Andregradslikninger

Innledning

Fra siden om potenser vet vi at $x \cdot x = x^{2}$ . Sagt med ord sier vi at "x multiplisert med seg selv er lik x i andre". Andregradsligninger inneholder alltid et ledd hvor $x^{2}$ er en faktor.

En annengradslikning er en likning på formen $a x^{2} + b x^{2} + c = 0$ , der a, b og c er konstanter og $a \neq 0$ . Konstantene til en annengradslikning kalles koeffisienter.

En fullstendig andregradslikning skrives på formen $a x^{2} + b x + c = 0$

$a x^{2}$ kalles andregradsleddet

$b x$ kalles førstegradsleddet

$c$ kalles konstantleddet

Ufullstendig likning

Dersom a = 0 har vi en vanlig ligning som løses med metoden beskrevet i likninger med en ukjent.

Dersom b = 0 ser likningen slik ut:

$a x^{2} + c = 0$

Denne løses med "bytt og flytt", for så å ta kvadratrot.
$x = \pm s q r t - \frac{c}{a}$

Eksempel

$4 x^{2} - 8 = 0$

$x = \pm s q r t \frac{8}{4}$

$x = s q r t 2 \lor x = - s q r t 2$

Dersom c = 0 har vi følgende formel:

$a x^{2} + b x = 0$

$x (a x + b) = 0$

$x = 0 \lor a x + b = 0$

$x = 0 \lor x = - \frac{b}{a}$

Eksempel:

$- 3 x^{2} + 6 x = 0$

$x (- 3 x + 6) = 0$

$x = 0 \lor - 3 x + 6 = 0$

$x = 0 \lor x = 2$

Dette er spesialtillfeller av andregradslikninger fordi de mangler et ledd.

ABC formelen

En andregradslikning på formen $a x^{2} + b x + c = 0$ kan alltid løses ved hjelp av ABC - formelen, som ser slik ut:

$x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

Dersom $\sqrt{b^{2} - 4 a c}$ er positiv vil likningen alltid ha to løsninger.

a, b og c er koefisienten i andregradsuttrykket. Legg merke til at dersom $b^{2} - 4 a c$ er mindre enn null får man et negativt tall under rottegnet. Man sier da at ligningen ikke har noen løsning. (I høyere kurs har den det, komplekse løsninger).

Eksempel 1
Vi har likningen:

$3 x^{2} + 2 x - 1 = 0$
a = 3 , b = 2 og c = -1
Ved å bruke abc-formelen får man:

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 1)}}{2 \cdot 3}$

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{6}$

$x = \frac{- 2 \pm 4}{6}$

$x = \frac{- 2 + 4}{6} \lor x = \frac{- 2 - 4}{6}$

$x = - \frac{1}{3} \lor x = - 1$

Eksempel 2
Vi har likningen:

$- x^{2} + 4 x - 4 = 0$
a = -1 , b = 4 og c = -4
Ved å bruke abc-formelen får man:

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 4)}}{2 \cdot (- 1)}$

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{- 2}$

$x = 2$
Med null under rottegnet får man kun en løsning.

Eksempel 3
Vi har likningen:

$3 x^{2} + 2 x + 2 = 0$
a = 1 , b = -2 og c = 2
Ved å bruke abc-formelen får man:

$x = \frac{2 \pm \sqrt{(- 2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2}$

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 4}}{2}$

Her ser man et man får et negativt tall under rottegnet. Da er det på tide å stoppe opp og konkludere med at ligningen ikke har løsning (enda).

Hvorfor har noen likninger to løsninger, noen en og andre ingen?

Dersom grafen til andregradspolynomet krysser x aksen har likningen to løsninger, g(x).Dersom grafen tangerer x-aksen har likningen en løsning, h(x). Dersom grafen til polynomet ikke krysser eller tangerer x-aksen, f(x), har likningen ingen løsning.

Eksempel 4
Vi har likningen:

$4 x^{2} - 1 = 0$
a = 4 , b = 0 og c = -1
Ved å bruke abc-formelen får man:

$x = \frac{\pm \sqrt{- 4 \cdot 4 \cdot (- 1)}}{2 \cdot 4}$

$x = \frac{\pm \sqrt{16}}{8}$

$x = \pm \frac{4}{8}$

$x = \frac{1}{2} \lor x = - \frac{1}{2}$

Her mangler b leddet og det er ikke nødvendig å bruke abc formelen slik vi har gjort her, men den virker. Det enkleste i dette eksempelet er å bruke "bytt og flytt" og så ta kvadratroten, som vist over.

Eksempel 5
Vi har likningen:

$- 3 x^{2} + 6 x = 0 = 0$
a = -3 , b = 6 og c = 0
Ved å bruke abc-formelen får man:

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2}}}{- 6}$

$x = \frac{- 6 \pm 6}{- 6}$

$x = 2 \lor x = 0$

Man ser at abc-formelen virker her også, men siden c leddet mangler ville det være mer fornuftig å faktorisere ut x og løse likningene som vist over.

For de som lurer på hvor abc-formelen kommer fra har man følgende bevis:

Bevis for ABC formelen:

$a x^{2} + b x + c = 0$

$x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = 0$

$x^{2} + \frac{b}{a} x = - \frac{c}{a}$

$x^{2} + 2 \frac{b}{2 a} x = - \frac{c}{a}$

$x^{2} + 2 \frac{b}{2 a} x + (\frac{b}{2 a})^{2} = - \frac{c}{a} + (\frac{b}{2 a})^{2}$

$(x + \frac{b}{2 a})^{2} = - \frac{c}{a} + \frac{b^{2}}{4 a^{2}}$

$(x + \frac{b}{2 a})^{2} = - \frac{4 a c}{4 a a} + \frac{b^{2}}{4 a^{2}}$

$(x + \frac{b}{2 a})^{2} = \frac{- 4 a c + b^{2}}{4 a^{2}}$

$(x + \frac{b}{2 a}) = \sqrt{\frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}} \lor (x + \frac{b}{2 a}) = - \sqrt{\frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}}$

$x = - \frac{b}{2 a} + \frac{\sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \lor x = - \frac{b}{2 a} - \frac{\sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

$x = \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c} 2 a}{} \lor x = \frac{- b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

$x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

Fullstendig kvadrat

Man kan bygge opp et fullstendig kvadrat ved å halvere, kvadrere, addere.....
For å kunne bruke teknikken må du kunne kvadratsetningene godt.
Her er hvordan det gjøres:

Eksempel
Vi har likningen:

$2 x^{2} - 3 x + 1 = 0$

$x^{2} - \frac{3}{2} x + \frac{1}{2} = 0$

$x^{2} - \frac{3}{2} x = - \frac{1}{2}$

$x^{2} - \frac{3}{2} x = - \frac{1}{2}$

$x^{2} - \frac{3}{2} x + (\frac{3}{4})^{2} = - \frac{1}{2} + (\frac{3}{4})^{2}$

$(x - \frac{3}{4})^{2} = \frac{1}{16}$

$x - \frac{3}{4} = \sqrt{\frac{1}{16}} \lor x - \frac{3}{4} = - \sqrt{\frac{1}{16}}$

$x = 1 \lor x = \frac{1}{2}$

Dersom du sliter med algebra bør du kanskje holde deg til abc-formelen, men dersom du har oversikt og har ambisjoner om femmere og seksere er metoden med fullstendig kvadrat noe du bør beherske.

Andregradsligninger på produktform

Man kan ha andregradsligninger på formen:

$(x + 1) (x - 2) = 0$

Du ser at dette er en andregradsligning om du multiplisere ut parentesene:

$(x + 1) (x - 2) = x 2 - 2 x + x - 2 = x 2 - x - 2$

Man kan multiplisere ut faktorene som vist over og bruke abc – formelen, men det finnes en mye enklere måte å løse ligningen på:

Dersom produktet av to faktorer skal bli null, må en av faktorene være null.

$m n = 0$ medfører at $m$ eller $n$ må være lik null, om utsagnet skal være riktig.

I eksemplet

$(x + 1) (x - 2) = 0$

betyr det at $x + 1 = 0$ , eller at $x - 2 = 0$

Det gir løsningene $x = - 1$ V $x = 2$

Problemet er redusert til løsninger av to enkle førstegradsligninger.

Faktorisering av andregradsuttrykk

$a x^{2} + b x + c$ er et generelt andregradsuttrykk. Ofte har man behov for å faktorisere uttrykket for å kunne forkorte og forenkle.

Man har følgende formel for faktorisering av andregradsuttrykk:

$a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$

Der $x_{1}$ og $x_{2}$ er løsninger av $a x^{2} + b x + c = 0$

Eksempel :
Faktoriser $6 x^{2} - 4 x - 2$

Løser først $6 x^{2} - 4 x - 2 = 0$ og får (abc – formelen)

$x_{1} = 1 \lor x_{2} = - \frac{1}{3}$

Bruker så formelen over og får:

$6 x^{2} - 4 x - 2 = a (x - x_{1}) (x - x_{2}) = 6 (x - 1) (x + \frac{1}{3})$

Dette er spesielt nyttig (helt nødvendig) når man skal forkorte brøker som inneholder andregradspolynomer.

Eksempel :

Sriv enklest mulig:

$\frac{6 x^{2} - 4 x - 2}{x + \frac{1}{3}}$

Faktorisere og får:

$\frac{6 (x - 1) (x + \frac{1}{3})}{x + \frac{1}{3}} = 6 (x - 1)$

Sum og produkt av røtter

Man har følgende sammenhenger mellom sum og produkt av røtter (løsninger):

En fullstendig andregradslikning skrives på formen $a x^{2} + b x + c = 0$

$x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ og $x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}$

der $x_{1}$ og $x_{2}$ er røtter (løsninger) i ligningen.

Eksempel

Vi ønsker å finne et andregradsutryk som har røttene x = -2 og x = 1.Utover det har vi ingen andre krav.

Vi får:
$x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$
$- 2 + 1 = - \frac{b}{a}$
$a = b$
Siden vi ikke har krav til koefisientene kan vi jo velge a = 1. Da får vi:
$a = 1$
$b = 1$

og $- 2 \cdot 1 = \frac{c}{a}$
$c = - 2$

Vi får da likningen

$x^{2} + x - 2 = 0$

Ved å bruke abc-formelen ser man at dette er en (av mange) likninger som har løsning for x =1 og for x = -2.
Dersom man anvender disse formlene og finner en ligning må man sjekke at den virkelig har løsninger.

Tilbake til 1T Hovedside

Hovedside