1T 2025 vår LK20 LØSNING

Oppgaven som pdf

Diskusjon av oppgaven på Matteprat

Løsningsforslag laget av SveinR

Løsning fra OpenMathBooks prosjektet

DEL EN

Oppgave 1

$$f(x)=\frac{12x-3}{2x+1}$$

Vertikal asymptote : $2x+1=0\Rightarrow 2x=-1\Rightarrow x=-\frac{1}{2}$

Horisontal asymptote: $y=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x)=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{12x-3}{2x+1}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{12x}{x}-\frac{3}{x}}{\frac{2x}{x}+\frac{1}{x}}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{12-\frac{3}{x}}{2+\frac{1}{x}}=6$

Oppgave 2

$$x^2-4x-12<0$$

Faktoriserer først uttrykket

$$x^2-4x-12=0$$ $$x=\frac{4\pm \sqrt{16+48}}{2}=\frac{4\pm 8}{2}$$

$$x=-2\vee x=6$$

$$(x-6)(x+2)<0$$

$$x\in <-2,6>$$

Oppgave 3

$f(x)=a{x}^2+bx+c$

Siden den skjærer i (0,9) er c = 9.

Siden den har ett nullpunkt er $b^2-4ac=0$ Dvs. $b^2=36a$

Velger a = 1 og får at b = -6 eller b = 6.

Mulig funksjonsuttrykk: $$f(x)=x^2+6x+9$$

(f har nullpunkt i -3 )

Oppgave 4

a)

$x^3-7x^2-10x+16=0$

Dette er en tredjegradslikning, så vi prøver oss fram. Tester med x= 1:

$1-7-10+16=0$

x= 1 er en løsning. Vi utfører polynomdivisjon:

$x^2-6x-16=0$

Vi bruker abc- formelen og får x= -2 eller x = 8.

$L=\{-2,1,8\}$

b)

Vi ser at funksjonen har samme uttrykket som likningen i a. Da vet vi at enten passer B eller C.

Vi deriverer og setter f'(0). Dersom svaret blir positivt, passer B. Blir det negativt passer C.

$f^{\prime }(x)=3x^2-14x-10$

$f^{\prime }(0)=-10$, altså passer grafen C.

Ser også at f har et positivt konstantledd (16), som støtter graf C.

Oppgave 5

a)

Alle vinkler er 60 grader.

Normalen fra C på AB danner to 30, 60, 90 trekanter.

$$Sin({30}^{\circ })=\frac{\frac{1}{2}AB}{AC}=\frac{1}{2}$$

$$Cos({60}^{\circ })=\frac{\frac{1}{2}AB}{AC}=\frac{1}{2}$$

b)

Bruker arealsetningen:

$$A=\frac{1}{2}abSinC=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 6\cdot \frac{1}{2}=15$$

c)

Bruker cosinussetningen:

$$Q{R}^2=8^2+3^2-2\cdot 8\cdot 3\cdot \frac{1}{2}$$ $$Q{R}^2=64+9-24$$ $$QR=7$$

Oppgave 6

En matematisk identitet er en likning som alltid er sann, for alle verdier av den variable (innenfor definisjonsmengden). Høyresiden er identisk med venstresiden for alle verdier av variablen, derfor får man x=x i CAS.

En likning som ikke er en identitet, er kun sann for spesifikke verdier av variabelen (løsninger).

Oppgave 7

Programmet sjekker minimumsverdien til funksjonen $f(x)=x^2+2x-15$ i intervallet [ - 5,5].

Løkken, som starter på linje 7 i programmet, regner ut verdien til gitt x verdi og fortsetter med det så lenge y verdien (f(x)) er mindre enn den forrige. Når det ikke lengre er tilfellet skriver programmet ut "verdi", som er minimumsverdien til andregradsfunksjonen.

Det som skrives ut er -16

$$f^{\prime }(x)=2x+2$$

$$f^{\prime }(x)=0\Rightarrow x=-1$$

$$f(-1)=-16$$

Oppgave 1

a)

Utfører regresjonen og får K(x):

b)

Stigningstallet er 70,2. Det betyr at antallet registrerte tilfeller i gjennomsnitt øker med 70,2 per måned, i perioden april 23 til september 24.

c)

5336, i følge modellen.

Oppgave 2

x = antall store sekker

y = antall små sekker

Butikken solgte 48 store sekker og 32 små sekker.

Oppgave 3

a)

Alle trekantene er likebeinte, der de likebeinte sidene representerer radius i sirkelen. Det er 12 trekanter så arealet av en trekant er 10. Bruker arealsetningen:

$$A=\frac{1}{2}abSinC\Rightarrow 10=\frac{1}{2}{r}^2\frac{1}{2}\Rightarrow r=\sqrt{40}$$ $$d=2r=2\sqrt{40}=4\sqrt{10}$$

b)

Vi multipliserer det positive svaret med 12 og får $24(\sqrt{15}-\sqrt{5})$

Oppgave 4

Antall kvadrater i figur nr. n er: $A(n)=n^2+n+(n+1)=n^2+2n+1$

Eventuelt $A(n)=(n+1{)}^2$

a)

• Lager en løkke som løper gjennom de 20 første figurene
• Regner ut antall figurer på figur nr. n, ved å bruke formelen over
• Skriver ut resultatet

b)

Kolonne tre er ikke nødvendig i forhold til oppgaven, men det er jo greit å vite hvor mange kvadrater man bruke dersom man lager n figurer. Denne tellingen kommer fra linje 1 og 5.

Vi får følgende ut:

Man trenger 441 kvadrater for å lage figur nr. 20.

c)

Oppgave 5

a)

For å fylle inn tabellen trenger vi et uttrykk for høyden. Det er oppgitt at volumet skal være $450c{m}^3$.

$$V=\pi r^{2}h$$ $$h=\frac{V}{\pi r^2}=\frac{450}{\pi r^2}$$

b)

Vi trenger et uttrykk for Overflate og radius:

$$O=\pi \cdot r^2+2\cdot \pi \cdot r\cdot h$$

Her har vi også variabelen h, men den kan vi erstatte med uttrykket fra a:

$$O=\pi \cdot r^2+2\cdot \pi \cdot r\cdot \frac{450}{\pi r^2}$$

$$O(r)=\pi \cdot r^2+\frac{900}{r}$$

c)

Når radien er 5,23 cm oppnår man den minste overflaten, $257,97c{m}^2$.

Oppgave 6

• Nevneren må ha et uttrykk som gir to nullpunkter siden grafen på figuren har to bruddpunkt.
• Grafen krysser y aksen på den positive side. Konstantleddene i teller og nevner er begge negative. Når x = 0 får man negativ delt på negativt, som er positivt.
• Funksjonen har et nullpunkt for en positiv x verdi, i dette tilfellet når 5x-2=0, altså $x=\frac{2}{5}$.

• Nevneren kan ikke bli null.
• Konstantleddene i teller og nevner utgjør en positiv brøk når x=0.