Andregadslikninger og noen av tredje grad

Innledning

Fra siden om potenser uten brøkeksponent vet vi at $x\cdot x=x^2$. Sagt med ord sier vi at "$x$ multiplisert med seg selv er lik $x$ i andre". Andregradslikninger inneholder alltid et ledd hvor $x^2$ er en faktor.

En andregradslikning er en likning på formen $a{x}^2+bx+c=0$, der $a$, $b$ og $c$ er konstanter og $a\ne 0$. Konstantene i en annengradslikning kalles koeffisienter.

En løsninger av en likning kalles også en rot i likningen. Å finne røttene i en likning er altså det samme som å løse likningen.

En fullstendig andregradslikning skrives på formen

$a{x}^2+bx+c=0$

Likningen har tre ledd:

• $a{x}^2$ kalles andregradsleddet,
• $bx$ kalles førstegradsleddet,
• $c$ kalles konstantleddet.

Ufullstendig likninger

Dersom minst en av koeffisientene $b$ eller $c$ er lik null sier vi at andregradslikningen er ufullstendig. Dette er spesialtilfeller av andregradslikninger, fordi én av koeffisientene er lik null, slik at likningene mangler et ledd.

Dersom $a=0$ har vi en førstegradslikning som løses med metoden beskrevet i likninger av første grad.

Tilfellet b = 0

Dersom $b=0$ ser likningen slik ut:

$a{x}^2+c=0$

Denne løses med "bytt og flytt", for så å ta kvadratrot:

$\begin{array}{r}x=\pm \sqrt{-\frac{c}{a}}\end{array}$

Legg merke til at enten $a$ eller $c$ (men ikke begge!) må være negativ for at denne likningen skal ha en løsning. Vi kan ikke ta kvadratroten av et negativt tall.

Eksempel 1:

Løs likningen

$4x^2-8=0$

Vi løser ved "bytt og flytt" og deretter ta kvadratroten:

$\begin{array}{rl}4x^2& =8\\ x^2& =\frac{8}{4}\\ x& =\pm \sqrt{\frac{8}{4}}\end{array}$

$x=\sqrt{2}\vee x=-\sqrt{2}$

Tilfellet c = 0

Dersom $c=0$ har vi følgende formel:

$a{x}^2+bx=0$

Vi løser ved faktorisering:

$x(ax+b)=0$

$\begin{array}{rl}x=0& \vee ax+b=0\\ x=0& \vee x=-\frac{b}{a}\end{array}$

Eksempel 2:

Løs likningen

$-3x^2+6x=0$

Løsning ved faktorisering:

$x(-3x+6)=0$

$\begin{array}{rl}x=0& \vee -3x+6=0\\ x=0& \vee x=2\end{array}$

ABC-formelen

En andregradslikning på formen $a{x}^2+bx+c=0$ kan alltid løses ved hjelp av ABC-formelen, som ser slik ut:

ABC-formelen er

$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

når

$a{x}^2+bx+c=0$

• Dersom $b^2-4ac$ er positiv, vil likningen ha to ulike løsninger.
• Dersom $b^2-4ac=0$ kan vi si at likningen har en enkelt løsning - eller også to like løsninger.
• Dersom $b^2-4ac$ er mindre enn null, får vi ingen løsning.

Eksempel 3:

Løs likningen

<math>

\displaystyle 3x^2 + 2x - 1 =0 </math>

Likningen har koeffisenter $a=3$ , $b=2$ og $c=-1.$

Ved å bruke ABC-formelen får man:

<math>

$$\begin{array}{rl}x& =\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4\cdot 3\cdot (-1)}}{2\cdot 3}\\ \\ & =\frac{-2\pm \sqrt{4+12}}{6}\\ \\ & =\frac{-2\pm 4}{6}\end{array}$$ </math>

Likningen har to ulike løsninger:

<math>

$$\begin{array}{rl}x=\frac{-2+4}{6}& \vee x=\frac{-2-4}{6}\\ \\ x=\frac{1}{3}& \vee x=-1\end{array}$$ </math>

Eksempel 2:

Finn røttene i likningen

<math>

\displaystyle -x^2 + 4x - 4 =0 </math>

Koeffisientene er $a=-1$ , $b=4$ og $c=-4.$

Ved å bruke ABC-formelen får man:

<math>

$$\begin{array}{rl}x& =\frac{-4\pm \sqrt{4^2-4\cdot (-1)\cdot (-4)}}{2\cdot (-1)}\\ \\ & =\frac{-4\pm \sqrt{16-16}}{-2}\end{array}$$ </math>

Med null under rottegnet får man kun en løsning, $x=2$.

Eksempel 3:

Løs likningen:

<math>

\displaystyle 3x^2 + 2x + 2 =0 </math>

Koeffisientene er $a=1$ , $b=-2$ og $c=2$.

Ved å bruke ABC-formelen får man:

<math>

$$\begin{array}{rl}x& =\frac{2\pm \sqrt{(-2{)}^2-4\cdot 1\cdot 2}}{2\cdot 1}\\ \\ & =\frac{2\pm \sqrt{4-8}}{2}\\ \\ & =\frac{2\pm \sqrt{-4}}{2}\end{array}$$ </math>

Her ser man et man får et negativt tall under rottegnet. Da er det på tide å stoppe opp og konkludere med at likningen ikke har reell løsning.

Eksempel 4:

Løs likningen:

<math>

\displaystyle 4x^2 - 1 =0 </math>

Koeffisientene er $a=4$ , $b=0$ og $c=-1.$

Likningen mangler førstegradsleddet ($b=0$), og det enkleste i dette eksempelet er å bruke "bytt og flytt" og så ta kvadratroten, som vist over. Det er også fullt mulig å bruke ABC-formelen, og da får man:

<math>

$$\begin{array}{rl}x& =\frac{\pm \sqrt{-4\cdot 4\cdot (-1)}}{2\cdot 4}\\ \\ & =\frac{\pm \sqrt{16}}{8}\\ \\ & =\pm \frac{4}{8}\end{array}$$ </math>

Likningen har to løsninger:

<math>

\displaystyle x= \frac{1}{2} \qquad \vee \qquad x= - \frac{1}{2} </math>

Eksempel 5:

Løs likningen:

<math>

\displaystyle -3x^2 + 6x = 0 </math>

Koeffisentene er $a=-3$ , $b=6$ og $c=0.$

Ved å bruke ABC-formelen får man:

<math>

$$\begin{array}{rl}x& =\frac{-6\pm \sqrt{6^2}}{-6}\\ \\ & =\frac{-6\pm 6}{-6}\end{array}$$ </math>

<math>

\displaystyle x= 2 \qquad \vee \qquad x= 0 </math>

Man ser at ABC-formelen virker her også, men siden konstantleddet mangler ($c=0$), ville det være mer fornuftig å faktorisere ut $x$ og løse likningene som vist over.

Grafisk fremstilling av andregradslikninger

Hvorfor har noen likninger to løsninger, noen en og andre ingen? Det kan vi forstå dersom vi studerer grafen til andregradspolynomet i likningen. Løsninger i likningen finner vi som verdiene av $x$ der grafen skjærer $x$-aksen, det vil si der $y=0$.

Figuren under viser tre ulike andregradspolynom.

Dersom grafen til andregradspolynomet krysser $x$-aksen, har likningen to løsninger. Likningen $g(x)=0$ har to løsninger fordi $b^2-4ac>0$, og grafen til $g(x)$ skjærer $x$-aksen to steder.

Dersom grafen tangerer $x$-aksen har likningen en løsning. Likningen $f(x)=0$ har en løsning fordi $b^2-4ac=0$. Grafen til $f(x)$ tangerer $x$-aksen i ett punkt, i $x=\frac{-b}{2a}$.

Dersom grafen til polynomet ikke krysser eller tangerer $x$-aksen, har likningen ingen løsning. Likningen $h(x)=0$ har ingen løsning fordi $b^2-4ac<0$. Man kan ikke ta kvadratroten av et negativt tall.

Bevis for ABC-formelen

For å bevise ABC-formelen bruker en første kvadratsetning, som vist i det følgende avsnittet.

$\begin{array}{rl}a{x}^2+bx+c& =0\\ \\ x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}& =0\\ \\ x^2+\frac{b}{a}x& =-\frac{c}{a}\\ \\ x^2+2\frac{b}{2a}x& =-\frac{c}{a}\\ \\ x^2+2\frac{b}{2a}x+(\frac{b}{2a}{)}^2& =-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a}{)}^2\\ \\ (x+\frac{b}{2a}{)}^2& =-\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}\\ \\ (x+\frac{b}{2a}{)}^2& =-\frac{4ac}{4aa}+\frac{b^2}{4a^2}\\ \\ (x+\frac{b}{2a}{)}^2& =\frac{-4ac+b^2}{4a^2}\\ \\ (x+\frac{b}{2a})& =\pm \sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}\\ \\ x& =-\frac{b}{2a}\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ \\ x& =\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\end{array}$

Fullstendig kvadrat

Man kan bygge opp et fullstendig kvadrat ved å halvere, kvadrere, addere.....
For å kunne bruke teknikken må du kunne kvadratsetningene godt.

Det følgende eksempelet viser hvordan det gjøres:

Eksempel:

Løs likningen

$2x^2-3x+1=0$

Vi omformer likningen:

$\begin{array}{rl}{x}^2-\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}& =0\\ \\ x^2-\frac{3}{2}x& =-\frac{1}{2}\\ \\ x^2-\frac{3}{2}x& =-\frac{1}{2}\\ \\ x^2-\frac{3}{2}x+(\frac{3}{4}{)}^2& =-\frac{1}{2}+(\frac{3}{4}{)}^2\\ \\ (x-\frac{3}{4}{)}^2& =\frac{1}{16}\end{array}$

$\begin{array}{rl}x-\frac{3}{4}=\sqrt{\frac{1}{16}}& \vee x-\frac{3}{4}=-\sqrt{\frac{1}{16}}\\ \\ x=1& \vee x=\frac{1}{2}\end{array}$

Dersom du sliter med algebra bør du kanskje holde deg til ABC-formelen, men dersom du har oversikt og har ambisjoner om god karakter (5,6), er metoden med fullstendig kvadrat noe du bør beherske.

Andregradslikninger på produktform

Man kan ha andregradslikninger på formen:

<math>

\displaystyle (x + 1)(x – 2) = 0 </math>

Du ser at dette er en andregradslikning om du multipliserer ut parentesene:

<math>

\displaystyle (x + 1)(x – 2) = x^2 - 2x + x – 2 = x^2 – x – 2 </math>

Man kan multiplisere ut faktorene som vist over og bruke ABC–formelen, men det finnes en mye enklere måte å løse likningen på:

Dersom produktet av to faktorer skal bli null, må en av faktorene være null.

Likningen $mn=0$ medfører at $m$ eller $n$ må være lik null, om likningen skal være oppfylt.

I eksemplet

<math>

\displaystyle (x + 1)(x – 2) = 0 </math>

betyr det at $x+1=0$ , eller at $x–2=0$.

Det gir løsningene $x=-1$ og $x=2$.

Problemet er redusert til løsninger av to enkle førstegradslikninger.

Faktorisering av andregradsuttrykk

Det generelle andregradsuttrykket er $a{x}^2+bx+c.$ Ofte har man behov for å faktorisere uttrykket for å kunne forkorte og forenkle.

Man har følgende formel for faktorisering av andregradsuttrykk:

<math>

\displaystyle ax^2 + bx + c = a( x-x_1)(x-x_2) </math>

Der $x_1$ og $x_2$ er løsninger av $a{x}^2+bx+c=0.$

Eksempel:

Faktoriser polynomet

<math>

\displaystyle 6x^2-4x-2 </math>

Vi løser først likningen $6x^2-4x-2=0$ ved hjelp av ABC-formelen og får

<math>

\displaystyle x_1 = 1 \qquad \vee \qquad x_2 = - \frac13 </math>

Så bruker vi formelen over og får:

<math>

\displaystyle 6x^2-4x-2 = a(x-x_1)(x-x_2) = 6(x-1)(x + \frac 13) </math>

Denne fremgangsmåten er spesielt nyttig (helt nødvendig) når man skal forkorte brøker som inneholder andregradspolynomer.

Eksempel:

Skriv enklest mulig:

<math>

\displaystyle \frac{6x^2-4x-2}{x + \frac13} </math>

Vi faktoriserer og får:

<math>

\displaystyle \frac{6(x-1)(x + \frac 13)}{x + \frac13} = 6(x-1) </math>

Sum og produkt av røtter

Man har følgende sammenhenger mellom sum og produkt av røtter (løsninger):

En fullstendig andregradslikning skrives på formen

<math>

\displaystyle ax^2 + bx + c = 0 </math>

Dersom $x_1$ og $x_2$ er røtter (løsninger) i likningen, så er

<math>

$$\begin{array}{rl}{x}_1+x_2& =-\frac{b}{a}\\ \\ x_1\cdot x_2& =\frac{c}{a}\end{array}$$ </math>

Eksempel:

Vi ønsker å finne et andregradsuttrykk som har røttene $x=-2$ og $x=1$. Utover det har vi ingen andre krav.

Vi får:

<math>

$$\begin{array}{rl}{x}_1+x_2& =-\frac{b}{a}\\ \\ -2+1& =-\frac{b}{a}\\ \\ a& =b\end{array}$$ </math>

Siden vi ikke har krav til koeffisientene kan vi jo velge $a=1$. Da får vi at $a=1$ og $b=1$.

Produktet av røttene må oppfylle likningen

<math>

$$\begin{array}{rl}{x}_1\cdot x_2& =\frac{c}{a}\\ \\ -2\cdot 1& =\frac{c}{a}\\ \\ c& =-2\end{array}$$ </math>

Vi får da likningen

<math>

\displaystyle x^2 + x - 2 = 0 </math>

Ved å bruke ABC-formelen ser man at dette er en (av mange) likninger som har løsning for $x=1$ og for $x=-2.$

Dersom man anvender disse formlene og finner en likning, må man sjekke at den virkelig har løsninger.

---

Tilbake til 1T Hovedside

Hovedside