1T 2025 vår LK20 LØSNING: Forskjell mellom sideversjoner

Fra Matematikk.net
Hopp til: navigasjon, søk
 
(79 mellomliggende sideversjoner av samme bruker vises ikke)
Linje 18: Linje 18:
Vertikal asymptote : 2x+1=02x=1x=12
Vertikal asymptote : 2x+1=02x=1x=12


Horisontal asymptote: $y =\lim\limits_{x \to \infty} f(x)=\lim\limits_{x \to \infty} \frac{12x-3}{2x+1} =\lim\limits_{x \to \infty} \frac{\frac{12x}{x}- \frac{3}{x}}{2x+1}   $
Horisontal asymptote: $y =\lim\limits_{x \to \infty} f(x)=\lim\limits_{x \to \infty} \frac{12x-3}{2x+1} =\lim\limits_{x \to \infty} \frac{\frac{12x}{x}- \frac{3}{x}}{\frac{2x}{x} + \frac {1}{x}} = \lim\limits_{x \to \infty} \frac{12- \frac{3}{x}}{2 + \frac {1}{x}} = 6$


====Oppgave 2====
====Oppgave 2====
x24x12<0
Faktoriserer først uttrykket
x24x12=0
x=4±16+482=4±82
x=2x=6
(x6)(x+2)<0
[[File:18062025-03.png|centre|400px]]
x∈<2,6>
====Oppgave 3====
====Oppgave 3====


f(x)=ax2+bx+c
Siden den skjærer i (0,9) er c = 9.
Siden den har ett nullpunkt er b24ac=0 Dvs. b2=36a
Velger a = 1 og får at b = -6 eller b = 6.
Mulig funksjonsuttrykk: f(x)=x2+6x+9
(f har nullpunkt i -3 )


====Oppgave 4====
====Oppgave 4====




=====a)=====
x37x210x+16=0
Dette er en tredjegradslikning, så vi prøver oss fram. Tester med x= 1:
1710+16=0
x= 1 er en løsning. Vi utfører polynomdivisjon:
[[File: 17062025-01.png|centre|300px]]
x26x16=0
Vi bruker abc- formelen og får x= -2 eller x = 8.
L={2,1,8}
=====b)=====
Vi ser at funksjonen har samme uttrykket som likningen i a. Da vet vi at enten passer B eller C.
Vi deriverer og setter f'(0). Dersom svaret blir positivt, passer B. Blir det negativt passer C.
f(x)=3x214x10
f(0)=10, altså passer grafen C.


Ser også at f har et positivt konstantledd (16), som støtter graf C.


====Oppgave 5====
====Oppgave 5====
=====a)=====
[[File:17062025-02.png|centre|300px]]
Alle vinkler er 60 grader.
Normalen fra C på AB danner to 30, 60, 90 trekanter.
Sin(30)=12ABAC=12
Cos(60)=12ABAC=12
=====b)=====
[[File:18062025.png|centre|300px]]
Bruker arealsetningen:
A=12abSinC=1210612=15
=====c)=====
[[File:18062025-01.png|centre|300px]]
Bruker cosinussetningen:
QR2=82+3228312
QR2=64+924
QR=7


====Oppgave 6====
====Oppgave 6====
En matematisk identitet er en likning som alltid er sann, for alle verdier av den variable (innenfor definisjonsmengden). Høyresiden er identisk med venstresiden for alle verdier av variablen, derfor får man x=x i CAS.
En likning som ikke er en identitet, er kun sann for spesifikke verdier av variabelen (løsninger).
====Oppgave 7====
====Oppgave 7====
Programmet sjekker minimumsverdien til funksjonen f(x)=x2+2x15 i intervallet  [ - 5,5].
Løkken, som starter på linje 7 i programmet, regner ut verdien til gitt x verdi og fortsetter med det så lenge y verdien (f(x)) er mindre enn den forrige. Når det ikke lengre er tilfellet skriver programmet ut "verdi", som er minimumsverdien til andregradsfunksjonen.
Det som skrives ut er -16
f(x)=2x+2
f(x)=0x=1
f(1)=16
====DEL TO====
====Oppgave 1====
=====a)=====
Utfører regresjonen og får K(x):
[[File:19062025-03.png|400px|centre]]
=====b)=====
Stigningstallet er 70,2. Det betyr at antallet registrerte tilfeller i gjennomsnitt øker med 70,2 per måned, i perioden april 23 til september 24.
=====c)=====
5336, i følge modellen.
====Oppgave 2====
x = antall store sekker
y = antall små sekker
[[File: 180622025-04.png|centre|300px]]
Butikken solgte 48 store sekker og 32 små sekker.
====Oppgave 3====
=====a)=====
Alle trekantene er likebeinte, der de likebeinte sidene representerer radius i sirkelen. Det er 12 trekanter så arealet av en trekant er 10. Bruker arealsetningen:
A=12abSinC10=12r212r=40
d=2r=240=410
=====b)=====
[[File: 21062025-03.png|centre|400px]]
Vi multipliserer det positive svaret med 12 og får 24(155)
====Oppgave 4====
[[File: 18062025-05.png|400px]]
Antall kvadrater i figur nr. n er: A(n)=n2+n+(n+1)=n2+2n+1
Eventuelt A(n)=(n+1)2
=====a)=====
* Lager en løkke som løper gjennom de 20 første figurene
* Regner ut antall figurer på figur nr. n, ved å bruke formelen over
* Skriver ut resultatet
=====b)=====
[[File:18062025-06.png|centre|400px]]
Kolonne tre er ikke nødvendig i forhold til oppgaven, men det er jo greit å vite hvor mange kvadrater man bruke dersom man lager n figurer. Denne tellingen kommer fra linje 1 og 5.
Vi får følgende ut:
[[File:18062025-07.png|centre|100px]]
Man trenger 441 kvadrater for å lage figur nr. 20.
=====c)=====
[[File:19062025-01.png|centre|300px]]
[[File:19062025-02.png|centre|300px]]
====Oppgave 5====
=====a)=====
For å fylle inn tabellen trenger vi et uttrykk for høyden. Det er oppgitt at volumet skal være 450cm3.
V=πr2h
h=Vπr2=450πr2
[[File:21062025-01.png|centre|400px]]
[[File:21062025-02.png|centre|400px]]
=====b)=====
Vi trenger et uttrykk for Overflate og radius:
O=πr2+2πrh
Her har vi også variabelen h, men den kan vi erstatte med uttrykket fra a:
O=πr2+2πr450πr2
O(r)=πr2+900r
[[File:20062025-02.png|400px|centre]]
=====c)=====
Når radien er 5,23 cm oppnår man den minste overflaten, 257,97cm2.
====Oppgave 6====
[[File:17062025-04.png|centre|400px]]
*Nevneren må ha et uttrykk som gir to nullpunkter siden grafen på figuren har to bruddpunkt.
*Grafen krysser y aksen på den positive side. Konstantleddene i teller og nevner er begge negative. Når x = 0 får man negativ delt på negativt, som er positivt.
*Funksjonen har et nullpunkt for en positiv x verdi, i dette tilfellet når 5x-2=0, altså x=25.
[[File:17062025-05.png|centre|400px]]
*Nevneren kan ikke bli null.
*Konstantleddene i teller og nevner utgjør en positiv brøk når x=0.

Siste sideversjon per 21. jun. 2025 kl. 15:10

Oppgaven som pdf

Diskusjon av oppgaven på Matteprat

Løsningsforslag laget av SveinR

Løsning fra OpenMathBooks prosjektet


DEL EN

Oppgave 1

f(x)=12x32x+1


Vertikal asymptote : 2x+1=02x=1x=12

Horisontal asymptote: y=limxf(x)=limx12x32x+1=limx12xx3x2xx+1x=limx123x2+1x=6

Oppgave 2

x24x12<0

Faktoriserer først uttrykket


x24x12=0 x=4±16+482=4±82

x=2x=6


(x6)(x+2)<0


x∈<2,6>

Oppgave 3

f(x)=ax2+bx+c


Siden den skjærer i (0,9) er c = 9.


Siden den har ett nullpunkt er b24ac=0 Dvs. b2=36a

Velger a = 1 og får at b = -6 eller b = 6.

Mulig funksjonsuttrykk: f(x)=x2+6x+9


(f har nullpunkt i -3 )

Oppgave 4

a)

x37x210x+16=0

Dette er en tredjegradslikning, så vi prøver oss fram. Tester med x= 1:

1710+16=0

x= 1 er en løsning. Vi utfører polynomdivisjon:

x26x16=0

Vi bruker abc- formelen og får x= -2 eller x = 8.

L={2,1,8}


b)

Vi ser at funksjonen har samme uttrykket som likningen i a. Da vet vi at enten passer B eller C.

Vi deriverer og setter f'(0). Dersom svaret blir positivt, passer B. Blir det negativt passer C.

f(x)=3x214x10

f(0)=10, altså passer grafen C.

Ser også at f har et positivt konstantledd (16), som støtter graf C.

Oppgave 5

a)

Alle vinkler er 60 grader.

Normalen fra C på AB danner to 30, 60, 90 trekanter.

Sin(30)=12ABAC=12


Cos(60)=12ABAC=12

b)

Bruker arealsetningen:

A=12abSinC=1210612=15

c)

Bruker cosinussetningen:

QR2=82+3228312 QR2=64+924 QR=7

Oppgave 6

En matematisk identitet er en likning som alltid er sann, for alle verdier av den variable (innenfor definisjonsmengden). Høyresiden er identisk med venstresiden for alle verdier av variablen, derfor får man x=x i CAS.

En likning som ikke er en identitet, er kun sann for spesifikke verdier av variabelen (løsninger).

Oppgave 7

Programmet sjekker minimumsverdien til funksjonen f(x)=x2+2x15 i intervallet [ - 5,5].

Løkken, som starter på linje 7 i programmet, regner ut verdien til gitt x verdi og fortsetter med det så lenge y verdien (f(x)) er mindre enn den forrige. Når det ikke lengre er tilfellet skriver programmet ut "verdi", som er minimumsverdien til andregradsfunksjonen.

Det som skrives ut er -16

f(x)=2x+2

f(x)=0x=1

f(1)=16


DEL TO

Oppgave 1

a)

Utfører regresjonen og får K(x):

b)

Stigningstallet er 70,2. Det betyr at antallet registrerte tilfeller i gjennomsnitt øker med 70,2 per måned, i perioden april 23 til september 24.

c)

5336, i følge modellen.

Oppgave 2

x = antall store sekker

y = antall små sekker


Butikken solgte 48 store sekker og 32 små sekker.

Oppgave 3

a)

Alle trekantene er likebeinte, der de likebeinte sidene representerer radius i sirkelen. Det er 12 trekanter så arealet av en trekant er 10. Bruker arealsetningen:

A=12abSinC10=12r212r=40 d=2r=240=410

b)


Vi multipliserer det positive svaret med 12 og får 24(155)

Oppgave 4

Antall kvadrater i figur nr. n er: A(n)=n2+n+(n+1)=n2+2n+1

Eventuelt A(n)=(n+1)2


a)
  • Lager en løkke som løper gjennom de 20 første figurene
  • Regner ut antall figurer på figur nr. n, ved å bruke formelen over
  • Skriver ut resultatet
b)

Kolonne tre er ikke nødvendig i forhold til oppgaven, men det er jo greit å vite hvor mange kvadrater man bruke dersom man lager n figurer. Denne tellingen kommer fra linje 1 og 5.

Vi får følgende ut:

Man trenger 441 kvadrater for å lage figur nr. 20.

c)

Oppgave 5

a)

For å fylle inn tabellen trenger vi et uttrykk for høyden. Det er oppgitt at volumet skal være 450cm3.

V=πr2h h=Vπr2=450πr2


b)

Vi trenger et uttrykk for Overflate og radius:

O=πr2+2πrh

Her har vi også variabelen h, men den kan vi erstatte med uttrykket fra a:

O=πr2+2πr450πr2

O(r)=πr2+900r

c)

Når radien er 5,23 cm oppnår man den minste overflaten, 257,97cm2.

Oppgave 6

  • Nevneren må ha et uttrykk som gir to nullpunkter siden grafen på figuren har to bruddpunkt.
  • Grafen krysser y aksen på den positive side. Konstantleddene i teller og nevner er begge negative. Når x = 0 får man negativ delt på negativt, som er positivt.
  • Funksjonen har et nullpunkt for en positiv x verdi, i dette tilfellet når 5x-2=0, altså x=25.
  • Nevneren kan ikke bli null.
  • Konstantleddene i teller og nevner utgjør en positiv brøk når x=0.