Andregradslikninger
Innledning
Fra siden om potenser uten brøkeksponent vet vi at
En andregradslikning er en likning på formen
En løsninger av en likning kalles også en rot i likningen. Å finne røttene i en likning er altså det samme som å løse likningen.
En fullstendig andregradslikning skrives på formen
- <math>
\displaystyle ax^2 + bx + c = 0 </math>
Likningen har tre ledd:
kalles andregradsleddet, kalles førstegradsleddet, kalles konstantleddet.
Ufullstendig likninger
Dersom minst en av koeffisientene
Dersom
Tilfellet b = 0
Dersom
- <math>
\displaystyle ax^2 + c = 0 </math>
Denne løses med "bytt og flytt", for så å ta kvadratrot:
- <math>
Legg merke til at enten
Eksempel:
Løs likningen
- <math>
\displaystyle 4x^2 - 8 = 0 </math>
Vi løser ved "bytt og flytt" og deretter ta kvadratroten:
- <math>
- <math>
\displaystyle x = \sqrt {2} \qquad \vee \qquad x = - \sqrt {2} </math>
Tilfellet c = 0
Dersom
- <math>
\displaystyle ax^2 + bx = 0 </math>
Vi løser ved faktorisering:
- <math>
\displaystyle x (ax + b) = 0 </math>
- <math>
Eksempel:
Løs likningen
- <math>
\displaystyle -3x^2 + 6x = 0 </math>
Løsning ved faktorisering:
- <math>
\displaystyle x (-3x + 6) = 0 </math>
- <math>
ABC-formelen
En andregradslikning på formen
ABC-formelen er
- <math>
\displaystyle x= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} </math>
når
- <math>
\displaystyle ax^2 + bx + c =0 </math>
Dersom
Eksempel 1:
Løs likningen
- <math>
\displaystyle 3x^2 + 2x - 1 =0 </math>
Likningen har koeffisenter
Ved å bruke ABC-formelen får man:
- <math>
Likningen har to ulike løsninger:
- <math>
Eksempel 2:
Finn røttene i likningen
- <math>
\displaystyle -x^2 + 4x - 4 =0 </math>
Koeffisientene er
Ved å bruke ABC-formelen får man:
- <math>
Med null under rottegnet får man kun en løsning,
Eksempel 3:
Løs likningen:
- <math>
\displaystyle 3x^2 + 2x + 2 =0 </math>
Koeffisientene er
Ved å bruke ABC-formelen får man:
- <math>
Her ser man et man får et negativt tall under rottegnet. Da er det på tide å stoppe opp og konkludere med at likningen ikke har reell løsning.
Eksempel 4:
Løs likningen:
- <math>
\displaystyle 4x^2 - 1 =0 </math>
Koeffisientene er
Likningen mangler førstegradsleddet (
- <math>
Likningen har to løsninger:
- <math>
\displaystyle x= \frac{1}{2} \qquad \vee \qquad x= - \frac{1}{2} </math>
Eksempel 5:
Løs likningen:
- <math>
\displaystyle -3x^2 + 6x = 0 </math>
Koeffisentene er
Ved å bruke ABC-formelen får man:
- <math>
- <math>
\displaystyle x= 2 \qquad \vee \qquad x= 0 </math>
Man ser at ABC-formelen virker her også, men siden konstantleddet mangler (
Grafisk fremstilling av andregradslikninger
Hvorfor har noen likninger to løsninger, noen en og andre ingen? Det kan vi forstå dersom vi studerer grafen til andregradspolynomet i likningen.
Løsninger i likningen finner vi som verdiene av
Figuren under viser tre ulike andregradspolynom.
Dersom grafen til andregradspolynomet krysser
Dersom grafen tangerer
Dersom grafen til polynomet ikke krysser eller tangerer
Bevis for ABC-formelen
For å bevise ABC-formelen bruker en første kvadratsetning, som vist i det følgende avsnittet.
- <math>
Fullstendig kvadrat
Man kan bygge opp et fullstendig kvadrat ved å halvere, kvadrere, addere.....
For å kunne bruke teknikken må du kunne kvadratsetningene godt.
Det følgende eksempelet viser hvordan det gjøres:
Eksempel:
Løs likningen
- <math>
\displaystyle 2x^2 - 3x +1 = 0 </math>
Vi omformer likningen:
- <math>
- <math>
Dersom du sliter med algebra bør du kanskje holde deg til ABC-formelen, men dersom du har oversikt og har ambisjoner om god karakter (5,6), er metoden med fullstendig kvadrat noe du bør beherske.
Andregradslikninger på produktform
Man kan ha andregradslikninger på formen:
- <math>
\displaystyle (x + 1)(x – 2) = 0 </math>
Du ser at dette er en andregradslikning om du multipliserer ut parentesene:
- <math>
\displaystyle (x + 1)(x – 2) = x^2 - 2x + x – 2 = x^2 – x – 2 </math>
Man kan multiplisere ut faktorene som vist over og bruke ABC–formelen, men det finnes en mye enklere måte å løse likningen på:
Dersom produktet av to faktorer skal bli null, må en av faktorene være null.
Likningen
I eksemplet
- <math>
\displaystyle (x + 1)(x – 2) = 0 </math>
betyr det at
Det gir løsningene
Problemet er redusert til løsninger av to enkle førstegradslikninger.
Faktorisering av andregradsuttrykk
Det generelle andregradsuttrykket er
Man har følgende formel for faktorisering av andregradsuttrykk:
- <math>
\displaystyle ax^2 + bx + c = a( x-x_1)(x-x_2) </math>
Der
Eksempel:
Faktoriser polynomet
- <math>
\displaystyle 6x^2-4x-2 </math>
Vi løser først likningen
- <math>
\displaystyle x_1 = 1 \qquad \vee \qquad x_2 = - \frac13 </math>
Så bruker vi formelen over og får:
- <math>
\displaystyle 6x^2-4x-2 = a(x-x_1)(x-x_2) = 6(x-1)(x + \frac 13) </math>
Denne fremgangsmåten er spesielt nyttig (helt nødvendig) når man skal forkorte brøker som inneholder andregradspolynomer.
Eksempel:
Skriv enklest mulig:
- <math>
\displaystyle \frac{6x^2-4x-2}{x + \frac13} </math>
Vi faktoriserer og får:
- <math>
\displaystyle \frac{6(x-1)(x + \frac 13)}{x + \frac13} = 6(x-1) </math>
Sum og produkt av røtter
Man har følgende sammenhenger mellom sum og produkt av røtter (løsninger):
En fullstendig andregradslikning skrives på formen
- <math>
\displaystyle ax^2 + bx + c = 0 </math>
Dersom
- <math>
Eksempel:
Vi ønsker å finne et andregradsuttrykk som har røttene
Vi får:
- <math>
Siden vi ikke har krav til koeffisientene kan vi jo velge
Produktet av røttene må oppfylle likningen
- <math>
Vi får da likningen
- <math>
\displaystyle x^2 + x - 2 = 0 </math>
Ved å bruke ABC-formelen ser man at dette er en (av mange) likninger som har løsning for
Dersom man anvender disse formlene og finner en likning, må man sjekke at den virkelig har løsninger.