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
-'''Eks 8:'''   <p></p>
-En smed skal bearbeide et stykke metall. Når det tas ut av ovnen er det 500°C.
-Metallet lar seg bearbeide til det er 150°C.
-Under denne temperatur er det vanskelig å forme. Smeden har fra tidligere erfaringer
-funnet ut at metallet avkjøles med 100 grader de første 15 minuttene.
-I rommet der arbeidet foregår er det 23°C.
-Hvor lang tid har smeden på bearbeidingsprosessen?<p></p>
-<b>Løsning:</b><p></p>
-Newtons lov for avkjøling sier:<p>
-<tex>\frac{dT}{dt} = -k(T(t) - T_{omg}</tex><p></p>
-I dette tilfellet gir det:<p></p>
-<tex>\frac{dT}{dt} = -k(T(t) - 23) \
-\frac{dT}{dt} = k(23 - T(t))\
-\int \frac {1}{23 - T(t)})dT = \int(k)dt \
-- ln (23 - T(t)) = kt + C \
-- T(t) = e^{-(kt + C)} </tex>
-- T(t) = C_2e^{-kt } \hspace{50 mm} der \hspace{5 mm}C_2 \hspace{5 mm}er\hspace{5 mm} e^C<p></p>
-T(t) = 23 - C_2e^{-kt } \hspace{50 mm} <p></p>
-Man har oppgitt:<p></p>
-T(0) = 800C <p></p>
-- 500 = C_2 <p></p>
-C_2 = -477 <p></p>
-T(t) = 477 e^{-kt}<p></p>
-Hva er k?<p></p>
-k er en konstant som bestemmes av objektets form og materialegenskaper,
-samt omgivelsenes tetthet / varmelednigsegenskaper mm.<p></p>
-For å finne k må man benytte seg av smedens erfaringer og kunnskaper:
-<p>
-</p>
-T(15) = 400C <p></p>
-= 477 e^{-15t}<p></p>
-ln( \frac {400}{477}) = -15k')?>"><p></p>
-k = 0,011737 <p></p>
-Det gir funksjonen for avkjøling:<p></p>
-T(t) = 477 e^{-0,011737t}<p></p>
-Hvor lang tid har så smeden før arbeidsstyket hans går under 150<sup>0</sup>C?<p></p>
-= 477 e^{-0,011737t}<p></p>
-t = 99 min<p></p>
+Dersom man løser ligningen $y' = x + 1$ får man
+<math> y = \frac 12x^2 + x + c </math> når man integrerer på begge sider.
-</blockquote>
+Retningsdiagrammet indikerer at løsningen er en parabel med minimum i  $x = - 1$ .
-<p></p>
-Hvordan går det så med spikersuppen? Dersom du skal regne på eksemplet må du lage forutsettninger
-som i eksemplet med smeden.
+</div>
 ----
-[[R2 Hovedside|Tilbake til R2 Hovedside]]
 [[Kategori:Algebra]]
 [[Kategori:R2]]
 [[Kategori:Ped]]